Construire un plan tancent h trois sphères

LA SPIIEUE.

ÉlanL (loiiiiées les trois splicrcs A, B, G (/%. 356), on construira des cônes qui envelopperaient ces sphères deux h deux, tant extérieurement ({u’intérieurement ; on obtiendra pour les sommets de ces cônes six points, stuxyz, qui étant pris trois à trois, donneront quatre lignes droites, stu^ sxz , tyz^ uyx. Tout plan passant par l’une de ces droites et touchant l’une des trois sphères sera nécessairement tangent aux deux autres. Ainsi, par exemple, un plan qui contiendrait la droite sta et qui toucherait la splière A , contiendrait dans toute son étendue l’une des génératrices du cône w.A; il aurait donc un point de commun avec la sphère B, et comme il contient le point s ^ il toucherait le cône sB et par conséquent la sphère G.

Par chacune des quatre droites passant par les sommets des cônes, on pourra mener deux plans tangents, ‘ce qui fera huit solutions pour le cas général.

Voici la disposition de ces plans.

^er

En deçà de A,B,G.^ . .

Au delà de

Si quelques-unes de ces sphères se touchaient ou se coupaient, le nombre des solutions diminuerait. Si |les sphères étaient égales, les deux premiers plans seraient parallèles ; enfin si les rayons des sphères se réduisaient à zéro, les huit plans tangents se confondraient en un seul, les cônes enveloppants deviendraient trois lignes droites,

248 LA SPÈHRE. PL. 52-

et la question se réduirait à faire passer un plan par trois points { fi^. 358).

561. Construire un plan tangent a une sphère et a un cylindre.

Concevons [ fig- 357) la sphère enveloppée par un cylindre parallèle au cylindre donné; il ne restera plus qu’à construire un plan tangent aux deux cylindres. Pour y parvenir on coupera ces deux cylindres par un plan quelconque, ce qui donnera deux courbes que l’on sait construire; les tangentes communes à ces deux courbes appartiendront aux plans demandés; enfin on mènera par ces droites fies jdans parallèles aux deux cylindres. Si le cylindre donné B a pour directrice une courbe convexe et fermée, comme on le voit dans la figure, le problème admettra quatre solutions. En général , le nombre des solutions sera égal au nombre des tangentes que l’on pourra mener aux courbes provenant de l’intersection des deux cylindres par un plan quelconque.

562. Si le cylindre proposé B était circulaire,, on pourrait encore opérer comme il suit : on inscrirait dans ce cylindre B une sphère G, puis l’on construirait le cône jG , qui envelopperait cette sphère et la sphère donnée; enfin, menant par le point s une droite a parallèle au cylindre donné , on ferait passer par cette droite deux plans tangents à l’une des deux sphères; ces plans satisferaient à la question. La droite ô, menée parallèlement au cylin'lre par le sommet du cône qui enveloppe les sphères A et G intérieurement, déterminera deux autres plans tangents.

Si le rayon de la sphère donnée devenait égal à zéro, la question se réduirait au problème du n® (376).

Si les génératrices du cylindre se rapprochaient et se réduisaient à une seule, on reviendrait à la question (5^1-1).

5G3. Construire un plan tancent h une sphère et a un cône.

Concevons (//^. 359) la sphère donnée A enveloppée j)ar un second cône ayant le même sommet que le cône proposé; il ne s’agira plus que de construire un plan tangent à ces deux cônes. Pour cela on les coupera par un plan quelconque, ce qui donnera deux courbes auxquelles on mènera des tangentes. On fera passer un plan par chacune de ces tangentes et le sommet commun des deux cônes. Dans le cas indiqué sur la Jig. 359 , il y aura quatre solutions.

56/i. Si le cône proposé B est circulaire, on pourra inscrire dans ce cône une sphère G ; puis construisant le cône qui envelopperait les deux sphères, on n’aura plus qu’à mener les plans tangents aux deux cônes. Joignant les sommets par la droite sv^, on construira deux plans tangents à l’une des sphères; ces deux plans toucheront l’autre sphère, et le cône dans toute sa longueur.

La droite qui joint le point s avec le point u déterminera deux autres plans tangents.

Pour exécuter ces épures , on construira les projections des données , puis les tangentes aux projeclions des sphères seront les limites des cylindres ou cônes enveloppants. On opérera pour le reste comme dans les problèmes précédents.

565. Construire U intersection d'une ligne droite avee la surface d’une sphère.

Soit {a, a!) {fig. 360 , PL 55) la droite donnée ; construisons par cette droite un plan p, perpendiculaire au plan horizontal; ce plan coupera la sphère ( A A^) suivant un cercle vertical dont la projection horizontale b doit se confondre avec celle de la droite donnée , et qui aura pour pro-

jection verticale l’ellipse U cjue Ton construira par l’un des moyens indiqués (533, 53^r}. Ce cercle sera coupé parla droite {a,a')^ suivant deux points qui ap-

partiennent à la surface de la sphère.

On peut éviter la construction de l’ellipse b' en f.dsant tourner le plan p autour de la verticale c/, situé dans ce plan , jusqu’à ce qu’il soit arrivé dans la position p” parallèle au plan vertical. Dans ce rabattement, la droite donriée devient a”, et la section dans la sphère est le cercle les points demandés sont (m'W'); les projetant en et ramenant le plan p" à sa position primitive,

on aura les projections Quant aux projections

verticales elles seront déterminées par les inter-

sections des horizontales passant par les points m", m", avec les perpendiculaires à la ligne AZ , passant par les points {m, m).

566. Si le cercle b" était touché par la droite a' , on en conclurait que la ligne ad touche la surface de la sphère, et si d' ne rencontrait pas V il n’y aurait pas de points communs entre la sphère et la droite donnée.

567. Si l’une des projections de la ligne donnée ( jig. 363) passait par le centre de la projection correspondante de la sphère, on emploierait comme surface auxiliaire le plan projetant de la ligne; la section dans la sphère serait un grand cercle, dont on éviterait la construction en le rabattant autour de la ligne projetante du centre; par suite de ce mouvement la droite donnée viendrait se placer en d\ et les deux points m\m'\ ramenés à leur place, deviendraient (m,m)

568. Enfin, si la ligne donnée était parallèle à l’un des plans de projection, le plan auxiliaire serait lui-même pa-

lallèlo à ce plan, de sorte tjue la section dans la sphère se projetant par un cercle, il aurait à construire ni ellipse ni rabattement.

569. Construire la section de la sphère par un plan oblique aux plans de projection.

Concevons (/%• 362) un plan horizontal p. Ce plan coupera la sphère A suivant un cercle {a.^d) , et le plan donné B suivant une ligne {h, h) parallèle à la trace horizontale. Or le cercle (a, a) et la droite (Z>, h) , étant dans un meme plan, se couperont en deux points {ni, ni) (m,77z’), qui feront partie de la courbe cherchée. En recommençant cette construction , on obtiendra autant de points que l’on voudra. Mais pour vérifier les constructions et pour éviter les intersections trop aiguës, il sera bon de faire simultanément usage de plans parallèles au plan horizontal , et de plans parallèles au plan vertical. Ainsi un plan p , parallèle au plan vertical, vérifierait la position de l’iin des points ml et déterminerait celle du point mi .

Cette méthode a l’inconvénient de laisser de l’incertitude sur la position du point le plus élevé, et sur celle du point le plus bas de la courbe.

On pourra trouver ces points, et en meme temps on donnera plus d’exactitude aux constructions, en projetant la sphère sur un [)lan auxiliaire p\ vertical et perpendiculaire au j)lan coupant B. La projection A'' de la sphère sur ce plan s’obtiendra en prenant sur la projection verticale primitive la hauteur du centre au-dessus du plan horizontal, et l’on aura la nouvelle trace du plan B, en projetant un point quelconque de ce plan sur le plan auxiliaire p" . Dans cette nouvelle projection verticale, la section, qui est une courbe plane, sera représentée par la ligne droite oz. Le point u sera le point le plus bas de la courbe , et le point z sera le point le plus élevé. Pour construire

par ce moyen la projection horizontale d’un point de la courbe, on concevra comme précédemment un plan horizontal jü, qui coupera la sphère suivant le cerclées, et le plan B suivant la droite b, et l’intersection de b avec a donnera les deux points m, m.