Problème. Trois points étant donnés^ on veut dè

*1. 76. DE IiA SPHÈRE. 359

terminer un quatrième point dont on connaît les kistances aux trois premiers^ pL 76.

Exprimons les points donnés par M, N, Vetle point cherché par U. Supposons de plus que l'on doit avoir MU = 7 mètres; VU = 8 mètres et ND == 9 mètres; il est évident que la ques^ tioB revient à construire le quatrième sommet d'an tétraèdre qui aurait pour base le triangle MNV et dont les arêtes adjacentes au point U seraient égales aux trois distances données.

Cette question, étudiée une première fois au numéra 212 peut encore être résolue de la manière suivante :

1* Due sphère B, qui aurait pour centre le point M, e pour rayon 7 mètres, contiendra évidemment les points demandés.

2° Une deuxième sphère C, dont le centre serait le point N, et qui aurait pour rayon 9 mètres, contiendra également les points demandés.

3** EnOn, ces points devant être situés sur une troisième sphère D, de 8 mètres de rayon et dont le centre serait au point V, il est évident qu'il ne restera plus qu*à obtenir les points communs aux trois sphères.

4o Pour exécuter cette épure, pi. 76, on prendra un plan auxiliaire dç projection kV vertical et parallèle à la droite mn, qui joint les centres des sphères B et C.

5^ Le plan de projection k'T' étant rabattu, les points mn', nn' seront projetés par m'^ et n'^ dont les hauteurs au dessus de k"l" seront égales à celles des projections verticales primitives m' et ji' au dessus de kT.

6^ Les sphères B et C seront projetées sur le plan A'T' par leurs grands cercles décrits de m'' et w^ comme centres avec des rayons de 7 et de 9 mètres.

7* La corde Mk\ qui joint le§ points d'intersection de ces deux circonférences, sera la projection sur le plan' vertical k^%\ du petit cercle suivant lequel §e coupent les deux sphères B et C. •

Or, le cercle k"h\ lieu de tous les points communs aux deux sphères B et C devra évidemment contenir les deux points cherchés, et la question se trouve par conséquent réduite à la recherche des points suivant lesquels ia circonfé-

354 SURFACE PL. 76r

rence du cercle ^h" pénètre dans la troisième sphère D, ce qui revient par conséquent à chercher l'intersection d'une ligne avec une surface.

80 Pour résoudre cette dernière partie de la question, on projettera, sur le plan k"!"^ la sphère, qui a pour centre le point vv\ projeté en t/', et dont le rayon est égal k 8 mètres.

9* On coupera cette sphère par le plan projetant du cercle A'V, ce qui donnera un cercle projeté sur le plan k!T' par la droite rf^s^^ et dont le centre sera projeté au milieu C' de la droite rV.

Or les points demandés devant appartenir aux deux cercles^ Vh" eir'^s", il ne reste plus qu'à trouver leurs intersections ; mais comme les projections de ces deux cercles sur le plan A"Z" se confondent avec la trace AV de leur plan projetant A'"Z'", il est nécessaire de rabattre ce plan. Pour cela,

IQo On peut le faire tourner autour de l'horizontale projetante de A''', jusqu'à ce qu'il soit venu se rabattre sur le piani horizontal de projection.

il* Par suite de ce mouvement, les centres 0'' et 0'' des deux cercles A;'' A'' et r"^" dont on cherche les intersections viendront se rabattre sur le plan horizontal en o'^' et c"'.

12° La circonférence décrite de 0'" comme centre avec an rayon égal à o"A" représentera le cercle A'Vi" rabattu, et la circonférence décrite fle C'' comme centre avec le rayon &'r" sera le rabattement du cercle r'V.

13** Les deux points u'" suivant lesquels ces deux circonférences se rencontrent satisferont aux conditions du problème*

140 Pour ramener ces points à leur place, on les projettera d'abord sur A'^Z", puis on les ramènera en u'\ u" sur A'"Z'", d'où l'on déduira leurs projections horizontales u, w, sur les droites u'"u, parallèles à A"Z".

150 Enfin, les perpendiculaires à A'Z' menées par les projections horizontales u, u contiendront les projections verticales u\ u' dont les hauteurs au dessus de k'V doivent être égal^^ à celles des points u''^ u" au dessus de A'T'.

73S. Pour obtenir les points u^ u' communs aux trois sphères, on pourrait : ^

1« Construire le cercle suivant lequel se coupent deux quelconques de ces trois Sphères ;

2» On construirait ensuite le cercle provenant de la rencontre de la troisième . sphère avec Tune quelconque des deux premières ;

3» Les points communs aux deux cercles ainsi obtenu» seraient les points demandés.

Mais les deux cercles n'étant pas dans un même plan, les points suivant lesquels ils se renconirent ne pourraient plus être déterminés par un rabattement, et l'épure serait beaucoup moins simple.

736. Problème. Les droites bb', cc^ dd', pi. 77, sont les axes de trois cylindres circulaires égaux ^ et tels que chacun d*eux est tangent aux deux autres.

Chacun de ces axes est incliné sur le plan horizontal de projection d*une quantité égale à l'angle V, et leurs projections horizontales se coupent suivant les sommets m, v, n d'un triangle équilatéral dont un des côtés mv est parallèle à la ligne k^l\ d'où, il résulte que l'un des trois cylindres demandés est parallèle au plan vertical de projection. .

Enfiny les traces horizontales des droites données sont les points E, F, 6 situés sur les prolongements des côtés du triangle mvn de manière que l'on. a raE = vF = n6.

On demande de construire :

l"" Les projections horizontales et verticales des trois cylindres ;

2* Les coiirbea crinic r«eclion de ces cylindres et d'une sphère d'un rayon donné dont le centre est situé dans le plan qui contient les trois points suivant lesquels se touchent les cylindrjBS et sur la verticale qui contient le centre du triangle mvn.

Protection verticale des droites données.

!• Le point E étant projeté en E' sur la ligne A^', on fera l'angle H'E'G' égal à l'angle donné V, et la droite Wl/ sera la projection verticale de l'axe du cylindre BB' ;

2* La verticale du point v déterminera sur Wl/ un point v^ par lequel on tracera rhorizontale QR ;

3* Les points n' et m' situas sur les axes F'c' et (Yd^ à la mêirie hauteur que le point vv% seront déterminés par les verticales nn', mm'.

'Rayons des cylindres. Les trois cylindres devant être égaux et se toucher, il est évidentque le rayon de la section droite sera pour chacun d'eux égal à la moitié de la perpendiculaire qui détermine la plus courte distance de deux quelconques des trois lignes données. ,

Pour obtenir cette plus courte distance, on peut opérer de plusieurs manières :

^ Première méthode (140). On projettera les deux droites dont on veut obtenir la distaùce sur un plan perpendiculaire à l'une d'elles. Ainsi :

!• Si par le point EÊ', ou tout autre point de la droite E'b', on trace une ligne A"Z" perpendiculaire sur E'i/, on pourra considérer les deux droites A'T^ E'E comme les traces d'un plan perpendiculaire au plan vertical de projection et à Taxe K'è' du cylindre BB' ;

2** Le plan kV étant considéré comme plan de projection, OQ le rabatlra sur l'épure en le faisant tourner autour de sa traee horizontale ;

3« La droite Wb' se projettera sur ce plan A'T' par un seul point Ë, qtii ne changera pas de place puisqu'il appartient à la "charnière du rabattement ;

4o Enfin, les points HH'. et KK^ pris arbitrairement sur la droite 6tw, G'm', étant projetés sur le plan A^'Z" et rabattus en H''^ et K'^ on aura K'^H^' pour la projection de la droite dd' sur lep^an W;

5«^la droite .Ea'' perpendiculaire sur K''B'', sera la plus courte idistance des axes des deux cylindres BB'et DIK, et le pctot 'W, ïnîlieu de E<i'', sera le point de tangence de ces deilS t^Iindred, dont les rayons seront égaux à t/^E, moitié de Ea'' ;

6* La droite a^^a, parallèle à AT, déterminera sur Gm la projèdlton^ horizontale du point a ;

'♦7^''l;è point à" projeté sur \T et ramené dans le plan A'*Z'', deviendra le plan d'une perpendiculaire projetante qui déterminera sur Gm' la projection verticale du point a', et si

Ton a bien opéré, les deux points seront sur une même perpendiculaire à k'V ;

8" La droite aV, parallèle à A''Z'^ sera la projection verticale de la perpendiculaire commune aux deux droites hV et dd\ et la verticale abaissée de r' déterminera sur E6 la projection horizontale r du point rr'^ et pat* suite la projeclion horizontale ar de la droite perpendiculaire aux aj{:es W, dd! des deux cylindres BB' et W! ;

9" Le point uu', milieu de la droite ar, aV, sera le point de tangence que Ton pourra encore obtenir et vérifier en ramenant le point u" successivement sur A'Z', sur k"V' et de là sur aV, par une ligne projetante perpendiculaire au plan k'^V.

Deuxième méthode. La plus courte distance qui existe entre les axes des deux cylindres donnés Rçut être obtenue, dans le cas actuel, par des considérations dépendantes de la position particulière de ces axes. .

En efiet, fig. 3, si par un point 11^ pris où Ton voudra dans l'espace, on conçoit les droites IV, IN, parallèles aux axes des deux cylindres CC et DD', le plan P, qui contiendra les droites (IV, FV) (IN, TN'), sera parallèle aux deux cylindres, et par conséquent au plan langent commun. qui contient le point suivant lequel les deux cylindres doivent se toucher.

Or les axes cc^ et dd' des deux cylindres CC et DD' devant être également inclinés sur le plan horizontal de projection, il en sera de même des droites (IV, FV) (IN, l'N') de la figure 3, et le triangle IVN formé par les projections horizontales IV et IN de ces droites par la trace horizontale VN du plan P sera isocèle ; enfin les deux côtés IV, IN du triangle INV de la figure 3, étant parallèles aux côtés nv et mv du triangle équilatéral mnv, Ûg. 4, on doit en conclure que la ligne VN perpendiculaire à la bissectrice de l'angle VIN sera, par la même raison, perpendiculaire à la ligne A'Z^

Or les axes<î?c', dd^ des cylindres donnés CC, DD' étant parallèles au plan tangent P, il s'ensuit évidemment que les projections verticales & et d' de ces axes seront parallèle^s, et leurs plans projetants c'F'F et d^&G étant parallèles^ toute perpendiculaire G'a/^ abaissée d'un point quelconque

GG' de ces plans sur l'aulre, exprimera leur distance, et par siïite la plus courte distance des axes M et ce' des cylindres.

Cette opération détermine bien la distance des deux axes, et par conséquent les rayons des deux cylindjes DD' et CC, mais elle ne donne pas la position du point suivant lequel les deux cylindres se touchent ; or il est essentiel de connaître cette position, puisque c'est dans le plan des trois points de tangence que doit être situé le centre de la sphère pénétrée par les trois cylindres.

W faut donc que la perpendiculaire qui exprime la distança des deux axes soit amenée à la position qu'elle doit occuper dans l'espace.

Pour obtenir cette position, on pourra opérer delà manière suivante-:

!• On déterminera la projection horizontale af" du point a/' suivant lequel la perpendiculaire abaissée du point GG' perce .le plan projetant c'PF qui contient Taxe c& du cylindre CC<;

2** On fera mouvoir cette perpendiculaire Chod'" parallèlement à elle-même et de manière que le point GG' ne quitte pas l'axe dd' du cylindre DD' ;

3* Par suite de ce mouvement, le point a?'"a?'" décrira dans l'espace une droite a?'"a? parallèle à dd', et lorsque le plan a;'" sera venu se placer en xoc' sur l'axe ce' du cylindre CC, la droite :2a; parallèle à la ligne A'Z'sera la projectioîi horizontale de la perpendiculaire commune aux axes des deux cylindres CC et DD' ; puis les verticales projetantes élevées par les points z eix détermineront les projections verticales z' et a?' des mêmes points sur les projections verticales des axes des deux cylindres.

Vérification. Dne remarque importante et de laquelle doit résulter pour la suite de cette épure un grand nombre d'abréviations, c'est qu'il est évident que les trois cylindres sont groupés autour de la verticale qui contient le centre du triangle ^quilatéral mnv^ de manière que si l'on faisait faire à ces trois cylindfes un tiers de révolution dans le sens indiqué par la flèche iy le cylindre BB' viendrait prendre exactement la place du cylindre CC, tandis que celui-ci remplace-

'Qdre DIX ; or la perpendioulaire or qui mesure la deux axes étant entraînée par le même mouve- ^ ^ '^ se placer en st^ et le point de tangence u en

r^ ^ ti 'it encore tourner le tout de 120 degrés,

''^' ' %^ '^ixzQi le point de tangence e se place-

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