Ainsi, Vellipsoïde rie ré\^olution {Jig. 399) est la

surface engendrée par le mouvement d’une demi-ellipse que l’on ferait tourner autour de Fun de ses axes. La sphère est un ellipsoïde de révolution qui a pour section méridienne un cercle.

657. La surface annulaire ou le tore ( Jig. 397) est engendrée par le mouvement d’un cercle tournant autour d’une droite située dans son plan. La section méridienne se compose de deux cercles égaux au cercle générateur, et placés symétriquement par rapport à l’axe. Le plan horizontal mené par le centre du cercle générateur, contient le plus grand parallèle de la surface, et le plus petit, qui est le cercle de gorge. Dans le cas où le cercle générateur toucherait Taxe, le cercle de gorge serait un point, et la section méridienne se composerait de deux cercles tangents. Si le centre du cercle générateur se rapprochait de l’axe, la forme de la surface se rapprocherait de celles de la sphère, et ne différerait pas de cette dernière surface si le centre du cercle générateur se trouvait situé sur l’axe de révolution 5 ce qui permet de regarder encore la sphère comme un cas particulier des surfaces annulaires. .

658. Si la génératrice est une parabole [Jig- ^i-OO) la surface sera un paraholoïde et prendra des formes différentes, suivant (jue la révolution aura lieu autour de l’axe de la parabole ou autour d’une droite ac perpendiculaire à cet axe.

659. Enfin, on nomme hyperholoïde de révolution la surfac(! qui est engendrée par une hyperbole tournant autour de l’un de ses axes.

Dans l’exemple (//g. 403) la révolution se fait autour de l’axe non transverse, et la surface est continue , c’est-à-

dire qu’elle pourrait être parcourue par un point dans toute son éteiulue. Pour exprimer celte propriété, ou donne h cette surface le nom (V hjperboloïdc de réi^olution a une nappe. Il n’en serait pas de même si le mouvement s’était fait autour de l’axe Iransverse (y/g-. 402), il y aurait alors dans cetle surface deux parties séparées l’une de l’autre, ce qui lui ferait donner le nom iSliyperholoïde de résolution à deux nappes.

G60. L’hyperboloïde de révolution jouit d’une propriété remarquable. Cette surface{//g. ^Oî) peut être engendrée par le mouvement d’une droite inclinée, telle (jue ac,a!d , qui tournerait autour de l’axe vertical o,o'. Dans ce mouvement, le point aa' parcourra le cercle horizontal a\s , et le point cd ne quittera pas le plan horizontal de projection. Le point nn\ qui est le plus près <le Taxe, décrira le cercle de gorge.

Si la génératrice se rapprochait de l’axe, ce cercle diminuerait, et au moment où il deviendrait nul, la surface de l’hyperboloïde serait remplacée par les deux nappes d’un cône circulaire qui aurait pour sommet le point où l’axe serait coupé par la génératrice. •

Si l’on faisait tourner la génératrice autour de l’horizontale projetante du point // pour la ramener dans une position verticale, la surface de l’hyperboloïde s’allongerai t dans le sens de l’axe , et se transformerait en un cylindre circulaire au moment où la génératrice serait parallèle à l’axe.

Ainsi , le cône et le cylindre circulaires sont des cas j)articuliers parmi les hyperboloïdes de révolution.

661. Double génération . Ti’hy[)erl)oloïde de révolution peut être engendrée par une ligne droite de deux manières dillérentes, c’est-à-dire que l’on obtiendra la même surface (y/g. 403) en prenant pour génératrice la droite {aegéd)

ou la «li'oile (ou,o'//) inclinées en sens contraire dans le même plan proje'anL vertical.

En elFet, considérons j^our un instant comme différentes, Icssnriaces engendrées j)ai ces deux droites; la génératrice {ac.^a'c') appartenant à la première surface, la droite o''it" , o'"u"' sera une génératrice de la seconde. Or, les cordes étant égales, il s’ensuit évi<leminent que les droites ao”,cii' seront parallèles , de plus les droites et

[eu", c fé''),qMi ont leurs })rojections horizontales ao'\ci” parallèles, sont situées dans les plans horizontaux par conséquent elles sont parallèles dans l’esjiace et les quatre points rz, o", c, u” sont dans nn même plan. Donc les deux lignes {ac,a'c') {o”u' , o"'u”' ) se l encontrent au point inni .

Ce que nous venons de dire des deux droites {cic,a'c') {o"u” ) pouvant s’apj)liquer à toutes les autres , quelle que soit leur position , il en résulte que toutes les génératrices de la première surface rencontrent nécessairement toutes celles de la deuxième, et par consé(juent ces deux surfaces coïncident dans tous leurs points.

Les deux systèmes de génératrices partagent toute la surface de l’ijypei boloïde en un nond)re infini de j)etits quadi ilatères (}ui diminuent de grandeur dans le voisinage du cercle de gorge.

Quoicpie Ton n’ait construit sur la fig. tïOl qu’une seule des deux génér.itions de f hyperboloïde, on peut se faire une idée de la disposition de tous les quadrilatères dont nous venons de parler, parce (|ue les lignes [)onctuées qui représentent h's parties cachées de la première génération , deviendraient les parties vues de la seconde et seraient, dans ce cas, tracées en lignes [deines.

662 Seciion méridienne. On pourrait projeter ( Jig. tlpOl) un certain nombre de génératrices et construire le point où

chacune de ses lignes serait coupée par le planjt?^, ou bien on opérera de la manière suivante.

La droite génératrice ac^o!c de l’yperboloVde étant donnée 403), on tracera les parallèles passant par chacun de ses points, et la section de toutes ces circonférences par le plan vertical pq sera le méridien principal.

663. Nous rappellerons que les projections verticales des génératrices de la surface doivent être tangentes à la section méridienne principale (647).

Cette remarque nous donnera un moyen de reconnaître la nature de cette courbe.

En ellet , la génératrice (ne, aV) étant donnée , faisons faire à cette droite une demi 'révolution pour l’amener dans la posiîion {a''ç" , o'a). Les deux {>rojections verticales se couperont en un jioint x' situé sur la projection de l’axe de la surface.

Si nous prenons îictuelienient pour génératrice la droite oiij o'it et {(ue noüs amenions cette ligne dans une position cjuelcoïKjue {o' u\ o'Ui'' ) ,, elle corqx’ra les deux droites (ne, a'c') {a”c'',o'u') aux jioinls tnni\7ni ; et le point u suivant lequel la génératrice o”u\o"'ii" perce le plan du méridien princ ipal étant le milieu de mn , sa projection verticale u' sera pareillement le niilieu de m'n'.

Or il résulte évidemment de cette ])ropriété que la section méridienne sera une hyj)erboIe ayant pour asymptotes les deux droites nV, o'u ; car on sait ( Géorn. anal. ) (|ue le point où l’hyperbole est touchée par une droite quelconque se trouve toujours au milieu de la partie de cette droi le interceptée par les asymptotes (280).

Les deux génératrices (ne, (l'c) (i”c” o'ii') ne percent le plan méridien ({u’à l’infini, ce qui s’accorde avec la propriété connue des asymptotes.

()f)4. Ce (|ui précède nous fournit le moyen le j»lus

simple de construire la section méridienne d’un hyperboloïde de révolution dont on connaît la génératrice ac^a!c\

En effet, cette ligne étant stircessiveinent amenée d;ms les deux positions (otc, «V) [a"c'\o'ii), on construira les projections verticales correspondantes, ce qui donnera les asymptotes de Thyperbole demandée.

On connaît de plus les sommets appartenant au cercle de gorge dont le rayon est égal à la droite xt\ abaissée du point X perpendiculairement sur «c : cela suffît pour que l'on puisse construire la courbe.

665. Si par le point on conçoit une droite parallèle à la génératrice et que l’on fasse tourner celte ligne autour de l’axe, elle engendrera un cône droit à base circulaire que Ton nommera côjie asymptote ^ parce qu51 ne touche la surface qu’à une distance infinie du centre.

L’byperboloïde de révolution à une nappe, enveloppe le cône asymptote, tandis que l’hyperboloïde à deux nappes ( Jîg. 402) est au contraire enveloppée par ce cône.

666. La surface annulaire ou le tore est la plus importante des surfaces de révolution parce (ju’elle renferme les éléments de tous les cas particuliers de ce genre de surface.

En effet, quels que soient les contours ou sinuosités de la section méridienne donnée pour généra Irica , on j)ourra toujours considérer cette ligne comme comjxasée d’un certain nombre d’arcs de cercles (|ui se raccordent.

Ainsi, par exemple, la courbe acvu {jig. 404) étant composée des trois arcs la zone acac ser a une

portion de la surface annulaire engendrée par le cercle qui a son centre au point 1 .

La zone appartient à une seconde surlàcc annu-

lairc (.ngentlréc p;ir im cercle décrit du point 2 comme centre.

Enfin, la zone s^u^u fait partie (Tune troisième surface annulaire engendrée par le cercle fjui a pour centre le point 3.

La jiretnièrc zone se laccorde avec la deuxième, parce qu’elles sont touchées toutes deux par un même cylindre, suivant le cercle horizontal cc.

La seconde zone se raccorde avec la troisième, parce qu’elles sont touchées suivant le cercle vv par un cône circulaire qui a son sommet au point s,

6G7. Cette propriété d’être touchées suivant un parallèle, par un cône ou par un cylindre circulaire , appartient à toutes les surfaces de révolution.

En général, si en un point e* on conçoit une infinité de courbes qui soient touchées par une même droite et que Ton f.isse tourner toutes ces courbes autour de l’axe commun mn, toutes les surfaces <!e révolution engendrées par ces courbes se toucheront et seront touchées par un même cône circulaire ayant pour génératrice la droite

De plus , tous les plans tangents à ce cône seront également tangents aux surtaces de révolution qui ont le cercle tn-' pour parallèle commun. On pourra donc considérer à volonté toute surface de révolution comme étant continue , ou composée de j)!usieurs autres surfaces de révolution qui se ra( corderaient suivant les parallèles passant par les points de raccordement des différentes courbes dont se compose la section méridienne.

668. La suiface que nous venons de prendre pour exemjjlc se nomme une scotie.