VL. 55. LA SPTIÈUE
celte droite et le centre de h) sphère 5 Tintersection de la sphère par ce plan sera un grantl cercle qui aurait pour projection horizontale une ellipse; mais on évitera la consLi'uclion de celle courbe en faisant tourner le plan coupant autour de Thorizontaîe passant par le centre de la sphère. Par suite de ce rabattement, la section dans la splière viendra se confondre avec le çrand cercle qui forme la limite de sa projection horizontale; la li£>;ne donnée se rabattra en a" , et les points cherchés seront (m", m"). Ces jioints 1 eviendi ont à leur place , en décrivant deux arcs verticaux projetés en {mm \ mm”), perpendiculairement à la ligne (ec') prise pour charnière du rabattement : les perpendiculaires {m\ m) [m' , rn) détermineront les projections verticales des points demandés.
Intersection des sphères , cylindres et cônes.
574. Trouver la courbe provenant de l intersection d’une sphère et dun cylindre.
Pour obtenir sur la splière les lignes les plus simples, il faudrait couper les deux surfaces données par des plans parallèles à l’un des plans de projection , mais alors les sections dans le cylindre seraient des courbes égales à sa trace, et que l’on ne pourrait construire (jue par points, excepté dans le cas où cette tiace serait un cercle. On fera donc mieux d’employer des jilans parallèles aux génératrices du cylindre et perpendiculaires à l’un des plans de projection. Il est vrai que les sections dans la sphère auront pour projection des ellipses, mais d’abord on pourrait trouver facilement les axes de ces elli[)ses, qu’il ne serait pas même nécessaire de construire entièrement. Ensuite on pourra éviter la construction de ces courbes en [)rojetant les sections faites dans le cylindre et dans la sphère, sur un plan auxiliaire vertical, et parallèle aux généra-
LA SPHÈRL. PL. 54.
trices du cylindre. Ainsi , par exemple, pour obtenir Tintersection de la sphère (A, A') {fig. 365, PI. 54) et du cylindre (B, B'), on construira un plan vertical p parallèle aux génératrices du cylindre; ce plan coupera le cylindre suivant deux droites {b,b') (^,6'), qui, projetées sur le plan p" et rabattues sur le plan horizontal , deviendront (A", b"). La section dans la sphère sera représentée dans ce rabattement par le cercle a!\ et les intersections de ce cercle par les droites {b” J?') donneront (|uatre points [m”). En relevant le plan p'\ il sera facile d’obtenir les projections horizontales {m m) de ces quatre points, et par suite leurs projections verticales. En recommençant cette construction on obtiendra autant de points que l’on voudra.
Dans l’exemple que nousavons choisi , il y a deux courbes, ce qui forme une pénétration dans la sphère; une porlion de l’une des deux courbes est située derrière le plan veiiical de projection.
La question que nous venons de résoudre revient évidemment à chercher l’intersection de chacune des génératrices du cylindre avec la sphère; il ne s’agit donc que de faire plusieurs fois la construction indiquée n® 565.
575. On évite ordinairement la projection auxiliaire sur le plan p'\ en plaçant dès l’origine le cylindre parallèlement à l’un des plans de projection , comme on le voit (./%. 366).
576. Construire la courbe provenant de V inlersection une sphère et d'un cône.
Soient (/%. 367 ) la sphère A, A' et le cône donné B, B', on construira par le sommet du cône un plan vertical p, ce plan coupera le cône suivant deux lignes droites (ô,//) {b, b') , que l’on rabattra en {b" b") , sur le plan horizontal ,
îî’ v .
en lesfjiisant tourner autour de la trace du jdan p, la s.ec tion de la sphère par ce même ])lan sera le cercle a!' , et les quatre points {ni" , m'\ ....) feront partie de la courbe cherchée; en ramenant le plan p à sa place, les points {ni' — ) /
viendront se projeter en (m ), d’où il sera facile de dé-
duire leurs projections verticales {m' — ).
577. Si la trace du cône était un cercle, on pourrait employer comme surfaces auxiliaires, des plans parallèles au plan de projection. Dans ce cas (/%• 368), les sections dans le cône et dans la sphère seraient des cercles parallèles au plan de projection.
578. On devrait encore faire usa^e de plans parallèles aux plans de projection, si le sommet du cône n’était pas sur l’épure ; alors on obtiendrait pour section dans le cône, des courbes parallèles et semblables à sa trace, et la construction de ces courbes ne présenterait aucune difïiculté (490).
579. Construire la courbe provenant de l’intersection de deux sphères.
Un plan jo, parallèle au plan horizontal (/%. 369), coupera les sphères proposées suivant deux cercles, dont les projections verticales a et b’ se confondront avec la trace du plan p, et dont les projections horizontales, a, ô, donneront pour leur intersection deux poinls (m, m) appartenant à la projection horizontale de la courbe cherchée. Les projections verticales de ces mêmes poinls seront déterminées parles perpendiculaires mni, mm'.
fje plan parallèle au plan vertical, vérifie la position de l’un des points précédents et détermine celle du point (n,n'). On obtiendra par ce moyen autant de points que l’on voudra.
Le plan horizontal p" passant par le centre de la sphère donne les points suivant lescjuels le grand cercle formant la projection horizontale de cette splière est touché par la projection horizontale de la courbe cherchée, et le plan vertical p''\ passant par le centre de la même sphère, donne les points suivant lesquels la projection verticale est touchée par celle de la courbe.
580. On sait ( Gèom.) que la courbe provenant de l’intersection de deux sjihères est un cercle, et que par conséquent ses projections doivent être des ellipses.
Si l’on voulait en déterminer les axes, on opérerait de la manière suivante : Concevons {Jîg. 370) un plan vertical p, contenant les centres de deux sphères (A,A'j (B, B'). Ce plan les coupera suivant deux grands cercles verticaux qui, rabattus dans le plan Bjy', en tournant autour de la verticale du centre, seront représentés par les cercles a et b. Le cercle cherché, perpendiculaire à la ligne des centres, sera , par suite de ce rabattement , projeté par la droile , qui sera la véritable grandeur du diamètre , et par conséquent celle des grands axes st,XLi: le point p» projeté en et ramené en donnera l’extrémité du petit axe pour la projection horizontale. En' coupant les deux sphères par le plan p" , perpendiculaire au plan vertical , et rabattant la section dans le plan horizontal p'”, on obtiendra le point 7i'' pour l’extrémité rlu petit axe de la projection verticale. Enfin les plans p^^ p"\ p^ p\ menés par les centres de sphères et parallèlement aux plans de projection , détermineront les points suivant lesquels les grands cercles formant les projections de ces sphères sont touchés par les projections de la courbe,
581. On évitera une grande partie de ces constructions en prenant dès l’origine un plan de projection parallèle à
i.A spïi(<:iu:.
la li^ne des centres, comme on l’a fait pour obtenir l’intersection des deux sphères (13, B') (G, G') (/%. 309) : dans ce cas, la projection verticale de la section est la droite ciU , et la projection horizontale a pour grand axe et pour petit axe ah ^ projection horizontale
de a!h\
582. Questions diverses. Je terminerai ce chapitre par quelques combinaisons remarquables de la sphère avec le cylindre et le cône.
583. Supposons qu’il s’agisse 375, FL 55) de trouver la courbe d’intersection d’une sphère par un cône, qui aurait pour sommet le centre de la sphère.
On coupera, comme nous l’avons fait au n° 576, les deux surfaces proposées par des plans verticaux passant par le sommet du cône. Tous ces plans contenant le centre de la sj)hère, couperont cette surface suivant des grands cercles, dont on évitera la projection elliptique, en les rabattant autour de la verticale projetante du centre de la sphère.
Ainsi, par exemple, pour avoir le point où la génératrice s — 1 perce la sphère, on concevra le plan vertical projetant de cette ligne; la section dans la sphère sera un grand cercle, qui, étant rabattu autour de la verticale du point ss\ viendra se confonrlre avec la j)rojcction du méridien principal. La génératrice s — 1 se ral)attra en s — X" , et l’intersection de cette droite avec le grand cercle vu donnera le point m", qui, ramené à sa place ^ deviendra m, ni .
La meme opération étant recommencée pour toutes les génératrices du cône , on obtiendra les deux courbes ac^aJc' pour les projections de la li^jOe de pénétration du cône dans la sphère.
LA SPîlEPiE.
PL- oS.
Si l’on veut construire cette courbe dans le développement de la surface du cône, on remarquera d’abord que puisqu’elle appartient à la surface de la sphère, tous ses points sont à égale distance du point ss' sommet du cône.
De plus, chafjue élément infiniment petit de la courbe que nous venons d’obtenir peut être considéré comme situé dans un plan tangent à la surface de la sphère, et j)ar conséquent La courbe d’intersection rencontre partout à angle droit les génératrices du cône, puisque ces lignes sont des rayons de la Sj)hère.
•Si l’on éloignait le sommet jusqu’à l infini , le cône se changerait en un cylindre, la sphère en un plan, et par conséquentla courl)e deviendrait plane et représenterait la section droite du cylindre. Ainsi , la courhe ac^dc est pour le cône ce que la section droite est pour le cylindre.
Tous les points de la courbe que nous venons d’obtenir étant à égale distance du sommet du cône, si l’on conçoit celte courbe partagée en un grand nombre d’arcs trèspetits, et que par les points de division on fasse passer des génératrices du cône, on pourra sans erreur sensible regarder la portion de surface conique comprise entre deux génératrices consécutives et le petit arc correspondant , comme un triangle isocèle , de sorte qu’en plaçant tous ces petits triangles à côté les uns des autres , leur ensemble formera un secteur de cercle. De là résulte la construction suivante :
Du point s' avec un rayon égal à 5V, on décrira l’arc de cercle om’^ sur lequel on portera la longueur véritable de la courbe à double courbure obtenue précédemment, et le secteur sera le dévelop[)ement
de la portion de cône comprise entre le sommet et la courbe «c, de' .
Pour avoir la longueur de l’arc m"' oiu'\ on développera le cylindre projetant de la courbe ac, de' (325) , ce qui don-
LA SPIIEUL.
nera la courLe in'" ont” \ on jiorlera les arcs qui composent celte courbe à la suite les uns des aulres sur le cercle ce qui déterminera le secteur formant le développernerit du cône.
En portant ensuite sur cinujue rayon prolongé la véritable grandeur de la partie tie la génératrice correspondante, on construira facilement la courbe i"' zi'" qui leprésente le développement de la trace horizontale du cône.
584'. Si le cône proposé était circulaire {Jîg. 376), la ligne de pénétration serait un cercle perpendiculaire à l’axe du cône.
585. La ligne de pénétration sera encore un cercle {/ig. 377), toutes les fois que le cône sera circulaire et que son axe passera par le centre de la sphère.
586. Si le sommet est en dehors de la sphère il y aura deux cercles de pénétration, et Ton conçoit que si le sommet s’éloignait jus(ju’à l’infini , le cône se changerait en un cylindre et les deux cercles deviemiraient égaux.
D’où il résulte que lorsque Taxe d’un cylindre circulaire passe par ie centre de la sphère, les lignes de pénétration sont deux cercles égaux et parallèles.
587. 11 n’est pas toujours nécessaire cjue le cône et le cyiinflre soient circulaires , et que leurs axes passent par le centre de la sphère pour que les lignes (ie pénétration soient des cercles.
Supposons, par exemple, que la sphère A {/îg. 379) soit pénétrée par un cône oblique, je dis que si la courbe a'c' est un cercle, la courbe ac sera aussi un cercle, et réciproquement.
En efièt, par le point o, milieu de ac^ concevons un
plan [)arallèie à celui de la courbe a'c\ nous obtiendrons dans le cône une section qui sera semblable à ac\ et par conséquent circulaire.
Dans tout quadrilatère inscrit, la somme des angles opposés est toujours égale à deux angles droits.
On aura donc l’angle
a"aO'^acc = ^ angles droits; mais par suite du parallélisme des lignes a!'d\ a!c\ on a :
aVo + cc"o = 2 angles droits.
Par conséquent :
al' ao + alc'c = cêc'c -f- cc"o ;
Donc
a''ao = cc"o.
De plus, les angles aoa".,coc" étant égaux comme opposés par le sommet, les deux triangles al'ao^cl'co sont semblables et donnent la proportion
a” O : oc : : ao : oc" ^
d’où
a”oxoc" = aoXoc. (1)
Mais la section a"c” semblable à a'c' étant un cercle, si nous nommons l’ordonnée qui a son pied en o, nous aurons
j“=:.a"oxoc". (2)
D’où l’on tire, en comparant les équations (l)et(2),
= X oc;
et puisque le point o est le milieu de ac ,
Donc
fz=ao.
Ainsi , ac est une ellipse dont les deux axes sont égaux ; par conséquent cette courbe est un cercle.
LA SPIIEKK.
588. Pnr (les raisonneinenis an;» loques il serait facile (le prouver que dans le cas où l’une des courbes de pénétration serait un cercle olc , la seconde courbe de pénétration serait un autre cercle ac .
589. Si le sommet du cône était dans l’intérieur de la spbère, les deux courbes de pénétration n’appartiendraient pas à la meme nappe du cône.
590. Si, au contraire, le sommet du cône s’éloignait jusqu’à l’infini (/Z^. 378), les deux courbes de pénétration deviendraient égales et placées symétriquement par rapport à un plan pq perpendiculaire à la droite qui contient leurs centres.
