Construire un plan tangent à deux sphères

Concevons les deux sphères A, B {fig. 355) enveloppées par un cône circulaire ayant son sommet en s. Tout plan touchant ce cône sera langent aux deux sphères données. Le nombre de ces [)lans est infini. Pour les construire, on pourra opérer comme nous l’avons dit (5/i9);ou bien on

fer.'i passer par le sommet du cône une suite de droites par chacune desquelles on constiuira deux plans tangents à l’une des deux sphères; chacun de ces plans touchera le cône dans toute l’étendue d’une génératrice, et contiendra par conséquent un point de la seconde sphère.

En enveloppant les deux sphères par le cône dont le sommet est en w, et construisant des plans tangents à ce cône, on obtiendra encore une série infinie de plans tangents aux deux sphères.

Si les deux sphères se touchaient , cette seconde série de plans se réduirait à un seul; enfin, si elles se coupaient, il ne resterait plus que les plans tangents au cône dont le sommet est en 5, lesquels plans se réduiraient euxmémes en un seul, si les sphères données se touchaient intérieurement.

659. Si l’on voulait construire un plan tancent aux deux sphères par un point m , situé hors de leurs suj faces, on joindrait ce point avec le point s, par la droite sni qui déterminerait deux plans tangents, la droite uni en déterminerait deux autres; ainsi le problème admettrait quatre solutions. Si le point donné était placé en n ou en sur la surface de l’un des deux cônes et hors du second , le nombre des solutions se réduirait à trois.

îl n’y aurait que deux plans tangents si le point donné était en ^ ou en ï, sur les cercles d’intersection des deux cônes.

Si le point donné était en x ou en jy, c’est-à-dire sur l’un des deux cônes et dans l’intérieur de l’autre, il n’y aurait qu’un plan tangent.

Enfin le problème serait impossible , si le point donné était en même temps dans l’intérieur des deux cônes.