Intersection des sphères, cylindres et cônes

Trouver la courbe provenant de l'intersection d'une sphère et d'un cylindre.

Pour obtenir sur la sphère les lignes les plus simples, il faudrait couper les deux surfaces données par des plans parallèles à l'un des plans de projection, mais alors les sections dans le cylindre seraient des courbes égales à sa trace, et que Ton ne pourrait construire que par points, excepté dans le cas où cette trace serait un cercle. On fera donc mieux d'employer des plans parallèles aux génératrices du cylindre et perpendiculaires à Tun des plans de projeclion. 11 est vrai que les sections dans la sphère auront pour projections des ellipses, ipais d'abord on pourrait trouver facilement les axes de ces ellipses, qu'il ne serait pas même nécessaire de construire entièrement. Ensuite on pourra éviter la construction de ces courbes en projetant les sections faites dans le cylindre et dans la sphère, sur un plan auxiliafre vertfcal, et parallèle aux génératrices du cylindre. Ainsi, par exemple, pour obtenir l'intersection de la sphère (A, A'), fig. 365, pi. 75 et du cylindre (B, B'), oa construira un plan vertical p parallèle aux génératrices du cylindre ; ce .plan coupera le cylindre suivïtnl deux droites (6, 6') (6, b"), qui, projetées sur le plan p'' et rabattues sur le plan horizontal, deviendront {b'\ b"). La section dans la sphère sera représentée dans ce rabattement par le cercle a'', et les iaterseclions de ce cercle par les droites (6", b") donneront quatre points (m''). En relevant le plan p", il sera facile d'obtenir les projections horizontales (m, m) de ces quatre points, et par suite leurs projections verticales. En recommençant cette consiruction on obtiendra autant de poipts que Ton voudra.

Dans l'exemple que nous avons choisi, il y a deux courbes^ ce qui forme une pénétration dans la sphère ; une portion de l'une des deux courbes est située derrière le plan vettical de projection.*

La question que nous venons de résoudre revient évidemment à chercher l'intersection de chacuue des génératrices du cylindre avec la sphère ; il ne s'agit donc que de faire plusieurs fois la construction indiquée n** 719.

Op évite ordinairement la projection auxiliaire sur le plan

p'', en plaçant dès Torigine le cylindre parallèlement à l'un des plans de projection, comme on le voit, flg. 366.

729. Construire la courbe provenant de l'intersection d'une sphère et d'un cône.

Soient, flg. 367, la sphère A, A' et le cône donné B, B', on construira par le sommet du cône un plan vertical p, ce plan coupera le cône suivant deux lignes droites (6, !/) (6, 6'), que Ton rabattra en (6^ 6"), sur le plan horizontal, en les faisant tourner autour de la trace du plan p, la section de la sphère par ce même plan sera le cercle a^\ et les quatre points {m^\ m"...,) feront partie de la courbe cherchée ; en ramenant le plan p à sa place, les points (m",,...) viendront se projeter en (m...), d'où il sera facile de déduire leurs projections verticales (m'...).

730. Si la trace du cône était un cercle, on pourrait employer comme surfaces auxiliaires des plans parallèles au plan de cette trace. Dans ce cas, flg. 368, les sections dans le cône et dans la sphère seraient des cercles parallèles au plan de projection.

731. Construire la droite provenant de l'intersection de deux sphères.

Un plan p, parallèle au plan horizontal, flg. 369, coupera les sphères, proposées suivant deux cercles, dont les projections verticales a' et 6' se confondront avec la trace du plan p, et dont les projections htrizonlales a, b donneront pour leur intersection deux points (w, ^) appartenant à la projection horizontale de 1^ courbe cherchée. Les .projections verticales de ces mêmes points sercrtit déterminées par les perpendiculaires rnm\ mm\

Le plan p', parallèle au plan vertical, vérifie la position de Tun des points précédents et détermine celle du point (n, nO. On obtiendra par ce moyen autant de points que Ton voudra.

Le plan horizontal p^\ passant par le centre de la sphère B, B', donne les points w, v, suivant lesquels le grand cercle formant la projection horizontale de cette sphère est touché

par la projection horizontale de la courbe cherchée, et le plan verlical p"', passant par le centre de la même sphère, donne les points s, z, suivant lesquels la projection verticale est touchée par celle de la courbe.

732. On sait [Géom,] que la courbe provenant de Tinterseclion de deux sphères est un cercle, et que, par conséquent, ses projections doivent être des ellipses.

Si l'on voulait en déterminer les axes, on opérerait de la manière suivante: Concevons, flg. 370, un plan vertical/?, contenaut les centres de deux sphères (A, A') (B, B'). Ce plan les coupera suivant deux grands cercles verticaux qui, rabattus dans le plan Bp', en tournant autour de la verticale du centre, seront représentés par les cercles a et .6. Le cercle cherché, perpendiculaire à la ligne des centres, sera, par suite de ce rabattement, projeté par la droite i;z,mui sera la véritable grandeur du diamètre, et par conséquent celle des grands axes st, xu : le point v projeté en v' et ramené en v" donnera l'extrémité du petit' axe pour la projection horizontale. En coupant les deux sphères par le plan p", perpendiculaire au plan vertical, et rabattant la section dans le plan horizontal p"', on obtiendra le point n" pour l'extrémité du petit axe de la projection verticale. Enfin les plans /?*y,pVi menés par les centres des sphères et parallèlement aux plans de projection, détermineront les points suivant lesquels les grands cercles formant les projections de ces sphères sont touchés par les projections de la courbe.

733. On évitera une grande partie de ces constructions en prenant dès l'origine un plan de projection parallèle à la ligne des centres, comme on Ta fait poui; obtenir l'intersection des deux sphères (B, B') fC, C), flg. 369 : dans ce cas, la projection verticale de la section est- la droite a'b\ et la projection horizontale a pour grand axe cd = a'b' et pour petit axe aô, projection horizontale de a'^'. »

Je terminerai ce chapitre par quelques combinaisons remarquables de.la sphère avec le cylindre et le cône.