Ellipse. Soient données 32i) les deux projec

tions d^un cône circulaire ayant pour sommet le point s, s\ et pour directrice une section que l’on obtiendra

comme nous l’avons dit au n° 494, on veut construire la trace du cône.

Nous remarquerons d’abord que cette trace doit être une ellipse , puisque le plan horizontal AZ coupe toutes les génératrices d’une même nappe (479), et que, d’ailleurs, l’angle x'c'a' est plus grand que a!sd (486).

Les génératrices s'c\s'c' percent le plan horizontal en deux points c,c, qui sont les extrémités du grand axe de l’ellipse cherchée. Le point uu' , milieu de la droite cc, sera le centre de cette courbe, et le petit axe e"e’\ projeté sur la ligne AZ par un seul point u\ doit être égal au double de la ligne u'e.

En ell’et, l’axe e''e”, perpendiculaire au plan vertical de projection, est une corde commune à l’ellipse cherchée ce"ce'' ei au cercle provenant de la section du cône par le plan q'y perpendiculaire à son axe. Si donc on rabat cette dernière section sur le plan vertical , l’une des extrémités de la corde eV viendra se placer en e sur la circonférence décrite du point comme centre avec le rayon yt ^ ce cjui déterminera la longueur de u!e , moitié de e"e'\ second axe de l’ellipse ce" ce'.

502. Si du point u, comme centre, on décrit l’arc de cercle cx!\ et que l’on construise ( Géom.) le point x' suivant lequel cet arc serait touché f)ar la tangente sx" , l’ordonnée x"x déterminera les points xx, et par conséquent

LE CONE.

les deux tangentes sx,sx, qui complètent la projection horizontale du cône.

Nous avons vu que ces points pouvaient encore être déterminés en construisant par le point s deux tangentes à la circonférence ax^ ax.

Enfin on remarquera, pour troisième vérification, que les points x, jc', doivent être tous sur une même

droite perpendiculaire à la ligne AZ (497).

503. Foyers. On peut obtenir ces points en opérant comme nous l’avons dit au n° (*250), ou bien en faisant usage de la propriété suivante , dont la démonstration ne peut trouver place que dans un traité de Géométrie analytique.

Soit (fig. 325) un cône circulaire coupé obliquement par le plan pq. Si Von inscrit dans ce cône deux sphères tangentes au plan coupant , les deux points de tangence F, F seront les foyers de la courbe de section.

Cette propriété appartient aussi à la parabole et à 1 hyperbole. Ainsi les points F', F' seraient les foyers de l’hyperbole suivant laquelle le même plan couperait un second cône engendré par le mouvement de la droite sc tournant autour de rriré.

504. Il résulte de ce qui précède, que si nous partageons l’angle s'c'x' {fig- 324) en deux parties égales par la droite

le point /' sera le centre d’une sphère qui toucherait en même temps le cône et le plan horizontal AZ , de sorte que le point de tangence FF' sera l’un des foyers de l’ellipse.

Le second foyer sera déterminé [lar la droite qui partage en deux parties égales l’angle uds" .

505. Parabole. La trace du cône projeté {fig. 328), sera une parabole, puisque l’angle x'ca! est égal à dsd (486).

La courbe aa, a'a\ directrice du cône , étant obtenue par

LE CONE.

la construction indiquée au n®4^94, on tracera les deux tangentes sx,5X, qui forment les limites de la projection horizontale du cône.

On partagera l’angle s'c'x' en deux parties égales par la droite c'/'.

Le point / ', suivant lequel cette droite rencontre l’axe , sera le centre de la sphère inscrite dans le cône et tangente au plan horizontal AZ; de sorte que le point de tangence sera le foyer de la parabole.

Il sera utile de se rappeler, comme vérification , que le point F doit être situé sur la droite i^F, menée perpendiculairement, par le point p», milieu de la tangente sx.

Si on fait ck égal à cF, la droite 6?^, perpendiculaire à sa, sera la directrice qui, avec le foyer F, suffira pour construire la parabole (26i).

606. Hyperbole . La trace du cône projeté 329) sera une hyperbole, puisque le plan coupant AZ rencontre les deux nappes du cône.

La courbe aa,aVdirectrice du cône étant obtenue comme précédemment, on construira les deux tangentes sx,sx, (jui forment les limites delà projection horizontale du cône.

On partagera les angles s’cA.,sc”Z , chacun en deux parlies égales par les droites c'o', c''n\

Les points o\ji’ seront les centres de deux sphères inscrites dans le cône et tangentes au plan horizontal AZ ; de sorte que les points FF' seront les deux foyers de l’hyperbole.

Les points cc\cc" seront les sommets, et le point m, milieu de ce , sera le centre.

De ce point, comme centre, avec un rayon égal à mF, on décrira une circonférence, et les quatre points zzzz , suivant lesquels cette ligne rencontrera les ordonnées cz ^ passant par les sommets de la courbe, appartiendront aux

PL. 48. CONE

deux îisympLoles. On pourrait encore obtenir ces droites par run des deux moyens indic|ués aux n"'* /i85 et ^188.

Les asymploles et le sommet étant obtenus, il sera facile de construire les deux branches de la courbe (277).

Intersection des cônes et des cylindres.

507. Trouver la courbe provenant de 1 intersection d'un cylindre et d'un cône.

On coupera ces deux surfaces par un système de plans parallèles au cylindre et j)assant par le sommet du cône. Par ce moyen, les sections dans le cône et le cylindre seront des lignes droites.

Soient, par exem[)îe (/%. 335, PL 48), le cylindre (A, A') et le cône ( B, B') dont il faut trouver l’intersection. Construisons J par le sommet ss du cône, la droite sc^s'c' parallèle au cylindre , et faisons passer j)ar cette droite un plan P ; ce j)lan sera lui-meine [)aralièle au cylindre et le coupera suivant les deux lignes {aa'} {ad)-, de plus, il coupera le cône suivant les deux génératrices {bb') {bb'). Or ces quatre lignes étant dans un soénie plan donneront, parleurs intersections, quatre points {u,u...) appartenant à la courbe demandée. Trois de ces points sont audessus du })lan horizontal , le (juatiième est dessous.

Un second plan, contenant la droite {sc,sc)., donnera quatre nouveaux points de la courbe.

Un troisième plan en donnera quatre autres et ainsi de SLii te.

On continuera ces constructions juscju’à ce que Ton ait obtenu un nombre de points assez ra[)prochés pour que l’on puisse tr.mer la courbe.

508. On devra ici, comme dans la question du n° /i.2'2, chercher de préférence les points qui sont situés sur les

222 LE CONE. PL. 48-

génératrices qui forment les limites des projections du cylindre et du cône.

Tout plan dont la trace serait hors de Tangle formé par les traces des plans p' et p" ne couperait pas le cône, et par conséquent ne contiendrait pas de points communs aux deux surfaces.

Dans l’exemple qui nous occupe, les courbes d’intersection sont séparées et forment par conséquent pénétration.

509. Tangente à la courbe d’intersection. Si l’on veut obtenir une tangente au point mm\ on construira : 1° la droite , trace horizontale d’un plan qui toucherait le cylindre dans toute l’étendue de la génératrice niz, m'z .

2" La droite y^x , trace horizontale d’un second plan qui toucherait le cône dans toute l’étendue de la génératrice mx, rrt!x'.

3° La droite projection horizontale de l’intersection des deux plans tangents , et par conséquent de la tangente au point rnm\

4° La droite projection verticale de la tangente

demandée.

On fera bien de construire ainsi quelques tangentes partout où il y aura incertitude sur la direction de la courbe.

510. Si on veut construire les courbe de pénétration dans les sut faces développées du cylindre et du cône, il faudra opérer comme nous l’avons dit aux n®* 368 et 460.

511. On peut simplifier les opérations en plaçant {Jig. 332) le cylindre perpendiculairement à l’un des plans de projection ; la trace du cylindre sur ce plan devient alors la projection de la courbe, et il ne reste plus qu’à élever des perpendiculaires par les points où cette projection est rencontrée par les projections des génératrices du cône.

PL. 48. LE CONE. 223

512. Trouver la courbe provenant de intersection de deux cônes.

On construira (/%. 336) la droite (50, s'd) qui joint les sommets des deux cônes , puis par cette droite on fera passer des plans. Chacun de ces plans contenant les deux sommets coupera les cônes suivant des lignes droites qui, par leur intersection , donneront les points de la courbe demandée. Ainsi, par exemple, le plan jo coupe le cône (A , A') suivant deux génératrices (a, a') (a, a') , et le cône (B, B') suivant les deux lignes (ô,ô'(ô, b'). Ces quatre lignes donnent, par leurs intersections, les quatre points (u,w'...). Deux de ces points appartiennent à la courbe de pénétration par laquelle le sommet du cône B sort du cône A ; le troisième fait partie de l’intersection formée par le prolongement des nappes inférieures des deux cônes; et le quatrième, projeté horizontalement en u\ derrière le plan vertical , appartient à la ligne uT provenant de l’intersection des deux nappes supérieures.

513. Si l’on n’avait pas sur l’épure les sommets des cônes proposés ni le point où la droite qui contient ces sommets rencontre le plan horizontal, on poutrait couper les deux cônes par des plans parallèles aux plans de projection. Les intersections des cônes par ces plans seraient serTd)Ial)les aux traces, et ces courbes, faciles à constrLiire (490), se couperaient suivant des points apj)artenant à l’intersection demandée.

Ce moyen s’emploie surtout avec avantage lorsque les traces des cônes proposés sont des cercles.

514. Tangente. La droite vz est la trace horizontale d’un plan qui touche l’un des cônes suivant la génératrice z'd .

La droite vx est la trace horizontale d’un plan qui touche

LE CONE.

le second cône suivant la génératrice xu,xu. La ligne sera, par conséquent, la projection horizontale delà tangejile au point lat.

Le plan tangent o'i^'z étant perpendiculaire au plan vertical de projection , la droite sera la projection verticale de la tangente.

515. Les développements des cônes se construiront comme nous l’avons dit au n° (460).

516. Les courbes provenant de la pénétration de deux cylindres ou d’un cylindre avec un cône, peuvent quelquefois être planes.

Ainsi, par exemple, si le cylindre et le cône projetés ( fig. 330 ) avaient pour directrice commune une elli pse l’intersection de ces deux surfaces donnerait lieu à une seconde ellipse.

En général, toutes les fois que deux cônes., deux cj liiidres , ou enfin un cylindre et un cône sont du second degré (446), et que ces deux surfaces se pénètrent , si la courbe d'entrée est une courbe du second degré la courbe de sortie sera pareillement du second degré (Géom. anal. ).

517. Raccordement des surfaces cylindriques et coniques. Pour que la surface d’un'cylindre et celle d’un cône soient tangentes l’une à lautre , il faut qu’ils soient touchés par un même plan dans toute l’étendue d’une génératrice commune.

Cela exige que le sommet du cône soit situé sur cette ligne.

Ainsi , par exemple , si les deux courbes ac, co {fg‘ 331 ) se touchent etse raccordent au point c, lasui face conique, ()ui aurait son sommet en s et pour directrice la courbe co, devra se raccorder avec la surface du cylindre qui aurait pour génératrice sc et pour directrice la courbe ac.

LE CONE.

518. Les (leux surfilées coniques sac,s'co [fig. 333) se raccordent parce que leurs directrices se raccordent, et que les deux sommets s et s’ sont situés sur une même génératrice qui contient le point de raccordement des directrices.

Il est évident que les deux cônes se raccorderaient encore, s’ils avaient pour directrices deux courbes quelconques «c, cV touchées par un même plan, pourvu que la droite qui joindrait les points de tangence c,c' contienne les sommets des deux cônes. ^

519. La combinaison la plus simple de deux cônes a lieu lors(ju’ils ont un sommet commun. Dans ce cas, il faut distinguer trois cas; et pour mieux les mettre en évidence, supposons que bon prenne pour directrices les sections de ces deux cônes par un même plan.

Si les directrices ne se rencontrent pas , il est évident que les deux cônes n’auront pas d’autres points communs que le sommet.

Si les directrices se touchent, les deux cônes seront tangents l’un à l’autre, suivant la génératrice qui passe par le point de tangence des directrices.

Enfin, si les deux directrices se coupent suivant un ou plusieurs points, les deux cônes se couperont suivant toutes les génératrices qui j)asseiit par les yioints d’intersection des directrices.