CHAPITRE IV
521- On considère ordinairement la sphère comme engendrée par le mouvement d’un demi-cercle, qui tournerait autour de son diamètre. Cette manière de concevoir la «é-
tj
nération de la sphère lui a fait donner le nom de surface de révolution. Le demi- cercle, dont le mouvement entendre la surface sphérique, se T\om\ne génératrice ^ et le diamètre autour duquel se fait le mouvement se nomme V axe de la sphère.
Pour plus de simplicité , nous prendrons, toujours ]>our axe un diamètre perpendiculaire à l’un des plans de projection ; de sorte que toule section par un plan perpendiculaire à l’axe sera un cercle parallèle au plan de projection.
522. Projection de la sjjhère. Si par le centre de la sphère ifig. 337, PL 49) on conçoit un plan p parallèle au plan horizontal , ce plan coupera la sphère suivant un grand cercle dont la jmojection horizontale sera prise pour limite de la projection de la sphère; de meme on ])rendra pour limite de la projection verticale de la sphère celle du grand cercle provenant de la section par le plan p' jiarallèle au plan vertical de projection.
523. Parties oiies et cachées. Toute la partie de la surface de la sphère qui est au-dessus du plan p, sera vue en
LA SPIILUL.
projection horizontale, tandis (jue riiéinisphèrc au-dessous du ineiue plan sera caché.
Sur la projection verticale on devra considérer comme vue toute la surface de Thémisplière qui est en deçà du plan p' , tandis que l’hémisphère au delà doit être caché.
524-. Génération . Si nous supposons que le demi-cercle a'Ud' tourne autour de Taxe vertical a'cV pour engendrer la surface de la sphère, chaque point décrira un cercle horizontal dont le rayon sera déterminé par la distance de ce point à l’axe. Ainsi , par exemple , pendant que le point bb' parcourra l’arc bh, b'ii , le point {mné) viendra se placer en nri . Le demi-cercle générateur étant toujours perpendiculaire au plan horizontal, sa projection sur ce plan sera la ligne droite c/i; de sorte que pour avoir la projection verticale d’un de ses points, du point n, par exemple, on construira d’abord les deux projections nin,nt!ii , du cercle que parcourt le ])oint mypuis on élèvera parle point ji une perpendiculaire jusqu’à la rencontre de la ligne nin\ En recommençant cette construction, on obtiendra la courbe a!téJid\ pour la projection verticale du cercle générateur amené dans la position ch.
La courbe a!n!1icL est une demi-ellipse.
Méridiens et parallèles de la sphère.
525. Section méridienne. Toute section de la sphère pru' un plan qui contient le centre est un grand cercle qui [)a«'tage la surface en deux parties égales. C’est pourquoi on la nomme section méridienne. Cependant on réserve [)!us particulièrement cette expression pour les eecLions par des plans qui contiennent le diamètre que l’on a choisi pour 1 axe de la sphère , et qui , par conséquent ^ sont per pendiculaires a 1 un des plans de projef tion.
Ainsi la courbe a'hUV sevix une section méridienne, si
nous prenons pour axe de la sphère la verticale passant par le point c.
Le grand cercle a'b'd'^\ parallèle au plan vertical de projection , se nomme section méridienne principale ou simplement méridien principal.
Si on avait pris pour axe l’horizontale projetante du point c\ le grand cercle serait le méridien principal.
526. Parallèles de la sphère. Les sections méridiennes ne sont pas les lignes les plus simples que l’on puisse tracer sur la surface d’une sphère, et dans les diverses questions que nous pourrons avoir à résoudre par la suite, il sera souvent commode de faire usage des sections de la sphère par des plans parallèles aux plans de projection. Ainsi, par exemple , si nous coupons la sphère par un plan p'\ parallèle au plan horizontal, nous obtiendrons pour section un cercle projeté sur le plan vertical par la droite q'm! , et sur le plan horizontal par le cercle qomu.
La section par le plan p'^' sera le cercle [st, s't').
527. Exprimer qiiun point appartient à la surface d’une sphère
Supposons que l’on connaisse la projection horizontale e, et qu’il faille trouver la projection verticale, on construira par le point e un plan parallèle au plan vertical et coupant la sphère suivant un cercle dont la projection verticale e'g'e' contiendra celle du point cherché; de sorte que, pour déterminer cette projection , il suffira d’élever par le point e une perpendiculaire à la ligne AZ jusqu’à la rencontre du cercle dg'e\ ce qui donnera deux solutions e\ d .
Pour exprimer qu’une courbe {ozp'z') est située sur la sphère , il suffira de faire, pour chacun de ses points, la construction précédente.
LA SPriLRE.
Développement de la sphère.
528. La surface de la sphère n’est pas développable d’une manière rigoureuse, c’est-à-dire qu’elle ne peut pas être étendue sur un plan sans déchirement* mais dans les applications à l’industrie on développe la sphère approximativement de deux manières dilïérentes.
529. Développement par fuseaux. Partageons en parties égales , en 16 par exemple, chacun des deux grands cercles formant les limites de projections verticale et horizontale de la sphère A, A' (y%. 339) ; puis, par les points dedivision, menons les sept plans horizontaux 0,1, 2, 3, et les seize pians
méridiens La surface de la sphère sera, par suite de
cette construction, partagée en 96 trapèzes, plus 32 petits triangles ayant pour sommet commun les points 4- qui sont les pôlesde la sphère. Tous ces triangles et trapèzes auront une même hauteur, égale à la seizième partie d’un grand cercle de la sphère, et leurs bases projetées sur le plan horizontal dans leurs véritables grandeurs, seront égales chacune à la seizième partie de l’un des cercles provenant de la section de la sphère par les plans horizontaux 0,1, 2, 3.
En disposant ces trapèzes comme on le voit fig. A", on aura le développement, par fuseaux, de l’hémisphère supérieur. Les hauteurs des trapèzes sont égales aux arcs (0, 1 ) (1,2), etc., et les bases sont données par les arcs horizontaux correspondants, et compris entre deux méridiens consécutifs {ni,m...).
530. Développement par zones. La A'" représente le développement par zones de l’hémisphère inférieur; il ne diffère du développement par fuseaux que par la disposition des trapèzes, qui sont placés à côté les uns des autres, au lieu d’être l’un au-dessus de l’autre.
On facilitera la construction de ce développement , en re-
marquant que la première zone , composée de seize trapèzes a,a^a,... peut être considérée comme la surface d’un tronc de côue dont le sommet serait situé en 5, où Taxe de la sphère est rencontré par le prolongement de la corde qui joint le point 0 avec le point 1 ; de sorte que, pour construire ce développement, on décrira d^un point comme centre, avec un rayon égal à 50, un arc de cercle sur lequel on portera seize fois la seizième partie du grand cercle o. La seconde zone fait partie d’un cône qui a son sommet au point t. On en construira le développement de la même manière, et ainsi de suite.
11 est bien entendu que l’on doit partager les cercles en un assez grand nombre départies égales pour que la courbure des arcs soit sensible. Si seize points de division ne suffisaient pas, on en prendrait davantage.
531. Les globes et cartes de géographie sont des développements approximatifs de la sphère. Les premiers sont imprimés par fuseaux et collés ensuite sur un globe dont ils sont le développement; les cartes sont des développenïénts par zones.
On fait encore usage des dévelojjpements de la sphère, dans la construction des ballons, et dans l’architecture, pour le tracé des voûtes sphériques et coupoles.
532. Lorsque la zone que l’on doit développer a beaucoup de hauteur, et que l’on ne veut pas la partager en zones plus petites, on s’y prend de la manière suivante. Soit [Jîg. 340) ab l’arc générateur de la zone dont on veut construire le développement. On rectifiera cet arc et l’on en portera la longueur de b en i , l’on mènera ih parallèle au rayon cb, puis enfin hh parallèle à ab. Il résulte de là que hk sera égal en longueur à l’arc amb. Or, pendant que l’arç aô, tournant autour de es, engendrera la zone proposée, la ligne hk engendrera un tronc de cône dont la surlace dit-
LA SPHLRE.
férer.» peu de celle de cette zone, et l’on ])ourra prendre, sans erreur sensible, l’une de ces surfaces pour l’autre.
Si on voulait construire dans le développement un point m (juelconque appartenant à la surface de la zone, on joindrait ce point avec le centre.de la sphère par un rayon cm, dont l’intersection avec la surface du cône déterminerait un point n, qui serait placé dans cette surface à très-peu près comme le point m dans la surface de la zone.
Sections perpendiculaires aux plans de projection.
533. Après les sections parallèles aux plans de projection et les sections méridiennes , les lignes les plus simples que l’on puisse obtenir surla sphère sont celles qui proviennent de sections par des plans perpendiculaires aux plans de projection.
Supposons, par exemple, que l’on veuille obtenir la section de la sphère A, A' [fig. 338) par le plan B. Construisons un plan p, parallèle au plan horizontal de projection. Ce plan coupera la sphère suivant un cercle a, a\ et le plan donné suivant une droite bb' . Cette droite coupera le cercle aa! en deux points {ud) qui feront partie de la courbe demandée. En recommençant cette construction on obtiendra autant de point que l’on voudra.
Pour éviter les intersections qui auraient lieu suivant des angles trop ai^us, on fera usage simultanément de plans parallèles au plan horizontal, et de plans parallèles au jdan vertical.
Le plan horizontal passant sur le centre de la sphère donnera les points xx, suivant lesquels la [)rojection horizontale de la courbe touche le grand cercle qui représente la projection de la sphère.
