Si l'une des projections de la ligne donnée, flg

passait par le centre de la projection correspondante de la sphère, on emploierait comme surface auxiliaire le plan projetant de la ligne ; la section, dans |la sphère serait un grand cercle, dont on éviterait la construction en le rabattant «tutour de la ligne projetante du centre ; par suite de ce mouvement la droite donjQée viendrait se placer en a", et les deux points m"^ m" , ramenés à leur place, deviendraient (m, m) [m\ m').

722. Enfin, si la ligne donnée était parallèle à l'un des plans de projection, le plam auxiliaire serait lui-même parallèle à ce plan, de sorte que la section dans la sphère se projetant par un cercle, il n'y aurait à construire ni ellipse ni rabattement.

723. Construire la section de la sphère par un plan cblique aux plans de projection.

Concevons, ng. 362, un plan horizontal p. Ce plan coupera la sphère A suivant un cercle (a, a'), et le plan donné B suivant une ligne (&, 6') parallèle à la trace horizontale de ce plan. Or le cercle {a, a') et la droite '(ô, b^), étant dans un même plan, se couperont en deux points (m, on') (m, m'), qui feront partie de la courbe cherchée. En recommençant cette construction, on obtiendra autant de points que Ton voudra. Mais pour vérifier les constructions et pour éviter les intersections trop aiguës, il sera bon (^ faire simultanément usage de plans parallèles au plan hoi' >ntal, et de plans parallèles au plan vertical. Ainsi un plâii p', parallèle au plan vertical, vérifierait la position de l'un des points m, m' et déterminerait celle du point nn'.

Cette méllîode a l'inconvénient de laisser de l'incertitude sur la position du point le pilus élevé, et sur celle du point le plus bas de la courbe.

On pourra trouver ces points, et en même temps on donnera plus d'exactitude aux constructions en projetant la sphère sur un plan auxiliaire p^\ vertical et perpendiculaire au plan •coupant B. La pi-ojection A'-' de la sphère sur ce plan s'obtiendra en prenant sur la projection verticale primitive la hauteur du centre au dessus du plan horizontal, et l'on aura la nouvelle trace du plan B en projetant un point quelconque

de ce plan sur le plan auxiliaire p". Dans cette' nouvelle projection verticale, la section, qui est une courbe plane, sera représentée par la ligne droite v,z. Le point v sera le point le plus bas de lacourbe et le point z sera le point le plus élevé. Pour construire par ce moyen la projection horizontale d'un point de la courbe, on concevra comme précédemment un plan horizontal p, qui coupera la sphère suivant le cercle^ a, et le plan B suivant la droite fr, et l'intersection de b avec a donnera les deux points m, m.

724. Gomme l'on sait {Géom.) que l'intersection d'une sphère par un plan est toujours un cercle, il sera encore plus exact de rabattre ce cercle sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de la Jrace horizontale du plan B. Les deux points qui, sur le plan auxiliaire p"y sont projetés en m" viendront, dans le rabattement sur le plan horizontal, se placer en m*^, m^, et leurs projections horizontales (m, m) seront déterminées par les intersections de la ligne m'^b avec les droites mm*"", mm^^ menées par les points m"', perpendiculairement à la trace horizontale du plan B.

Au lieu de la projection auxiliaire sur le plan p'^ on aurait pu faire usage dé la section par un plan vertical p'" passant par le centre et perpendiculaire au plan B, et Ton aurait pu faire tourner ce plan autour de sa trace verticale pour le rabattre dans la position A'".

Au surplus, je n'ai indiqué tous ces rabattements que pour faire voir comment on peut vérifier les constructions ou leur donner plus d'exactitude ; mais il sera toujours préférable de prendre dès l'origine un plan de projection perpendiculaire au plan coupant.

726. Au lieu de chercher les points suivant lesquels le plan donné coupe les parallèles de la sphère, on peut déterminer rintersection de ce plan avec les méridiens.

Ainsi, par exemple, flg. 361, le plan méridien 0-4 coupera le plan donné suivant une droite et la sphère suivant un grand cercle. Ces lignes, étant toutes deux situées dans le plan 0-4, se couperont suivant deux points qui appartiennent à la courbe demandée.

Pour éviter la projection elliptique du grand cercle, provenant de la section de la sphère par le plan auxiliaire 0-4, on fera tourner ce plan autour de la verticale projetante du point 0 ; dans ce mouvement, la section méridienne o-u viendra se placer dans le plan vertical 0-6', et se confondra par suite de ce rabattement avec le méridien principal de la sphère ; on «construira le point *, suivant lequel le plan donné B est percé par la verticale passant par le centre de ^ la sphère. De plus, -le point 4 se rabattra en 4'^ et la droite S'A^^ sera Tintersection du plan donné B par le plan méridien 0-4.

Les deux points u^\ u'^ projetés sur 0-6' et ramenés de là dans le plan méridien 0-4, feront partie de la courbe demandée. •

Chaque rabattement fera connaître quatre points : en effet, par suite de la position symétrique des deux plans 0-4, 0-5, les opérations effectuées pour déterminer les points situés dans le plan 0-4 conviendront également pour les points situés dans le plan 0-5.

Le plan méridien 0-1, perpendiculaire au plan B, donnera le point le plus bas et le point le plus élevé de la courbe.

La droite 5-6^', tangente au méridien principal de la sphère, déterminera les deux plans 0-6, 0-7, tangents à la projection horizontale de la courbe cherchée.

726. La section de la sphère par un plan étant toujours un cercle, et la projection d'un cercle étant toujours une ellipse, on peut encore opérer comme il suit : soient, fig.361^ la sphère A, A' et le plan B, on conste*uira par le centre de la sphère un plan méridien 0-1, perpendiculaire au plan B ; en faisant tourner ce plan autour de la verticale, qi>i passe par le centre de la sphère, le point s, suivant lequel le plan donné est percé par la verticale du centre, ne changera pas de place, le point 1 viendra se placer en 1' et se projettera en V, Le cercle cherché, perpendiciflaire au plan 0-1, sera représenté dans ce rabattement car la droite v"z" égale à la véritable grandeur du diamètre de la section ; le point &\ milieu de t/V, étant ramené en c et relevé en c'y donnera ,Ies deiix projections du centre. Lé grand axe de la projection

horizontale sera horizontal, et par conséquent parallèle à la trace horizontale du plan B, et le grand axe de la projection Terticale sera parallèle à la trace verticale de ce même plan. De plus, les longueurs de ces grands axes sont égales à la ligne vV ; et comme on sait que les petits axes des ellipses sont perpendiculaires aux grands, il ne manque plus que de connaître ces petits axes ou un point quelconque de la courbe (365) : le point v'^ projeté horizontalement en v' et ramené en V sera l'extrémité du petit axe pour la projection horizontale de la courbe.

En faisant par le centre de la sphère une section perpendi- ^culaire à la trace verticale du plan B, et rabattant cette section comme nous venons de le faire pour le plan 0-i , on aura le petit axe pour la projection verticale.

On peut encore remarquer que l'axe mn étant horizontal, doit avoir sa projection verticale parallèle à la ligne AZ, de sorte qu'en élevant la perpendiculaire wirn', on aura sur la projection verticale, un point m' qui, avec l'axe eV, suffit pour construire l'ellipse, et dispense de chercher le petit axe de la projection verticale du cercle.

727. #n peut faire usage d'un plan oblique pour résoudre le problème énoncé (719). •

Soit, flgr. 364, la sphère A, A', dont on demande l'intersection par la droite donnée (a, a'). Concevons un plan par cette droite et 4e centre de la sphère ; Tintersection de la sphère par ce plan sera un grand cercle qui aurait pour projection une ellipse ; mais on évitera la construction de cette courbe en faisant tourner le plan coupant autour de Thorizontale c, c', passant par le centre de la sphère. Par suite de ce rabattement, la section dans la sphère viendra se confondre avec le grand cercle qui forme la limité de sa projection horizontale; la ligne donnée se rabattra en a", et les points cherchés seront (m'^ m^'). Ces points reviendront à leur place, en décrivant deux arcs verticaux projetés en [mm"^ mm"), perpendiculairement à la ligne [ce') prise pour charnière du rabattement : les perpendiculaires {rib'm^ m' m) détermineront les projections verticales des points -demandés.

350 SUBFÀGB PL. 75.