On sait {Géom.) que la section d’une sphère par

un plan est toujours un cercle; et qu’en oulre ce cercle placé obliquement dans l’espace doit avoir pour projection une ellipse (406). 11 sera facile de trouver les axes de celle ellipse. Pour cela on abaissera du centre de la sphère la lii^ne (Ac, AV) perpendiculaire sur le plan coupant, et le point cc\ où cette perpendiculaire perce ce plan, sera le centre de la section. Or, lorsqu’un cercle est projeté obliquement, tous ces diamètres se raccourcissent, excepté celui qui est parallèle au plan de projection; de sorte que le grand axe de l’ellipse devant être horizontal et situé dans le plan B sera parallèle à la trace horizontale de ce plan; de plus, z' est la ])rojection verticale dans sa véritable grandeur, d’un diamètre de la section ; donc en portant cV, avec le compas de c en h et de c en A: , on aura hk pour le grand axe de l’ellij^se qui forme la projection horizontale du cercle cherché. Le petit axe, perpendiculaire au grand, doit être situé dans le plan parallèle au plan vertical , d’où il résulte que la projection w du point sera l’extrémité du petit axe de l’ellipse que l’on construira par le moyen indiqué (253).

535. On peut souvent éviter la projection oblique du cercle provenant de la section, en le faisant tourner, pour le rabattre sur l’un ou sur l’autre des deux plans de projection. Ainsi, par exemple, pour avoir la section par le plan B' perpendiculaire au plan horizontal, on fera tourner ce plan autour de la droite dd\ jusqu’à ce qu’il soit venu prendre la position B". Dans ce mouvement, le point e, qui représente le centre de la section , décrira l’arc horizontal ee" et viendra se projeter verticalement en d" . De ce point comme centre avec un rayon d”s” égal ix es , on décrira un cercle qui sera la section rabattue dans sa véritable grandeur.

Il sera facile, en ramenant la section à sa place, d’obte-

nir sa projection verticale. Ainsi , par exemple, le point m , rabattu en in” et projeté dans ce rabattement en m'", doit avoir sa projection verticale au point m provenant de l’intersection de l’horizontale m'"m' avec la perpendiculaire mm .

536. Les positions principales qu’un plan peut prendre par rapport à une sphère sont au nombre de quatre :

1° Si le plan dont il s’agit contient le centre , la section sera un grand cercle de la sphère ;

2° Si la distance au centre de la sphère est moindre que le rayon , la section sera un petit cercle ;

3° Si le plan coupant s’éloignait du centre de la sphère, le rayon de la section diminuerait, et lorsque la distance du centre au plan coupant sera égale au rayon de la sphère, ce plan deviendra tangent et la section réduite à un point sera le point de tangence;

Enfin, lorsque la distance d’un plan au centre de la sphère sera plus grande que le rayon de cette surface, il est évident que ce plan ne rencontrera pas la sphère.

537. Si l’un des plans de projection est perpendiculaire au plan donné , on pourra reconnaître , à l’inspection de l’épure , quelle est la position relative du plan et de la sphère ,

Ainsi , par exemple , si la distance Ac' ( Jîg. 338) est plus petite que le rayon de la sphère, la section sera un petit cercle. Si Ac' était égal à zéro, la section serait un grand cercle.

Si Ac' était égal au rayon, le plan serait tangent.

Enfin , si Ac' était plus grand que le rayon, le plan ne rencontrerait pas la sphère.

538. Il résulte de ce qui précède que nous ne devons pas considérer le point de tangence comme un point simple.,

mais comme provenant du rapprochement de tous les points de la courbe de section,

539. Le point de tangence détermine la posi lion du plan tangent, parce que ce point devant toujours être considéré comme une petite circonférence dont le rayon serait égal à zéro, le plan de cette circonférence sera toujours perpendiculaire à la droite qui joint son centre avec c*elui de la sphère, et sera par conséquent tangent à cette surface ( Géom.).

Plans tangents à la sphère.

540. Construire un plan tangent à une sphère par un point pris sur la surface de cette sphère.

Soient {fig. 34 1 , PL 50 ) la sphère .( A, A' ) et le point situé sur la surface de cette sphère, on construira le rayon (Am , A!m^) , puis on fera passer (97) par le point {m,m') un plan perpendiculaire à ce rayon. Ce plan sera tangent à la sphère [Géoni.].

Toute ligne située dans le plan tangent et passant par le point m, m’ sera une tangente à la sphère.

Le rayon am étant perpendiculaire au plan tangent, sera nécessairement normal à la surface de la sphère, et par conséquent tout plan passant par le centre sera un plan normal.

541. Construire par une droite donnée un plaji tangent à une sphère.

solution. Par le centre de la sphère A [fg. 345), on fera passer un plan p, perpendiculaire à la droite donnée b. Ce plan coupera la droite en un point m, et la s})hère suivant un grand cercle c; construisant les deux tangentes ms^mt, les plans p' et p” contenant ces tangentes et la

droite donnée satisferont à la question. En elïet, le plan p' contenant la droite est perpendiculaire sur le plan/>; d’où il suit que le rayon Am situé dans ce plan , et perpendiculaire à la ligne mt , intersection des deux plans p et p\ sera aussi perpendiculaire à ce dernier plan , qui alors sera tangent à la sphère. Le même raisonnement conviendra pour le plan p" .

Il ne reste donc plus qu’à exécuter cette construction. Pour cela :

Supposons d’abord le cas où la droite donnée serait perpendiculaire à l’un des plans de projection , au plan horizontal, par exemple.

Cette droite V se projettera ( fi§. 346) par un seul pointé. Les lignes hv.^ba^ menées par ce point et tangentes à la projection horizontale de la sphère , seront les traces des deux plans tangents p' et p'\ qui auront leurs traces verticales perpendiculaires à la ligne AZ.

542. 2® solution. Si la droite donnée était oblique par rapport aux plans de projection, l’opération serait plus difficile.

Représentons la sphère donnée par (A, A') ( fig. 343), et la droite donnée par

On fera d’abord passer (97) p.ar le centre de la sphère le plan p perpendiculaire à la droite (Z>, Z>'), et l’on déterminera (70) le point (m, m) suivant lecjuel ce plan cou[)e la droite donnée. Quant au grand cercle suivant lequel la sphère sera coupée par le plan p, il aurait pour projection une ellipse; mais pour éviter la construction de cette courbe, on fera tourner le plan jo, soit autour de sa trace , soit, comme on l’a fait ici, autour de l’horizontale qui passe par le centre de la sphère. Dans ce rabattement la section par le plan p se confondra avec le grand cercle c, formant la projection horizontale de la s[)hère, et le point

(m,m') viendra se placer en m”. 11 sera facile alors de construire les deux tangentes Pour ramener

ces deux lignes à la place qu’elles doivent occuper dans l’espace, on remarquera que les points t, s ne doivent pas changer déplacé, puisqu’ils, appartiennent à la droite (A, /l'j, que l’on a prise pour charnière du rabattement; de sorte qu’en joignant ces deux points avec m, on aura {mt, ms) pour les projections horizontales des deux tangentes. Les points î, s se projetteront verticalement suivant et

détermineront les projections verticales (udi', tn's') des tangentes. On fera passer par chacune d’elles et par la droite donnée un plan que sera langent à la sphère : les lignes {u''u) perpendiculaires à la droite /V donneront les projections des points de tangence.

La solution précédente revient à concevoir la sphère enveloppée par un cylindre circulaire parallèle tà la droite donnée , et à construire par cette droite deux plans tangents au cylindre.

543. 3® solution. Au lieu d’un cylindre , on peut employer un cône. En effet, supposons ( Jîg. 342) qi;e la sphère donnée A soit enveloppée par un cône qui aurait pour sommet un point quelconque pris sur la droite donnée b.

11 ne restera plus qu’à faire passer par cette droite un plan tangent au cône. Il est évident que ce plan touchera la sphère.

Le cône qui enveloppe la sphère étant circulaire , et le sommet pouvant être pris partout où on voudra sur la droite donnée, il sera possible d’appliquer les principes que nous avons exposés au n® 493, et les opérations seront alors réduites à une grande simplicité.

Soit (/%. 344) la sphère donnée AA' et la droite donnée bU.

Le plan Ks y parallèle au plan vertical de projection,

déterminera un point ss' que nous prendrons pour sommet du cône auxiliaire.

En opérant comme nous l’avons dit au n° 494, il sera facde de déterminer la section aa, a'a\ dont la projection horizontale se confond avec le grand cercle qui forme la limite de la projection de la sphère.

Le plan oblique pq, qui contient la section aa, a'a! , est j)ercé par la droite donnée en un point m'm, par lequel on construira les deux tangentes mo,mc. Ces droites et la ligne donnée ôô' déterminent les deux plans tangents qu’il sera facile de conslruire (55).

Les points de tangence uu' , résultent de l’intersection du petit cercle zx ^ suivant lequel la sphère est touchée par le cône auxiliaire avec les deux droites s'c', s'o\ suivant lesquelles ce cône doit être touché par les deux ')lans demandés.

544. 4® solution. On peut concevoir la sphère donnée A ( /%. 348, PI. 51 ) enveloppée par deux cônes circulaires , ayant pour sommets deux points quelconques 5, t de la ligne donnée.

Ces- cônes toucheront la sphère suivant deux petits cercle? aa , cc dont les intersections seront les points de tangence.

La fig. 349 contient les opérations.

La sphère étant donnée par les deux grands cercles AA', et la droite par les deux projections bb' .

On prendra, pour plus de simplicité, le sommet 55' de l’un des deux cônes auxiliaires dans le plan qui contient le centre de la sphère , et qui est parallèle au plan vertical de projection.

Ce premier cône touchera la sphère suivant un petit cercle projeté sur le plan vertical par la droite aa. La pro-

jeclion horizontale de ce cercle serait une ellipse dont nous éviterons la construction en faisant un rabattement.

Nous prendrons ensuite le sommet t't du second cône auxiliaire dans le plan horizontal qui contient le centre de la S|>hère. Le petit cercle, suivant lequel ce cône touche la sphère, aura pour projection horizontale la droite cc, et pour projection verticale une ellipse que nous ne construirons pas.

Or, les points de tangence devant appartenir aux deux cercles projetés parles droites aa, cc , il ne reste plus qu’à trouver leur intersection.

Si on avait construit la projection horizontale du cercle aa, ou la projection verticale du cercle cc, les points d’intersection de ces deux cercles seraient déterminés par les intersections de leurs projections; mais, pour éviter les projections elliptiques, nous rabattrons le cercle aa en le faisant tourner autour de Thorizonlale projetante du point O, pris où l’on voudra dans le plan pzp.

Dans ce mouvement, le centre r» décrira un arc parallèle au plan vertical de projection et viendra se placer en o'.

La circonférence décrite du point p»' comme centre, avec un rayon égal à m, sera par conséquent le petit cercle aa rabattu sur le plan horizontal.

Or, les points de tangence cherchés devant résulter de l’intersection des deux cercles , cc appartiennent par conséquent à la droite suivant laquelle se coupent les plans qui contiennent ces cercles.

Cette droite, dont les projections sont o'a, oc, coupera l’horizontale projetante du point oo' en un point o, qui, dans le rabattement, ne doit pas changer de place.

Un second point quelconque rr' de la droite ao\ co étant rabattu en /•", on construira cette ligne or" dans le rabat-

tement , et les points 7ii \ il'\ où elle coupe le cercle \^'a! se^ ront les points de tnngence demandés.

Il ne restera plus qu’à faire revenir ces points à leur place, ce qui donnera pour leurs projections les deux points mm' , nn' .

Les points de tangence étant obtenus, on pourra construire les ])lans tangents en opérant comme nous l’avons dit au n° 5^^0.

On peut aussi joindre les points mm' .^nn\ \es sommets des deux cônes par des droites qui , avec la ligne donnée ô//, sont suffisantes pour déterminer les plans tangents demandés par la question.

5i5. 5® solution. On peut encore remplacer l’un des deux cônes auxiliaires, dont nous venons de parler, par un cylindre parallèle à la ligne donnée. Dans ce cas, l’un des deux petits cercles aa , cc deviendrait un grand cercle dont le plan , passant par le centre de la sphère, serait perpendiculaire à la droite donnée.

Le reste se ferait comme dans l’épure précédente, c’està-dire que l’on rabattrait le cercle suivant lequel la sphère serait touchée par le cône auxiliaire , que l’on pourrai t toujours choisir comme ci-dessus , de manière que son axe soit parallèle à l’un des plans de projection.

On rabattrait également l’intersection du plan perpendiculaire à la droite donnée, et passant par le centre de la Sf)hère avec le plan du cercle , suivant lequel cette surface serait touchée par le cône auxiliaire.

Les points de tangence obtenus dans le rabattement seraient ensuite ramenés à leur place. Je me contenterai d’indiquer cette dernière solution comme exercice.

3'{6. Les relations qui précèdent donnent une deuxième solution d’un problème que nous avions résolu au n° 14^5.

Supposons qu’il s’agisse de construire un plan qui fasse avec les plans de projection des angles donnés.

Soit V l’angle que le plan cherché doit faire avec le plan vertical , et H l’angle que ce même plan doit faire avec le plan horizontal.

1'® operation. On décrira une circonférence quelconque ayant pour centre un point o, pris à volonté sur la ligne AZ ; cette circonférence pourra représenter en même temps les deux projections d’une sphère dont les méridiens principaux seraient alors situés dans les plans de projection.

' 2® opération. On construira la tangente sa, de manière que l’angle sao soit égal à l’angle H. Si on suppose que cette tangente tourne autour de la verticale so , elle engendrera un cône circulaire qui aurait son sommet en s et dont la base sera la circonférence ama.

3® opération. On construira la tangente uc telle que l’angle uco soit égal à l’angle V, puis on supposera que cette tangente tourne autour de l’horizontale uo , ce qui donnera un second cône circulaire ayant son sommet en u et dont la base sera la circonférence cnc.

Or, il est évident que tout plan tangent au premier cône fera avec le plan horizontal un angle sao égal à H.

De plus, tout plan tangent au second cône fera avec le plan vertical un angle uco égal à V.

Donc un plan qui serait en même temps tangent aux deux cônes satisferait aux conditions demandées.

La construction que nous venons d’indiquer donne deux solutions, savoir : le plan p et le plan p' .

Les traces de ces deux plans doivent contenir le sommet 5 et M des deux cônes auxiliaires et de plus être tangentes aux traces ama, cnc de ces cônes.

5^i7. Si les plans deman lés devaient contenir un point

donné dans l’espace, on pourrait d’abord opérer comme nous venons de le faire, après (juoi il ne resterait plus qu’.à faire passer par le point donné des plans parallèles à ceux que l’on aurait trouvés.

Dans ce cas, aux deux solutions précédentes il faudrait en ajouter deux autres, s.avoir : un troisième plan qui aurait sa trace verticale j)arallèle à jo^retsa trace horizontale parallèle à la droite xp" ^ qui louche derrière le plan vertical la trace de l’un des deux cônes auxiliaires.

Enfin, un quatrième plan qui aurait sa trace verticale parallèle à p'r et sa trace horizontale parallèle à rp'” .

Si la somme des angles H -f-V était égale à un angle droit , les traces des deux cônes auxiliaires passeraient par les points s et ii; de sorte que les quatre plans se réduiraient à deux qui seraient parallèles à la ligne AZ ; et si la somme des angles H -f-V était plus petite qu’un angle droit, les points J et ii seraient dans l’intérieur des cônes auxiliaires , et dans ce cas, le problème serait impossible.

Ce résultat est conforme à ce que nous avions dit au n« 146.

548. Coiislriiire un plan tangent à une sphère, par un point situé hors de la surface de eette sphère.

l"" solution. Par le point donné ss' [fig. 347), on fera passer une droite aa! par laquelle on construira deux plans tangents à la sphère, une seconde droite bb' déterminera deux autres plans tangents, une troisième droite en donnera encore deux, et ainsi de suite. Le nombre des plans que l’on peut construire ainsi est infini. Tous ces plans seraient tangents à un cône circulaire enveloppant la sphère et la touchant suivant un petit cercle zx que l’on nomme courbe de contact.

Si le point donné se rapprochait de la sphère , l’angle du cône s’ouvrirait, le cercle de contact diminuerait, et

son plan s’éloignerait du centre de la sphère; enfin lorsque le point donné arriverait sur la surface de la sphère, tous les plans tangents se réuniraient en un seul, qui remplacerait le cône enveloppant^ le cercle de contact, réduit à zéro, se confondrait avec le point donné.

Si , au contraire , le point donné s’éloignait à l’infini , le cône se changerait en un cylindre circulaire, et le cercle de contact deviendrait un grand cercle de la sphère.

5^p9. 2e solution. On prendra un plan de projection parallèle à la droite qui joint le poiut donné avec le centre de la sphère.

On concevra la sphère enveloppée par le cône circulaire qui aurait le point donné pour sommet.

On déterminera la direction du plan pq, de manière que la section a!a' du cône par ce plan se projette par une circonférence aa.

Enfin , tous les plans tangents demandés seront déterminés par le point donné ss' et par chacune des tangentes à la courbe «a, a!a! .

On remarquera que toutes ces tangentes ont une projection verticale commune pq.^ et que toutes leurs projections horizontales doivent être tangentes à la circonférence aa.

Les points de tangence seront déterminés par la rencontre du petit cercle zx avec les génératrices suivant lesquelles chaque plan tangent touche le cône auxiliaire.

550. Courbe de contaet. Dans les questions diverses que bon peut proposer sur les plans tangents , il faut distinguer les cas où il est nécessaire de construire les traces de ces plans, de ceux où le but principal est d’obtenir les points de langence.

Ainsi , par exemple , si on veut construire la courbe suivant laquelle la sphère serait touchée par tous les plans qui

PL. r>i.

contiennent le point donné, on pourra se dispenser de construire les trnces de ces plans.

En effet la courbe cherchée est la circonfcVence du petit cercle, suivant lequel la sphère serait touchée par la surface du cône circulaire qui aurait pour sommet le point donné.

Pour construire les deux projections de celte circonférence, on choisira [Jig. 330} un plan de projection parallèle à la droite qui joint le point donné ss' avec le centre de la sphère.

On tracera les deux tangentes s'z'.,s'x' et la corde ^'jc'qui joint les deux points de tangence.

Cette dernière ligne sera la projection verticale du cercle demandé.

La projection horizontale sera une ellipse dont le grand axe cc doit être égal à z'x\ et le petit axe zx est la projection horizontale du diamètre z'x\

551. Dans les deux questions précédentes (//^. 3fi-7 et 350), nous avons placé le centre de la sphère et le point donné dans un plan parallèle au plan vertical de projection. Si le point donné était placé partout ailleurs, on ramènerait la question au cas précédent, en faisant usage d'un plan de projection parallèle à l’axe du cône auxiliaire.

552. La question que nous venons de résoudre serait , au contraire, réduite à sa plus simple expression, si le point donné était situé sur l’une des perpendiculaires projetantes du centre de la sphère.

Dans ce cas [fig. 351), la ligne de contact serait le petit cercle zx\zx, et les plans tangents passant par le point donné auraient pour traces horizontales les droites b.^h\b" tangentes à la trace du côoe auxiliaire.

Les traces verticales, s’il était nécessaire de les cou-

s truire, seraient facilement déterminées en opérant comme nous l’avons dit au n° 50.

553. Construire un plan tangent à la sphère, parallèlement à une droite donnée.

E® solution. Nommons bb' la ligne* donnée (/%. 352, PI. 52 ); une droite quelconque cc\ menée parallèlement à la ligne donnée, déterminera deux plans tangents (|ui satisferont à la question ; une seconde droite oo' en donnera deux autres , et ainsi de suite. Le nombre des plans qui satisfont à la question est infini , ils toucheront tous un cylindre circulaire enveloppant la sphère et parallèle à la droite donnée. La ligne de contact sera un grand cercle zx dont le plan sera perpendiculaire à la direction de cette ligne.

55i. 2® solation. Concevons la sphère projetée sur un plan parallèle à la ligne donnée bb' .

Les deux tangentes so,so seront les limites de la projection verticale du cylindre circulaire qui enveloppe la sphère et qui est parallèle à la droite bb' .

Un plan a' a', perpendiculaire au plan vertical de projection et passant par deux angles opposés du quadrilatère a'a"a'a", coupera le cylindre suivant une ellipse qui aura pour ])rojection horizontale la circonférence aa (413).

Enfin, chaque plan tangent sera déterminé par l’une des génératrices du cylindre auxiliaire et par la tangente à la section au point où cette courbe est rencontrée

par la génératrice du cylindre.

Toutes ces tangentes auront la droite a’a' pour projection verticale commune, et toutes leurs projections horizontales seront tangentes à la circonférence aa.

Les intersections des génératrices du cylindre avec le cercle zx , suivant lequel ce cylindre touche la sphère, donneront les points de tangence.

LA sphj:kl

555. Courbe de contact. Si la (juesLion avait uniquement pour but de déterininei la courbe de contact , on se contenterait de construire {Jig> 35^p) la projection horizontale du cercle zx\ suivant lequel la sphère donnée est touchée par le cylindre auxiliaire.

Cette projection sera une ellipse dont le grand axe cc doit être égala z'x , et qui aurait pour petit axe la droite -sx, projection de z'x .

556. Si la droite donnée, au lieu d'être parallèle à l’un des plans de projection, était inclinée d'une manière quelconque, on emploierait une projection auxiliaire parallèle à cetteligne, et la question serait ramenée au cas précédent.

557. Etant donnés un point une droite et une sphère construire par le point un plan qui touche la sphère et qui soit parallèle h la droite donnée (fig. 353).

On yirendra le point donné s pour sommet d'un cône qui envelopperait la sphère, puis on tracera, par le sommet du cône , une seconde droite h parallèle à l.i ligne donnée a ; la ([Liestion sera réduite à construire par la droite ô, un plan tangent cà la sphère.

1! y aura deux solutions.

En faisant usage d’un plan de projection parallèle à l'axe du cône auxiliaire, on pourra employer la construction du n° 543.