Raccordement de la sphère a^^ec le cylindre et le cône

Pour qu’une sphère se raccorde avec un cône ou un cylindre il faut :

Que le cône ou le cylindre soit circulaire j 2° Que leur axe passe par le centre de la sphère ;

PL. J. A SPIIEKK. 265

3® Que la i>éiiératrice du cône ou du cylindre soit tangente à la sj)lière.

La ligne de raccordement d’un cylindre avec la splière {Jig> 372) sera toujours un grand cercle zx\ et la ligne de raccordement de la sphère et du cône sera un petit cercle wu {.fis- 371).

Épicycloïde sphérique.

596. Soient ( /%, 380, PL 56) deux cônes circulaires (A,A')(B,B') ayant pour sommet commun le point ss\ et pour bases les deux circonférences {a — 15) (a' — 15) et (15 — c') (15 — c) tangentes au point 15.

Si Ton fait rouler le cône BB'sur le cône immobile AA^ chacun des points de la circonférence (c — 15) (c' — 15) décrira une courbe à laquelle on donne le nom à’ épicjcloïde sphérique.

On demande de construire les projections de Tune de ces courbes.

Nous prendrons pour l’un des deux plans de projection celui qui contient la base du cône immobile , et nous allons construire la courbe engendrée par le point 1, 1' du cercle incliné.

Nous ferons tourner le cercle générateur autour de l’horizontale projetante du point cd , et lorsque nous aurons amené ce cercle dans le plan horizontal d — 15^, nous le partagerons en un nombre quelconque de parties égales, en 16 par exemple.

Nous ferons revenir le cercle générateur à sa place, et nous déterminerons bien exactement chaque point de division sur les deux projections 15 — 'c , 15 — d.

Enfin , nous porterons tous les arcs égaux du cercle générateur à la suite les uns des autres sur la circonférence du cercle immobile. Cela étant fait:

Proposons-nous de construire la courbe engendrée par

LA SPHEPiE.

le point 1. Nous choisirons ce point de préférence , jdin que la projection de la courbe cherchée ne se confonde pas avec les opérations précédentes.

Si nous supposons actuellement qi:e Ton fasse rouler le cône incliné dans le sens indiqué par la flèche , les différents points de division ducercle 15 — c, 15 — c’ viendront successivement toucher les points correspondants de la base du cône immobile , et le centre oo' du premier cercle parcourra dans l’espace un arc projeté sur le plan horizontal par la circonférence oo" et sur le plan vertical par la droite oo" .

Lorsque le point 2 viendra toucher la circonférence du cercle immobile, le point 1 sera placé, par rapport au point 2, comme le point 14 était ]dacé par rapport au point 15, au moment où les axes des deux cônes étaient dans un même plan parallèle au plan vertical de projection. De sorte que pour obtenir le point E on décrira du point 5, comme centre, la circonféi ence 14 — puis avec le compas on fera l’arc de cercle p»' — L égal à — 14.

Pour déterminer le point P' on décrira la circonférence 13 — n', et l’on fera l’arc ii! — l" égal à u — 13.

En continuant à opérer de la même manière, on obtiendra tous les points de la courbe demandée , quelle que soit la position du cercle mobile.

Le point générateur ne quitte pas la surface d’une sphère quia pour rayon la droite 5' — 15, génératrice commune des deux cônes ; c’est pourquoi la courbe obtenue se nomme épicycloïde sphérique pour la distinguer de V épicycloïde plane que nous avons étudiée au n° 298.

597. Si le sommet commun aux deux cônes s’éloignait du plan horizontal a' — 15, la courbure de la sphère diminuerait, et lorsque le centre serait parvenu jusqu’à l’infini , la surface de la sphère serait plane, les deux cônes seraient

remplacés par deux cylindres circulaires, et la courbe engendrée serait une épicycloïde plane.