On peut donc conclure de ce qui précède qu’un

point de tangence est un point multiple, puisqu’il résulte du rapprochement d’une infinité de points de sections.

625. Ces points, quoique infiniment rapprochés, déterminent la position du plan tangent p'q', mais ne suffisent pas pour le construire.

Si l’on veut obtenir les traces, il sera nécessaire d’introduire quelque autre condition facile à exprimer graphiquement.

626. Concevons par le point a {fig* 392) une courbe ao"o'o quelconque située sur la surface , et supposons que cette courbe soit coupée par le plan pq suivant le point o, la droite as , qui joindra ce point avec le point a, sera une sécante par rapport à la courbe aol'o'o.

Or, si nous faisons tourner le plan pq autour de mti qui touche la surface au point a, le point o deviendra successivement o\o'’ , a.

Enfin , lorsque les points de section o" et a seront réunis, le plan pq sera tangent au point a , et la sécante as deviendra as"' tangente à la courbe ao"o'o, sans avoir cessé un seul instant d’appartenir au plan pq dans les diverses positions par lesquelles ce plan a successivement passé pour devenir p'q' .

La courbe ao"o'o pouvant être prise dans la direction que l’on voudra, il s’ensuit que le plan tangent en un point quelconque dhine surjace donnée doit contenir les tangentes à toutes les courbes que Ion peut faire passer par ce point sur la surface.

627. Nous pouvons encore arriver à la même conséquence en raisonnant de la manière suivante ;

Quand on considère une ligne courbe comme composée d’une infinité de côtés, cela ne veut pas dire que 1 on soit

autorisé à rci^arder chacun deux comme un point unique; on doit plutôt admettre que ce sont de petits côtés de polygones dont les extrémités se sont tellement rapprochées, que leurs longueurs se trouvent réduites à zéro ; de sorte que la direction de chacun de ces côtés reste déterminée, et c’est le prolongement de cette direction qui produit la tangente.

628. Les mêmes raisonnements s’appliqueront aux surfaces courbes. En considérant ces espèces de surfaces comme composées d’une infinité de petites facettes, il ne faut pas regarder chacune d’elles comme un point unique , mais comme la réunion de plusieurs points rapprochés, de manière à n’en faire qu’un seul , en conservant toutefois cette condition que tous ces points n’ont pas cessé d’être dans un même plan. De sorte que si l’on conçoit une droite passant par deux quelconques de ces points infiniment rapprochés , la direction de cette ligne n’en sera pas moins déterminée, et assujettie à se confondre avec le prolongement de la facette infiniment petite qui contient ces deux points.

Or cette facette ainsi prolongée n’est autre chose cjue le plan tangent; d’où il suit que si en un point d'une surface courbe on conçoit un plan tajigent , ce plan contiendra les tangentes a toutes les courbes qui dans la surface passeraient par le point de tangence.

629. Les considérations qui précèdent étant admises, la construction des plans tangents en un point d’une surface courbe se réduit aux deux opérations suivantes {fig. 395);

V Construire par le point donné deux tangentes a la surface ;

2" Faire passer un plan par ces deux droites.

Il n’y a plus pour chaque cas particulier qu’à choisir,

parmi toutes les courbes qui passeraient par le point donné, celles auxquelles il est le plus facile de mener deux tangentes.

630. Lorsqu'une ligne droite est située tout entière dans . une surface courbe elle peut être prise pour une tangente a cette surface.

Car on peut la considérer indilféremment comme une courbe dont le rayon serait infini, ou comme la tangente à cette courbe.

C'est ainsi cjue pour construire les plans tangents aux cylindres et cônes, nous avons regardé comme tangentes les droites génératrices de ces surfaces, de sorte qu’une seconde tangente a suffi pour déterminer le plan tangent.

Pour la sphère, le plan perpendiculaire h l’extrémité du rayon qui aboutit au point de tangence, coniient évidemment les tangentes à tous les cercles qui passent par ce point.

631. Pour obtenir une normale il suffit de construire par le point de tangence une perpendiculaire au plan tangent.

632. Tout plan qui contient la normale se nomme plan normal ; la section de la surface par ce plan se nomme section normale.

633. Si l’on fait tourner le plan normal autour de la normale, on obtiendra une suite de sections dont la courbure est différente pour chacune des positions du plan coupant.

On démontre dans les traités de géométrie analytique que la section qui a le plus grand rayon de courbure, est toujours perpendiculaire à celle qui a la plus petite courbure.

Quelquefois la courbure des sections normales qui passent par un point donné est constante.

C’est ce qui a lieu pour la sphère et pour quelques sections dont nous parlerons dans le chapitre suivant.

634. Pour obtenir la section d’une surface courbe par un plan, il suffit de construire la suite des points suivant lesquels ce plan coupe un système de lii^nes tracées sur la surface.

Il n’y a plus dans chaque cas particulier qu’à choisir le système de lignes le plus simple.

La ligne provenant de la section par un plan est toujours une courbe plane , dont la forme dépend de celle de la surface coupée.

Si l’on prend un plan de projection perpendiculaire au plan coupant, la courbe cherchée se projettera en ligne droite, ce qui abrégera beaucoup les opérations.

La véritable grandeur de la courbe s’obtient par un rabattement.

635. L’une des questions les plus importantes de la géométrie descriptive est celle qui a pour but de construire la courbe d’intersection de deux surfaces.

Il est évident que cela revient à construire un point commun aux deux surfaces données; car, en recommençant les mêmes opérations , on pourra trouver autant de points que l’on voudra, communs aux deux surfaces; puis, l’on fera passer par tous ces points une courbe, qui sera l’intersection demandée.

Nommons en général A et B les deux surfaces données {fig. 393), on construira une surface auxiliaire quelconque, que nous nommerons G. Cette surface coupera la surface A suivant une ligne a, et la surface B suivant une ligne b. Or, ces deux lignes a et ^ étant situées dans

une même surface G, se couperont en un point ;n, qui appartiendra aux deux surfaces proposées, puisqu'il sera en même temps sur deux lignes faisant partie de ces surfaces.

Une deuxième surface auxiliaire coupera les surfaces proposées suivant deux lignes a' , h\ qui, par leur intersection, donneront un point m'.

Une troisième surface donnera un point m”.

Une quatrième surface donnera un point /n'", etc.

La courbe qui passera par les points w, m', m", sera la pénétration demandée.

La solution générale étant trouvée , il ne reste plus dans chaque cas particulier qu’à choisir le système de surfaces auxiliaires, de manière que les lignes a, a', a!\

h\ b", qui résultent de leur intersection avec les

surfaces données, soient le plus simples possible et le plus faciles à construire.

On prendra presque toujours des plans pour surfaces auxiliaires; quelquefois cependant il pourra être utile d’employer des cylindres, des cônes ou des sphères, tout dépendra de la nature des surfaces données ou de leur position dans l’espace.

Ainsi , pour avoir l’intersection de deux cylindres , nous les avons coupés par un système de plans parallèles à leur direction.

Pour l’intersection d’un cylindre par un cône , nous avons employé des plans parallèles au cylindre et contenant le sommet du cône; et pour obtenir la pénétration de deux cônes, nous les avons coupés par des plans passant par les deux sommets.

Cependant il peut y avoir telle disposition d’épure où il vaudrait mieux employer des plans parallèles ou perpendiculaires aux plans de projection ; c’est cequel’ha-

bitude des applications mettra promptement en état de décider.

636. Parmi les pénétrations de deux surfaces , nous devons surtout remarquer le cas où Tune d’elles serait perpendiculaire au plan de projection ; elle devient alors la surface projetante de la courbe demandée, et sa trace en est la projection. Pour obtenir la seconde projection , il suffit d’élever des perpendiculaires à la ligne AZ , par tous les points où cette trace est rencontrée par les projections d’un système de lignes tracées daiis l’autre surface.

Cette combinaison peut toujours être obtenue par un choix convenable de plans de projection toutes les fois que l'une des deux surfaces données est un plan, un prisme ou un cylindre.

637. Nous avons vu dans le chapitre P'^du livre II comment on peut construire des tangentes aux courbes planes ; mais lorsqu’il s’agit d’une courbe à flouble courbure, le plus simple est de la considérer comme provenant de l’intersection de deux surfaces. Alors la question se réduit à construire par le point donné des plans tangents à ces deux surfaces, et l’intersection de ces plans est la tangente demandée.

Quoique la courbe proposée puisse provenir de l’intersection de deux surfaces courbes quelconques, on peut toujours, si cela est plus commode, se contenter de construire des plans tangents aux deux cylindres projetants, de sorte que les traces de ces plans tangents seront les deux projections de la tangente.

638. Tout plan passant par le point de tangence et perpendiculaire à la tangente, sera perpendiculaire à la courbe,

et prendra pour cette raison le nom de plan normal à la courbe,

639. La tangente étant perpendiculaire au plan normal sera perpendiculaire à toutes les droites qui passeraient par son pied dans ce plan.

Il semblerait donc permis de considérer chacune de ces lignes comme une normale à la courbe. Gela ne serait pas exact ; il faut se rappeler ce que nous avons dit au n“ 332, que la normale en un point d’une courbe à double cour-bure doit être située dans le plan osculateur de cette courbe. D’où il résulte que la normale sera l’intersection du plan normal par le plan osculateur.

640. Pour trouver l’intersection d’une surfaceB(/i^. 394) par une ligne quelconque a, on fera passer par cette ligne une surface auxiliaire que nous nommerons G. Gette surface contiendra le point cherché m, et comme ce point doit faire partie de la surface donnée B, il sera sur la ligne b, provenant de l’intersection des surfaces B et G.

Or, le point m devant être à la fois sur les lignes a et ù, sera où elles se coupent.

La question étant ainsi résolue d’une manière générale , il n’y aura plus qu’à choisir, pour chaque cas particulier, la surface auxiliaire G, de manière que la ligne b provenant de son intersection avec la surface B, soit la plus simple possible et la plus facile à construire.

Si la ligne donnée est courbe on pourra faire usage de l’un des cylindres projetants de cette courbe.

Si la ligne donnée est droite {fig> 391) on emploiera comme surface auxiliaire un plan perpendiculaire ou oblique au plan de projection suivant qu’on le jugera nécessaire.

Il est évident aussi que la ligne donnée pourra percer

la surface en plusieurs points; dans ce cas il sera utile de reconnaître ceux de ces points qui sont vus ou cachés sur les diverses projections de la surface.