CHAPITRE II

641. On désigne en général par ce nom les surfaces qui proviennent du mouvement d’une ligne quelconque, assujettie à tourner autour d’une droite fixe, par rapport à laquelle elle conserve toujours la même position.

Supposons, par exemple {fig. 396, PL 58), la droite aa' , immobile, et perpendiculaire au plan horizontal; concevons, de plus, la courbe à double courbure coz ; si nous faisons tourner cette dernière ligne autour de aa! de manière qu’elle ne change pas de position par rapport à cette droite, la surface engendrée sera de révolution.

Dans ce mouvement , chaque point de la génératrice décrira un cercle horizontal dont le centre sera sur la droite immobile aa' , que l’on nomme Yaxe de la surface.

La position de la génératrice, relativement au plan horizontal, ne changeant pas, sa projection sur ce plan conservera toujours la même forme et ne fera que se déplacer en tournant autour du point a, qui représente la projection horizontale de l’axe. Si nous supposons , par exemple, que l’on fasse faire à la courbe coz] 77 de révolution, le point c viendra se placer en c' , le point o en o' et Z en z' .

Pour construire chacun de ces points on fera tourner sa projection horizontale d’une quantité égale à l’arc cor-

respondant compris entre les deux plans verticaux ap, aq. Ainsi, par exemple, en faisant zz' égal à uu' on* aura la nouvelle position du point z. On peut aussi faire u'z' égalauz; on fera de même égal à cc', ou c'x' égal à ex, etc.

En agissant de la même manière pour chacun des points de la courbe, on aura sa nouvelle projection horizontale ; quant à la projection verticale correspondante, elle s’obtiendra en élevant des perpendiculaires par chacun des

points c\o',z\ jusqu’à la rencontre des horizontales

qui représentent les projections verticales des cercles parcourus par ces points.

Quand on aura construit un certain nombre de génératrices assez rapprochées les unes des autres, on tracera en lignes pleines les parties de ces génératrices qui sont vues, et en points les parties cachées.

Il serait facile de distinguer ces parties les unes des autres, en raisonnant comme nous l’avons fait au n® 165 ; mais nous allons voir des mo^^ens plus simples d’arriver au même résultat.

642. Sectiofis perpendiculaires à V axe. Un des caractères de toute surface de révolution , c’est que la section par un plan quelconque ^s perpendiculaire à l’axe , est toujours une circonférence de cercle.

Le rayon de cette circonférence est égal à la distance de l’axe au point où la génératrice est coupée par le plan horizontal dont il s’agit.

Il suit de là que si l’on coupe une surface de révolution par un certain nombre de plans perpendiculaires à son axe, on obtiendra un système de cercles parallèles entre eux, et que l’on appelle, par cette raison, les parallèles de la surface.

64^3. La portion de surface comprise entre deux parallèles quelconques se nomme une zone.

Les projections des parallèles sur un plan perpendiculaire à Taxe sont des cercles concentriques, et le point rt, centre commun de tous ces cercles, appartient à l’axe de la surface.

Dans les diverses questions où l’on fait usage de ces courbes, on peut presque toujours choisir de préférence celles qui ont une projection commune.

Ainsi, par exemple, les deux parallèles des points 1 et 5 se projetteront par un seul cercle, il en est de même des parallèles qui contiennent les points 6 et 8.

6i5. Parmi tous les parallèles d’une surface de révolution , on doit surtout distinguer ceux qui passent par les points les plus remarquables de la génératrice} ainsi, par exemple :

Le point w, étant le plus éloigné de l’axe, décrira le cercle qui a le plus grand rayon, et que l’on nomme pour cela le plus grand parallèle ;

Lorsque ce parallèle partage la surface en deux portions égales on lui donne le nom à' équateur.

Le point étant le plus rapproché de l’axe , décrit le plus petit parallèle que l’on nomme cercle de gorge ou collier.

Si l’axe rencontre la surface (/%• 399), le point o qui résulte de cette intersection prend le nom de pôle. On peut considérer ce point comme le plus petit parallèle, et dans ce cas le cercle de gorge n’existe pas.

646. Le plus grand et le plus petit parallèle forment les limites de la projection sur le plan perpendiculaire à

Taxe, et déterminent par conséquent les parties \^ues et cachées de cette projection.

Ainsi , par exemple, sur la /Zg”. 396, toute la zone comprise entre le cercle de gorge 3 et le parallèle 1 , sera vue sur la projection horizontale; celle qui est comprise entre les deux parallèles 3 et 5 sera cachée par la zone précédente.

La surface sera vue entre les parallèles 5 et 7 et sera cachée depuis ce dernier cercle jusqu’au parallèle 8.

647. Sections passant par laxe. Toute section d’une surface de révolution par un plan ap qui contient son axe , se nomme une sectio?i méridienne.

La projection de toute section méridienne sur le plan perpendiculaire à l’axe sera une droite passant par le point a.

On peut, après avoir construit un assez grand nombre de génératrices, déterminer les points où chacune de ces lignes serait coupée par le plan méridien dont il s’agit.

Ainsi, la courbe knjr est la projection verticale de la section par le plan méridien ap, et la courbe 1 — 5 — 8 est la section par le plan ag.

Cette dernière ligne doit être tangente aux projections verticales de toutes les génératrices.

Le point de tangence sur chacune de ces courbes peut être déterminé en élevant une perpendiculaire par le point ♦ suivant lequel sa projection horizontale coupe la trace du plan méridien ag.

648. 11 est facile d’obtenir la section méridienne sans construire toutes les projections de la génératrice. En effet , cette ligne étant donnée par ses deux projections cz,c'z' [fig> 398), on décrira le parallèle passant par chacun de

ses |)oiiils, et l’on délerinineia ensiiile la section de toutes ces rireonférenres pnr le pljrn (jui contient le méridien demandé.

Ainsi , par exemple, la courbe h'y (/%. 398) est la projection verticale du méridien situé dans le plan r/p, et la courbe 1 — 3 — 5 — 8 est la projection verticale du méridien ap' .

649. Tous les méridiens sont égaux. Car si bon fait tourner la courbe au autour (le l’axe, tous ses points viendront coïncider avec les points correspondants du méridien ail.

Ce dernier méridien jouit particulièrement de cet avantage cpdil est projeté sur le plan vertical dans sa véritable grandeur ; c’est ponrcjuoi on lui donne le nom de section méridienne principale , ou simplement méridien principal.

650. d’ont méridien se compose de deux cour])es égales placées s\mé! ri(j nemenl de cbacjue côté de l’axe.

Cependant il est j)ermis de considérer chacune de ces deux courbes comme un méridien dilférent.

651. Si on fait tourner le méridien principal autour de l’axe, la courbure de la projection verticale deviendra moins sensible à mesure (|ue l’on approchera de la position ap'\ et lorsque le plan ap sera parvenu en ap' la section méridienne se projettera par une droite a' a!' perpendiculaire à la ligne AZ.

652. La portion de surface comprise entre deux méridiens (jue!conr|nes se nomme un fuseau.