Remarque. Dans les applications des mathémâ

tiques, il ne faut paS confondre un principe général avec; unç méthode générale. En effet, il ne peut pas y avoir de méthode générale dans la pratique.

Ainsi, lorsque Ton veut obtenir la courbe de pénétration de deux surfaces coniques, il faut les couper par des surfaces auxiliaires qui peuvent être quelconques,.ei c'est dans cette faculté d'employer les surfaces que l'on veut, que consiste la généralité du principe. Mais lorsque l'on dit qu'il faut couper les cônes donnés par des plans qui contiennent les deux sommets, on indique une méthode qui parait générale en théorie, mais qui, dans les applications, n'est presque jamais praticable : d'abord, parce que Ton a rarement sur l'épure les traces ou les sommets des deux cônes donnés ; ensuite, parce que la droite qui joindrait ces sommets est quelquefois tout entière en dehors de l'épure, on rencontre les plans de projections suivant un point trop éloigné pour qu'il soit possible d'en faire usage. On ne fait pas assez d'attention à ces circonstances qui se reproduisent à chaque pas dans les applications de la géométrie (JjBScriptive ; ainsi, les surfaces coniques qui forment l'intrados de certaines voûtes dans les monuments, ou dans les fortifications, les cônes ou les cylindres dont les intersections ont lieu si souvent dans les assemblages de la charpente, ou des machines, n'ont presque jamais leurs traces sur l'épure.

11 est donc évident que lorsqu'on propose à un élève de trouver l'intersection de deux surfaces dont on a étudié d'avance la nature et la position de manière à obtenir le résultat sur le tableau, ou sur la planche à dessiner, on attire son attention sur des combinaisons qu'il ne rencontrera jamais dans la pratique, et l'on néglige, au contraire, celles qui se présentent à chaque pas dans Texécution des travaux.

Je ferai remarquer encore que, dans les questions où un cône se trouvera combiné avec une autre surface, on emploiera presque toujours le cOne circulaire ou de révolution^ et même, lorsque la théorie i;idique l'usage d'un cône oblique, on préfère souvent le remplacer par un cône circulaire coupé obliquement.

C'est pourquoi je crois utile de consacrer quelques planches à l'étude des cônes circulaires.

. 668. Intersection de deux cônes circulaires [pL 68) .

i" Le premier plan de projection étant perpendiculaire à Taxe du cône B, on prendra le second plan de projection A'Z', parallèle aux deux axes qui, dans le cas actuel, se rencontrent.

i^ On construira les projections des deux cônes données sur le plan k%\ que nous pouvons supposer vertical pour mieux fixer les idées, et la circonférence du rayon SD sera par conséquent la projection horijontale du cône BB'.

3" La sphère qui a pour centre le point 00' étant inscrite dans le cône CC, on tracera les deux tangentes wT, et la projection horizontale de ce deuxième cône sera déterminée.

4^ Les perpendiculaires abaissées sur A'Z', par les points o' et c% d détermineront le centre et les deux axés de Tellipse suivant laquelle se projette la base circulaire du cône CC.

5° La droite u'sf percera au point t/v le plan A^'Y'" qui cour tient la base du cône CC^

6° Si par la droite us, u's^ on conçoit un plan P^ dont l'intersection avec le plan A^'Y'^ serait la droite vm, ce plan coupera le cône CC suivant les deux génératrices i/-l, m'-I dont les pieds 1,1, seront déterminés par la rencontre de la droite -wm, avec Tellipse suivant laquelle se projette la base du cône ce.

7* La droite un parallèle à vm sera la projection horizontale de la droite suivant laquelle le plan P, coupe le plan A'^^Y'" parallèle au plan k!'V.

8*> La droite mn coupera la circonférence qui forme la base du cône BB', suivant deux points 1, 1 que Ton joindra avec le sommet 5*', et les droites ;s-l, ^'-1 ainsi obtenues seront les intersections du cône BB' par le plan P^.

9** Enfin, les génératrices *-1 , *'-l du cône BB' rencontreî'ont les génératrices u-1, u'A du cône CC suivant 4 points, 1,1,1,1, dont il sera facile d'obtenir les projections verticales. <

10** Si Ton ne veut pas construire Tellipse suivant laquelle se projette la base du cône CC, ou si les intersections de cette courbe par la droite vm se font trop obliquement, on rabattra le plan A" Y" sur le plan horizontal de projection.

Par suite de ce mouvement, la base du cône CC sera la circonférence qui a pour centre o" et pour rayon oV égal à

9h. 68. CONIQUES. 331

oV, le point w' se rabattra en v" et la droite v^m coupera la circonférence oV suivant les deux points 1, 1 qui, ramenés sur la droite A^'Y'' et de là sur l'ellipse oc, détermineront les deux génératrices u-1, w'-i du cône CC.

On peut aussi, comme vérification, rabattre le point uu' en u'' ; la droite u''n parallèle à t/^m déterminera le point n, et par suite, la trace horizontale mn du plan P^ .

L'exemple actuel contient deux cdUrbes séparées qui forment par conséquent ce que l'on nomme pénétrations, et le pl^ qui contient les deux axes coupe les cônes en deux parties symétriques dont les projections^ verticales se confondent.

Cette circonstance permettra de compléter rapidement les projections horizontales des courbes de pénétration, puis^ qu'il suffira de reporter symétriquement, au delà^du plan vertical vu^ les points que Ton aura obtenus en deçà.

669. Pour obtenir les génératrices du cône CC qui sont tangentes aux4)oints 2, 2 des courbes de pénétration :

«» On coupera le cône BB' et la droite sV par un plan horizontal P.

2^ On obtiendra de cette manière le cercle horizonta,! de rayon sa et le point z'z de la droite (su, s^u').

3*» On construira zx tangente au cercle sa, le rayon sx perpendiculaire à zx ; puis la droite bd perpendiculaire à sœ et parallèle, par conséquent, à zx sera la trace horizontale d'un plan P, tangent au cône BB', et contenant la droite su, s'u^

4** L^ droite \)"b suivant laquelle le plan A'T' est coupé par le plan P» rencontrera le cercle o"c" aux points 2, 2 qui, ramenés dans le plan k"\", détermineront sur le cône CCVles deux çénératrices u-2, u'-2 tangentes aux points 2, 2 des courbes de pénétration.

5*^ Enfin, on déterminera de la même manière, ou par la symétrie, les deux points sym^riques des mêmes courbes.

670.' Tangentes, Si l'on veut obtenir une tangente en un point eef de la courbe de pénétration, on pourra opérer de la manière suivante :

32â SUBFAGES PL. 69.

1** La droite HD perpendiculaire au rayon *D de la base du cône BB' sera la trace horizontale d'un plan P, tangent à ce cône suivant la génératrice SD.

2** La droite wK, u'K', génératrice du cône CC, pourra être considérée comme une tangente au point ee' du cône CC.

3* La droite LK'^ perpendiculaire au rayon o'^K'' de la base rabattue sera également tangente au cône CC.

4° Les deux droites t*K, LK'' tangentes au point KK'' du cône ce, détermineront la trace horizontale MN du plan P4 qui touche ce cône dans toute retendue de la génératrice U'k, u''k\ et par conséquent au point ee' de cette génératrice.

50 Enfin la droite HX, H'X' suivant laquelle le plan P3 tangent au cône BB' coupe le plan P4 tangent au cône CC, sera Ja tangente au point ee' de la courbe d'intersection des deux cônes. .

Il est évident qu'en opérant de la même manière, on obtiendra autant de tangentes que l'on voudra.

671. Deuxième étude sur les intersections de cônes circulaires, pi. 69. Dans l'exemple qui précède, on avait sur l'épure une partie de la droite passant par les deux sommels; dans la question actuelle, cette droite est tellement éloignée, qu'il est impossible d'employer aucun de ses points.

Dans ce cas, on pourra opérer de la manière suivante. Le cercle indiqué par une teinte de points sur la figure 1, étant considéré comme la projection verticale d'une sphère, on pourra toujours concevoir deux cônes enveloppant B" et C', qui seraient semblables et parallèles aux. deux cônjes donnés par leurs projections verticales, flg. 2, et par leurs axes, flg. 3.

Les diagonales du quadrilat^ère cvkr seront les projections verticales de deux ellipses ck, vr qui forment les courbes de pénétration des deux cônes projetés sur la figure 1, de sorte que tout plan parallèle à Tupe quelconque de ces deux ellipses coupera les deux cônes de la figure 1 et par conséquent ceux de la figure 2 suivant des ellipses semblables, et si l'on choisit un plan de projection sur lequel ces ellipses se projettent par des cerclesyles opérations à efffe;ctuer deviendront très-simples.

672. Or, nous avons vu au numéro 642 comment on peut déterminer le plan de projection qui satisfait aux conditions que nous venons d'énoncer. Ainsi :

. 1«> On coupera, flg. 1, l'un des deux cônes B'^ par exemple par le plan bd perpendiculaire à son axe, et passant par le centre m de l'ellipse ck ;

2^ On rabalttra la section circulaire du cône par le plan bd, et l'ordonnée mz sera le demi -petit axe de l'ellipse ck ;

3® Par un arc zz\ décrit du point m comme centre, on ramènera le point z sur la circonférence qui a pour diamètre mk, et la droite mz' déterminera la direction du plan AY sur lequel l'ellipse ck se projettera par un cercle, car le triangle mz'k étant rectangle en z', il est évident que le côté mz', qui «st égal au demi-petit axe de l'ellipse ck, est Ta projection du demi-grand axe mk de la même ellipse.