Comme l’on sait ( Géom.) que l’intersection d’une

sphère par un j)lan est toujours un cercle , il sera encore plus exact de rabattre ce cercle sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de la trace horizontale du plan B. Les deux points qui, sur le plan auxiliaire sont projetés en ni', viendront, dans le rabattement sur le plan horizontal , se placer en et leurs projections horizon-

tales (ni, ni) seront déterminées par les intersections de la ligne avec les deux droites nini^'’ ^ mni^'' ^ menées par les points m*'", perpendiculairement à la trace horizontale du plan B.

Au lieu de la projection auxiliaire sur le plan p"\ on aurait pu faire usage de la section , par un plan verlical p"' passant par le centre et perpendiculaire au plan B, et l’on aurait pu faire tourner ce plan autour de sa trace’ verticale, pour le rabattre dans la position A

Au surplus je n’ai indiqué tous ces rabattements que pour faire voir comment on peut vérifier les constructions, ou leur donner plus d’exactitude; mais il sera toujours préférable de prendre dès l’origine un plan de projection perpendiculaire au plan coupant.

571. Au lieu de chercher les points suivant lesquels le plan donné coupe les parallèles de la sphère, on peut déterminer l’intersection de ce plan avec les méridiens.

Ainsi, par exemple (//g. 3G1) , le plan méridien 0 — k coupera le plan donné suivant une droite , et la sphère suivant un grand cercle. Ces lignes, étant toutes deux situées

LA SPIIEIIK.

dans le ])lan 0 — 4, se couperont suivant deux points qui appartiennent à la courbe demandée.

Pour éviter la projection elliptique du grand cercle , provenant de la section de la sphère par le plan auxiliaire 0 — 4, on fera tourner ce plan autour de la verticale projetante du point O; dans ce mouvement , la section méridienne o — ii viendra se placer dans le plan vertical 0 — 6', et se confondra par suite de ce rabattement avec le méridien principal de la sphère^ on construira le point suivant lequel le plan donné B est percé parla vertical passant par le centre de la sphère. De plus, le point k se rabattra en V', et la droites — 4'' sera l’intersection du plan donné B par le plan méridien 0 — k.

Les deux points projetés sur 0 — 6' et ramenés de

là dans le plan méridien 0 — feront partie de la courbe demandée.

Chaque rabattement fera connaître quatre points : en eflet, par suite de la position symétrique des deux plans O — k, O — 5, les opérations ellectuées pour déterminer les points situés dans le plan 0 — k conviendront également pour les points situés dans le plan o — 5.

Le plan méridien 0 — 1, perpendiculaire au jilanB, donnera le point le plus bas et le point le plus élevé de la couibe.

La droite s — 6”, tangente au méridien principal de la sphère, déterminera les deux plans 0 — 6, 0 — 7, tangents à la projection horizontale de la courl)e cherchée.

572. La section de la sphère par un plan étant toujours un cercle, et la projection d’un cercle étant toujours une ellipse ( Géom. anal.), on peut encore opérer comme il suit : Soit [fig. 361) la sphère A, A' et le plan B, on construira par le centre de la sphère un plan méridien 0 — 1 , perpendiculaire au plan B; en faisant tourner ce plan au-

tour de la verticale , qui passe par le centre de la sphère , le points, suivantlequel le plan donné est percé par la verticale du centre , ne changera pas de place , le point 1 viendra se placer en 1' et se projettera en i” . Le cercle cherché perpendiculaire au plan 0 — 1 , sera représenté dans ce rabattement par la droite égale à la véritable grandeur du diamètre de la section;le point c" , milieude étant ramené en c et relevé en e' , donnera les deux projections du centre. Le grand axe de la projection horizontale sera horizontal , et par conséquent parallèle à la trace horizontale du plan B, et le grand axe de la projection verticale sera parallèle à la trace verticale de ce même plan. De plus, les longueurs de ces grands axes sont égales à la lii^ne ; et comme on sait que les petits axes des ellipses sont perpendiculaires aux grands , il ne manque plus que de connaître ces petits axes ou un point quelconque de la courbe (255) : le point

projeté horizontalement en et ramené en sera Textrémité du petit axe pour la projection horizontale de la courbe.

En faisant par le centre de la sphère une section perpendiculaire «à la trace verticale du plan B, et rabattant cette section comme nous venons de le faire pour le plan 0 — 1, on aura le petit axe pour la projection verticale.

On peut encore remarquer que Taxe mn étant horizontal , doit avoir sa projection verticale parallèle à la ligne AZ, de sorte qu’en élevant la perpendiculaire mm\ on aura sur la projection verticale, un point m' qui^avec Taxe e'r\ suffit pour construire Leliipse, et dispense de chercher le petit axe de la projection verticale du cercle.

573. On peut faire usage d^un plan oblique pour résoudre le problème énoncé (565).

Soit [Jig> 364-) la sphère A, A', dont on demande l’intersection par la droite donnée {a, a). Concevons un plan par