Sections perpendiculaires au plan de projection

On établira sur la surface donnée un certain nombre de parallèles, puis Ton construira les points suivant lesquels ces cercles seront coupés par le plan donné. C'est ainsi que Ton a obtenu, îig. 406, pL 82, la CQurbe nxnx , qui est la projection horizontale de la section d'une sgrface annulaire par le plan p, perpendiculaire au plan vertical. ^

On pourra employer comme auxiliaires des plans verticaux passant par l'axe de la surface donnée : ces plans couperont la surface suivant des sections méridiennes dont on évitera la projection en les rabattant autour de Taxe ; les points {mm^){nn^) ont été déterminés de cette manière. On plan vertical o-2 a coupé la surface donnée suivant une section méridienne qui, en tournant autour de l'axe, est venue se confondre avec le méridien principal de cette surface. La droite provenant de l'intersection du plan p et du plan auxiliaire 0-2 est venue se rabattre en o'-2', et l'intersection de cette ligne avec la section méridienne principale a donné deux points m'\ n'^ qui, projetés horizontalement sur oA, et ramenés dans le plan o-2, ont déterminé les points mm', nn\

On fera bien de profiter de la symétrie. Ainsi, on pourra déterminer par une seule opération les points qui sont situés dans les deux plans méridiens 0-2, 0-2.

La tangente 0'-3' déterminera le point u" qui, ramené dans les plans 0-3, donnera les deux points m, u.

814. Dans quelques cas particuliers, la recherche de la courbe de section peut être simplifiée. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de construire la courbe résultant de la section d'une ellipsoïde de réyolution par un plan vertical np^ flg. 405. On admettra [Algèbre appL) que la courbe demandée doit être une. ellipse, après quoi on construira l'horizontale oc, o'c\ perpendiculaire sur np, ce qui donnera le point ce^ pour le centre de cette ellipse.

On ramènera ensuite le point c en (f dans le plan op\ on yèvera la perpendiculaire c^'a.

Les intersections de cette droite avec le méridien principal de la surface détermineront les deux parallèles qui contiennent le point le plus bas, et le point le plus élevé de la

courbe demandée. La différence des hauteurs de ces deux points sera l'axe vertical de Tellipse cherchée.

L'axe horizontal z'x^ s'obtiendra en élevant deux perpendiculaires par les points z ei œ. .

La verticale vv^ déterminera les points suivant lesquels la projection verticale dé la courbe touche celle du méridien principal de la surface.

Les points mm' peuvent être considérés comme provenant de la rencontre du plan vertical np par les deux parallèles qui ont le cercle mm'' pour projection horizontale.

815. On peut encore supposer que la section de l'ellipsoïde par le plan op" a été rabattue sur le méridien prin*cipal, et que la verticale 6/ représente dans ce rabattement l'intersection des deux plans np, op'^ de sorte que les point* d'intersection m"* m"' étant ramenés à leur place deviendront w', m'.

En faisant tourner la courbe autour de la verticale du point n, on obtiendra en M sa véritable grandeur.

816. Lorsqu'on sait que la section demandée est une ellipse, on peut éviter la projection et le rabattement en faisant usage d'un plan auxiliaire sur lequel cette courbe se projetterait par un cercle.

Supposons que la droite np, flg. 407, soit la trace d'un plan perpendiculaire au plan vertical de projection.

Le point c, milieu de zx, sera le centre de Tellipse cherchée. Le petit axe de cette courbe sera la corde comnlune à l'ellipse zx et au parallèle av, dont la moitié est rabattue en auv, de sorte que eu est le demi petit axe de Tellipse qui a pour demi grand axe cz.

Or, si on décrit la demi-circonférence cu'z et que Toft porte eu de cm u\ le triangle cu'z sera rectangle, et la section cherchée se projettera par un cercle sur tout plan tel que nf dont la direction serait perpendiculaire à la corde zu' (541).

Si après avoir projeté la courbe zx sur le plan npf on le fait tourner autour de T horizontale projetante du point n, on obtiendra la circonférence M.

817. Transformations diverses de la courbe de section. Si nous faisons mouvoir le plan p, fllg. 406, parallèlement â Iui*même en allant de droite à gauche, tous les points de la courbe se rapprocheront et finiront par se réunir en un seul, lorsque le plan mobile sera parvenu dans la portion p'.

Alors le plan sera tangent à la surface et le point de tan- -gence sera «, t\ Si au contraire nous faisons mouvoir le plan p de gauche à droite, les deux points œ, x se rapprocheront et se réuniront en un seul point zz\ lorsque le plan mobile sera dans la position p". Ce dernier plan touchera la surface au point z%^ et la coupera suivant la courbe zvrzrv.

Si on continuait à faire avancer le plan mobile de gauche à droite, la section se partagerait en deux courbes fermées indépendantes l'gne de l'autre, et placées symétriquement par rapport au plan méridien A-i. Ces dernières courbes j]*ont pas été tracées sur l'épure, mais il sera facile de les construire. , .

Si on continue à faire mouvoir le plan coupant dans la même direction jusqu'à ce qu'il ait dépassé le point o^', on obtiendra toutes les coUrbes précédentes dans un ordre inverse, et leurs projections horizontales seront placées symétriquement par rapport au plan méridien perpendiculaire au plan vertical de projection.

818. On retrouvera des relations du même genre, flg. 411, dans les différentes courbes provenant de la section de la scotie par des plans parallèles à son axe. Supposons, pour plus de simplicité, qu'on ait projeté toutes ces courbes sur un plan parallèle aux différentes positions* du plan coupant. Les sections que l'on obtiendra seront de trois espèces :

fo Si la distance du plan coupant à l'axe est plus grande que le rayon du cercle de gorge, la section se composera de deux courbes indépendantes et placées l'une au-dessus, l'autre au-dessous du plan horizontal ac. Les points o,o appartiennent au méridien qui est perpendiculaire au plan coupant ;

2^ Si la distance de l'axe au plan coupant est égale au rayon du cercle de gorge, les points o, o se réunissent en un seul o', suivant lequel le cercle de gorge et le méridien per-

398 SURFACES fL. 82.

pendiculaire au plan coupant sont touchés par ce plan. La î^ection se compose des deux courbes so^z qui se coupent au point o', situé sur le cercle de gorge. Le plan coupant est tangent au point o';

3** Enfin, lorsque la distance de Taxe au plan coupant sera moindre que le rayon du cercle de gorge, Ja section se composera dé deux courbes séparées, placées symétriquement Tune à droite et l'autre à gauche du plan méridien dm^ et les joints o^\ o" appartiendront au cercle de gorge de la surface.

819. Avant de quitter ce sujet, j'appellerai l'attention du lecteur sur les différentes formes que peut prendre la section d'une surface du second degré par un plan.

!•' exemple. Supposons que la surface coupée soit une ellipsoïde de révolution, flg. 407. La courbe de section pourra subir trois transformations différentes :

1** Le plan coupant 1, perpendiculaire à l'axe, donnera pour section un cercle ;

2o Le plan 2 coupera la* surface suivant une ellipse ;

3° Le plan 3 sera tangent et la courbe de section sera remplacée par le point de tangence.

2» exemple. Si la surface coupée est une paraboloïde d^ré-^ volution, flg. 409, la section subira quatre transformations :

1° Le plan 1, perpendiculaire k Taxe, coupera la surface ■ suivant un cercle ;

2° Le plan 2 donnera pour section une ellipse ;

3* Le plan 3, parallèle à l'axe, donnera une parabole ;

4* Enfin le plan 4 sera tangent.

3" exemple. Si là surface coupée est une hyperholoïde de révolution à une nappe^ flg. 408, ia section peut subir cinq transformations :

!• Le plan 1, perpendiculaire à l'axe, donnera pour section un cercle ;

2'' Le plan 2 donnera une ellipse ;

3° Le plan 3, parallèle à la génératrice vu du cône asymptote, donnera une parabole ;

4** La section par le plan 4 sera une parabole ;

5« Enfin le plan 5 sera tangent aii point m.

820. Si nous faisons mouvoir le plan 4 parallèlement à lui-même, nous obtiendrons les variétés suivantes :

1» Le plan 4 donnera une hyperbole dont Taxe transverse sera parallèle au plan sur lequel nous supposons que la surface a été projetée ;

2** Le plan 4' sera tangent et donnera pour section deux génératrices de la surface (803).

Ces deux droites pourront être considérées comme deux tangentes (780) et se couperont au point n, qui par conséquent sera le point de tangence ;

3** La section par le plan hl^ sera une hyperbole dont l'axe transverse sera perpendiculaire au plan de projection, et se projettera sur ce plan par le point o.

821. Les hyperboles provenant de la section par les plans 4 et 4" ont les asymptotes parallèles aux deux génératrices provenant de la section par le plan 4'. Ces dernières lignes peuvent être considérées comme formant une hyperbole pour laquelle la distance du centre au sommet de la courbe serait réduite à zéro.

822. Si on donne plusieurs hyperboles ayant pour asymptotes communes les droites vw, zx^ et que l'on fasse tourner toutes ces courbes autour de Taxe commun toutes les hyperboloïdes engendrées auront le même axe et seront touchées à l'infini par le cône asymptote, qui a pour génératrices les deux droites zx^ vu. Or les sections de toutes ces surfaces par un même plan seront des courbes du second degré semblables et concentriques.

Il faudra remarquer cependant que le plan 4' coupera le cône suivant une hyperbole, ayant pour asymptotes les deux génératrices de Thyperboloïde, tandis que le plan 4"' coupe cette dernière surface suivant une hyperbole qui a pour asymptotes deux génératrices du cône. Et quoique les axes transverses de ces deux hyperboles soient dirigés dans l'espace suivant des directionsTectangulaires, elles ne possèdent , , pas moins le caractère des figures semblables, en cela que les axes trans verses et non transverses de ces courbes sont

400 SUBFAGES PL. 82.

réciproquement proportionnels et que leurs asymptotes sont parallèles.

823. Si nous comparons les sections de l'hyperboloïde avec celles du cône asymptote, nous remarquerons que le plan 4 coupe ces deux surfaces suivant deux hyperboles qui ont le même axe transverse.

Le plan 4' coupe le cône suivant une hyperbole qui a pour asymptotes les deux génératrices provenant de la section de Thyperboloïde.

Le plan k" coupe le cône et l'hyperboloïde suivant deux hyperboles qui ont les^ mêmes asymptotes, mais dont les axes transverses sont perpendiculaires l'un à Tautre.

Enfin, le plan k"' coupe l'hyperboloïde suivant une hyperbole qui a pour asymptotes les deux droites provenant de la section du cône par un plan qui contient son sommet.

Toutes ces courbes ont lefurs centres^sur la droite en.

Les démonstrations de ces propriétés ne peuvent être convenablement placées que dans les traités d! Algèbre appliquée.

824. Plans tangents. Coristruire un plan tangent à une surface de révolution par un point mm', situé sur la surface, fîg. 410.

Nous avons reconnu que le plan tangerit en un point donné d'une surface quelconque* serait déterminé par deux tangentes passant par ce point ; de sorte qull ne reste plus qu'à chercher quelles sont les tangentes les plus faciles. à construire.

Or, de toutes les courbes que l'on peut faire passer par un point d'une surface de révolution, la plus simple est la section par un plan perpendiculaire à son axe. 11 sera donc convenable de choisir pour première tangente la droite horizontale aa\ qui touche le parallèle passant par le point donné. Pour obtenir la seconde tangente, on rabattra la section méridienne sm, en la faisant tourner autour de l'axe. Le point donné m, m' viendra se placer en m'', et la tangente dans • ce rabattement sera s'm^' ; en ramenant cette tangente à la place qu'elle doit occuper, le point s' ne bougera pas, puis-

ÏL. 82. DE RÉVOLUTION. 401

qu'il fait partie de la charnière, et ron aura pour seconde tangente la droite sb, s'b\ qui, avec la ligne a, a', déterminera le plan tangent p.

825. Ainsi le parallèle qui passe par un point donné sur une surface de révolution faisant toujours connaître une tangente à ce point, il ne restera plus dans chaque cas qu'à obtenir une tangente à la section méridienne qui contient le point donné : construction qui dépendra des propriétés géométriques de cette courbe.

826. La solution précédente revient évidemment à construire par le point donné mm^ un plan tangent au cône circulaire engendré par la droite s'b^\ et qui par conséquent touche la surface suivant le parallèle passant parle point donné.

En général, toutes les fois que deux surfaces se toucheront en un ou plusieurs points, tout plan qui en un de ces points toucherait Tune de ces surfaces serait aussi tangent kYdiuire. En effet, le point de tangence pourra être considéré comme une facette infiniment petite, commune aux deux surfaces, et cette facette prolongée en tous sens deviendra un plan

tangent à toutes deux. * ^

827. Cette conséquence nous sera utile dans le cas où nous n'aurions pas sur l'épure le sommet du cône tatigent. En effet, après avoir construit la tangente sb'' nous tracerons la droite m^^o perpendiculaire à sV.

Le point o sera le centre d'une sphère qui touchera la surface donnée dans toute retendue du parallèle m'^m^\ de sorte que la question proposée sera réduite à construire un plan tangent par le point mm\ -situé sur la surface de la sphère qui tf pour centre le point o (694).

Il n'est pas nécessaire de construire la sphère, dont nous ne parlons ici que pour mieux faiçe comprendre le principe ; il est évident qu'il suffit de construire par le point mm' un plan perpendiculaire à la droite sm, om'.

828. Construire un plan tangent par un point situé sur la surface d'une hyperboloïde de révolution à une nappCy flg. 412.

402 SURFACES Pif. 8?^

L'^xe et la génératri€e zx, z'x' de la surface étant donnés, on construira le cercle de gorge, le parallèle qui contient le point donné, puis les deux projections m et m' de ce point.

On fera tourner ensuite la génératrice [zx, z'xf) jusqu'à ce^^ qu'elle soit parvenue dans la position (sV, z"*xf*% et l'on prendra cette droite pour la première tangente (780).

On construira la droite t?t*, tangente à la projection horizontale du cercleMe gorge, et Ton en déduira la projection verticale vV; de sorte que la ligne {vu, vV), deuxième génératrice de la surface (803), sera la seconde tangente. Leplan p sera déterminé par les deux droites (z'V, z'' V)

(vu, vV).

On remarquera que pour résoudre la question, on n'a pas fait usage de la section méridienne que Ton pourrait alors se dispenser de construire.

829. -Tous les 'plans tangents à Thyperboloïde de révolution coupent cette surface suivant deux génératrices, et l'intersection de ces deux droites détermine le point da tangence.

83P. Si le point par lequel on propose de construire un plan tangent à une* surface de révolution est situé sur le méridien principal, Tune des tangentes sera l'horizontale projetante du point donné ; de sorte que le plan taqgentp' flg. 406, sera perpendiculaire au plan vertical de projection.

831. Si le point donné appartient à l'un des parallèles formant les limites de la projection horizontale de la surface, le plan tangent sera perpendiculaire au plan horizontal de projection.

Ainsi, les plans verticaux qui auraient pour traces les deux droites 'p"' et p" sont tangents, le premier au point aa' et le deuxième au point cd. Le 'plan f^ est en même temps un plan coupant.

832. Normale. La droite fk, flg. 406, est une normale, il en est de même de la droite mhy m^h' perpendiculaire au plan tangent p, flg. 410.

Si ron veut donner à la normale mh, m'h' une longueur déterminée^ on rabattra cette droite dans \h plan du méridien principal, on fera m"h" égale à la longueur donnée, puis on ramènera la normale à sa place en la faisant tourner autour de Taxe.

833. On remarquera que pour construire la normale il n'est pas nécessaire d'avoir les traces du plan tangent.

En eSèt, pour obtenir une normale au point z, on rabattra ce point en z\ puis on construira la normale que Ton fera revenir à sa place en remarquant que dans ce mouvement le point c doit rester immobile.

834. Construction du plan tangent à une surface de ré-volution par un point situé en dehors de cette surface.

La question est indéterminée, car si par le point donné on construit un plan tangent^ il sera possible de faire tourner ce plan autour de la surface sans qu'il cesse d'être tangent et de contenir le point donné.

Or, si pour chacune des positions de ce plan mobile, on pouvait déterminer le point de tangence, la construction de chaque plan tangent se réduirait aux opérations que nous avons indiquées au n^" 824.

D'ailleurs, la construction du plan tangent n'a souvent d'autre but que de faire comprendre les opérations nécessaires pour déterminer les points de tangence, et lorsque ces points sont obtenus il devient presque toujours inutile de construire les traces des plans.

836. Ligne de contact. Si par le point donné ss^^ fig. 414, pi. 83, on conçoit une droite s'a qui touche la surface en l'un quelconque de ses points, et que Ton fasse mouvoir cette droite de manière que sans cesser de contenir le point donné, elle s'appuie sur la surface, on engendrera un cône tangent qui aura pour sommet le point donné.

Tous les plans tangents à ce cône satisferont à la question proposée, et toucheront la surface en Tun des points suivant lesquels cette surface est touchée par le cône enveloppant qui a son sommet en ssf.

404 SUkFACES . PL. 83.

La courbe qui contient tous ces points se nomme ligne de contact, et notre bût est de la construire.

836. Méthode des plans coupants. On fera passer par le point ss^ un plan sp perpendiculaire à l'un des plans de projection, ail plan horizontal par exemple.

On construira la courbe provenant de la section de la surface par le plan sp.

On déterminera tous les points suivant lesquels cette courbe peut être touchée par des droites qui contiendraient le point donné.' Chacun de ces points m; m' fera partie de la courbe cherchée.

En effet, le plan tangent à Tun des points m\ devant contenir toutes les droites qui touchent la surface à ce point, il devra contenir la drotie sm, s^m', par conséquent il passera par le point aV. OuTecommencera cette construction en choisissant la direction des plans coupants de la manière la plus avantageuse.

837. On peut choisir à volonté l'une des projections du point que l'on veut obtenir.

Ainsi, par exemple, si Ton donnait le point m comme projection horizontale de l'un des points de la courbe cherchée, on obtiendrait la projection verticale en opérant comme nous venons de le dire.

Si au contraire on avait donné la projection verticale tn', il aurait fallu couper la surface par un plkn tel que s'zq perpendiculaire au plan vertical de projection. ^

838. La méthode que nous venons d'expliquer est générale et convient à toutes les surfaces; mais pour éviter la construction des courbes qui proviennent de la section par les différents plans coupants auxiliaires, on doit chercher si les propriétés particulières des surfaces de révolution ne permettent pas d'employer des moyens plus simples.

839. Méthodes des cylindres projetants. Étant donnés, flg. 413, le point ss' et la surface annulaire engendrée par le cercle M, il y aura deux courbes de contact. L'une

contient les points suivant lesquels la surface serait touchée extérieurement par un cône ayant pour sommet le point donné ss'.

La seconde courbe appartient à un cône ayant le môme sommet et qui touche la portion de surface engendrée par la demi-circonférence qui est la plus rapprochée de l'axe. Ces deux courbes pourront être déterminées en même temps et delà manière suivante.

La perpendiculaire ss^\ abaissée sur la trace du méridien G» percera ce plan en un point dont la projection horizontale s'^ ramenée en s"^ sur la trace du méridien principal, détermî^ nera s^ pour la projection du point donné ss' sur le plan du méridien G rabattu sur le plan B.

Cela étant fait, on tracera par le point $'^ quatre tangentes aux deux cercles qui composent le méridien principal de la surface. Ces quatre droites seront les intersections du plan vertical G par quatre plans tangents à la surface et contenant le point donné ss^.

Les points 1,1,1,1, projetés en T, 1', 1', T sur la trace du méridien principal B, seront ramenés de là en 1'^ V\ ^^ \^^ sur la trace du méridien G; leurs projections verticales V^\ i"\ V^\ \"' seront situées sur les parallèles qui contiennent les quatre points 1, 1, 1, 1. En opérant delà même manière on obtiendra quatre points dans cbacjuè plan méridien.

On fera bien de multiplier les opérations dans les parties des lignes de contact où les variations de courbure sont le plus sensibles.

Quelques points pourront être obtenus plus facilement par suite de la position particulière des méridiens qui les contiennent. Ainsi, par exemple :

Les quatre tangentes menées par le point s' déterminent, sur la section méridienne principale, les points 2, 2'... suivant lesquels la surface serait touchée par quatre plans contenant le point donné ss' et perpendiculaires au plan vertical de projection. Ces quatre points ont leurs projections horizontales sur la trace du méridien B.

Si nous faisons tourner le méridien A jusqu'à ce qu il soit venu coïncider avec le méridien principal, le point s viendra

se placer en s^y d'où on déduira s^^ qui sera le point donné ss' rabattu dans le méridien B.

Les quatre tangentes menées par ss"^^ détermineront alors les points 3, 3^.. suivant lesquels la surface serait touchée par quatre plans passant par le point ss' et perpendiculaires au plan du méridien s-k.

Ce sont les points les plus élevés et les plus bas des deux courbes de contact.

840. La solution que nous venons d'exposer revient â prendre successivement chaque méridien pour plan de projection ; de sorte que les tangentes menées par les points 5V1, ^iv, 5^", s' sont les traces des plans tangentsaux cylindres projetants perpendiculaires aux plans de projection A, C, E, B, etc. '■

841 . Les tangentes menées par le point s sont les traces des plans tangents aux deux cylindres verticaux qui contiennent le cercle de gorge et le plus grand parallèle de la surface.

. Elles déterminent les points 4, V suivant lesquels la surface iserait touchée par quatre plans verticaux contenant le point donné ss'. Ces quatre points appartenant au plus grand parallèle et au cercle de gorge, leurs projections verticales seront situées sur la droite horizontale ac.

842. On peut abréger beaucoup le travail en ayant égard à la symétrie.

Ainsi, les deux méridiens B et B' étant placés symétriquement par rapport au méridien 5-A, les points obtenus dans le méridien B pourront être reportés à la même distance de l'axe sur la trace horizontale du méridien B' d'où on déduira leurs projections verticales sur le parallèle correspondant.

Les points situés dans le méridien C se déduiront de la même manière de ceux qui appartiennent au méridien C. Enfin les points du méridien E seront déterminés par ,1e point ^^", projection du point ss' sur le méridien E rabattu dans le plan B.

Pt. 83. DE RÉVOLUTION. 407

Si on construit, la droite su, tangente à la projection horizontale de la courbe intérieure, et la droite s'u', tangente â la projection verticale de la même courbe, les deux points de tangence u et u' devront se trouver sur une même droite perpendiculaire à la ligne AZ. Cela provient de ce que, pour le point uu\ la tangente à la courbe de contact doit contenir le point donné. (

il existé trois autres points qui jouissent de la même propriété, et qui, deux à deux, sont placés symétriquement par rapport au méridien A*.

Pour éviter la confusion des lignes, on n'a tracé sur Tépure que la tangente au point u; u\ mais on fera bien de construire les trois autres tangentes, et de s'assurer que les points de tangence correspondants sur les deux projections sont situés deux à deux sur la même perpendiculaire à la ligne AZ. Il n'existe pas dé points analogues sur la courbe extérieure.

Tous les plans qui touchent la surface en un des points de la courbe intérieure sont en même temps des plans coupants, tandis que tous les plans qui sont tangents en un point de la courbe extérieure ne coupent pas la surface.

843. Méthode des cônes tangents, ûg. 415. La méthode précédente est utile surtout lorsqu'on veut obtenir les points de tangence qui appartiennent à un méridien donné; mais si l'on voulait construire ceux de ces points qui sont situés sur un parallèle de la surface, il faudrait opérer de la manière suivante. Au lieu de construire comme précédemment des plans tangents aux cylindres horizontaux qui touchent la surface suivant des méridiens donnés, on emploiera les plans tangents à des cônes circulaires qui auraient le même axe que la surface et qui la toucheraient suivant les diflférents parallèles sur lesquels on veut obtenir les points de tangence.

Ainsi, par exemple, pour déterminer ceux d*e ces points qui seraient situés sur le parallèle ac, on tracera la droite </a qui Couche au point a le méridien principal de la surface.

Le cône circulaire engendré par le mouvement de la droite

408 SURFACES Vh. 83..

o^a autour de Taxe touchera la surface dans toute l'étendue du parallèle ac; de sorte que la question sera réduite à cons-^ truire par le point donné ss' deux plans tangents au cône engendré par la droite o'a (611).

On joindra le point donné ss' avec le point oo^ qui est le sommet du cône auxiliaire, et la droite so, s'o' sera l'intersection des deux plans qui sont tangents à ce cône et qui contiennent le point donné. La droite so, s'o' percera le plan horizontal qui contient le parallèle donné en un point uu' par lequel on construira les deux tangentes t^-l, w-1. Les points de tangence 1, 1, déterminés avec toute Texactitude possible, appartiendront à la courbe demandée.

En effet, les plans tangents à ces points contiendront les deux tangentes n-1, uA ; et comme de plus ils seront tangents au cône auxiliaire, ils devront en contenir le sommet o'\ donc ils se couperont suivant la droite uos^ u'o's'y et passe^ ront par conséquent par le point donné ss*. Ces constructions.» répétées pour d'autres parallèles de la surface, feront con^ naître autant de points que Ton voudra.

Pour le cercle de gorge, le cône auxiliaire devient un cylindre vertical, et les points de tangence 2, 2' doivent être déterminés par les tangentes 5-2, ^-2. ^

Si le parallèle sur lequel on veut obtenir un point de tàn^ ^ gence est au-dessous du cercle de gorge, le sommet du cône . auxiliaire sera au-dessus du plan de ce parallèle. Le contraire aurait lieu si le parallèle donné étaii au-dessus du cercle de gorge, et dans ce cas le cône auxiliaire serait renversé, ce qui ne changerait rien à la manière d*opérer.

844. Si Ton faisait descendre le parallèle donné, le sommet du cône auxiliaire descendrait également, et l'angle au sommet de ce cône deviendrait plus ouvert.

D*un autre côté, la droite sou^ s/o'v! se rapprocherait de la. .surface du cône, et lorsqu'elle serait arrivée dans cette jsurface, les deux plans tangents au cône auxiliaire coïncideraient, et les deux points de tangence, réunis en un seul, seraient situés danâ le plan méridien qui contient le point ' donné. Ce point serait le plus bas de la courbe cherchée. Pour l'obtenir, on fera tourner le méridien 05 jusqu'à ce qu'il

soit rabattu sur le méridien principal ; et lorsque le point donné ss^ sera parvenu en s^\ on construira la tangente ^^-3» génératrice du dernier cône auxiliaire. Le point de tangence 3, projeté en 3' et ramené de là dans le méridien os, déterminera 3'^ et ¥' paur les projections du point le plus bas de la courbe.

La tangente 5-4 donne le point 4' qui, ramené en 4''', sera le point le plus élevé.

Pour les parallèles au-dessus de 4'-4''^' et pour ceux audessous de 3^-3''', la droite qui joindrait le point donné avec les sommets des cônes auxiliaires entrerait dans l'intérieur de ces cônes, et par conséquent elle ne pourrait déterminer aucun plan tangent.

845. Il y a deux cas dans lesquels la méthode précédente ne pourrait être employée :

lo Si le sommet du cône auxiliaire était dans le plan horizontal qui contient le point ss*, ou très-près de ce plan, la droite s^o serait horizontale ou très-près de cette position, et rencontrerait par conséquent très-loin le plan du parallèle sur lequel on veut obtenir des points de tangence ; on serait forcé, dans ce cas, de recourir à des constructions auxiliaires ;

2*^ Si le parallèle sur lequel on veut obtenir des points de tangence était très-près du cercle de gorge, le sommet du cône auxiliaire serait en dehors des limites dé Tépure.

Dans chacun de ces deux cas on pourra opérer de la manière suivante :

846. Méthode des sphèf^es tangentes. Supposons que Ton veuille obtenir les points de tangence qui sont situés sur le parallèle mn, on construira la droite nt qui touche la section méridienne au point n, puis on tracera nv perpendiculaire sur nt. ^ ' .

Le point v, provenant de la rencontre de nv avec Taxe de la surface de révolution, sera le centre d'une sphère qui touchera cette surface suivant la circonférence du parallèle mn. De sorte que tout plan qui toucherait la sphère en un point de ce parallèle serait tangent à la surface donnée (809). Il ne

reste dont plus qu'à choisir parmi tous ces plans ceux qui ^contiennent le point donné.

Or si on conçoit un cône circulaire qui envelopperait la sphère et qui aurait pour sommet le point ^y, les plans demandés devront toucher ce cône, et par conséquent les points de langehce seront à la rencontre du parallèle mn avec le petit cercle suivant lequel la sphère qui a nv pour rayon sera touchée par le cône auxiliaire qui a son sommet en ss'.

Pour éviter la projection elliptique de ce petit cercle, on rabattra le plan méridien qui contient le point donné jusqu'à ce que ce point soit parvenu en ^' dans le plan du méridien principal.

On construira les deux tangentes s^^z^ sf^x qui formeront les limites de la projection du cône auxiliaire sur le plan du méridien pq.

On déterminera bien exactement les deux points de tangence z et x, et la corde zœ, qui joint ces deux points, sera la projection sur le plan rabattu os du petit cercle suivant lequel la sphère est touchée par le cône qui a son sommet en ss^. De sorte que le point 5, intersection des deux droites mn^ zxy sera la projection commune aux deux points de tangence demandés. Il ne reste plus qu'à retrouver la place que chacun de ces deux points doit occuper sur la surface.

Pour y parvenir, . projetons le point 5 sur la trace du méridien 07, et faisons revenir ce méridien dans la position os^ le^ point 5' viendra se placer en 5''^ et la droite b"'-h"\ perpen-' diculaire sur 05, sera la Qorde horizontale qui joint les deux points de tangence demandés. Les projections horizontales de ces points seront déterminées par les intersections de h"'y avec la circonférence qui représente la projection horizontale du parallèle mn.

Les verticales 5^^'-5'^, 5'''-5'*' détermineront sur mn les projections verticales des deux points de tangence.

847. Dans l'application des principes que nous venons d'exposer, il ne faudra pas accorder de préférence absolue à l'une des méthodes sur l'autre, et Ton pourra employer successivement chacune d'elles §elon que Ton voudra obtenir un

point sur un méridien (839), sur un parallèle (843,846), ou dans un plan (Jui serait perpendiculaire au plan de projection el qui contiendrait le point donné (836).

848. Toutes les solutions précédentes auraient été plus amples si Ton avait pris un plan de projection parallèle au méridien qui contient le plan donné, parce que les parties vues et.cachées de la courbe de contact se seraient confondues sur la projection verticale.

849. Si la surface proposée était du second degré, la courbe de contact serait aussi du second degré {A Igèbre appl.)^ et dans ce cas elle se projetterait par une ligne droite sur tout plan qui serait parallèle au méridien dont le plan contient le point donné.

Ainsi, par exemple, proposons de construire un plan tangent à une ellipsoïde de révolution par un point situé en dehors de cette surface^ et supposons que le point donné soit situé en ^V^ flg. 416, la courbe de contact sera une ellipse projetée sur le plan vertical par la corde zx^ le point c, milieu de zx, sera la projection verticale du petit axe dont les extrémités V, u seront déterminées par les intersections de la perpendiculaire abaissée du point c, avec la projection horizontale du parallèle cc^^\

850. Si le point donné était situé en ss\ on ferait tourner le plan méridien qui contient ce point jusqu'à ce qu'il soit parvenu dans la position ^V; puis après avoir déduit de cette projection, le centre c, c', c^^ de l'ellipse zx; le diamètre v'w', égal à vu ; enfin, le diamètre jï'a?', égal à la projection horizontale de la corde zx ; on construira la projection horizontale de la courbe demandée.

Sa projection verticale sera déterminée par la rencontre des verticales élevées par les difîferents points deTellipse, vfz'u^x^, avec les horizontales passant par les projections des mêmes points sur la corde zx.

851 . Construire, un plan tangent à une surface de révolution parallèlement à une droite donnée.

412 SUBFAGES PL. 84.

Cette question peut être considérée comme un cas particulier du, problème précédent. II suffit pour cela de supposer que le point donné ^/, fig. 413, 414, 415 et 416, soit reculé jusqu'à rinfini dans la direction de la droite donnée ; dans ce cas les cônes qui ont ce poipt pour sommet et qui enveloppent la surface seront transformés en autant de cylindres parallèles à la ligne donnée ; de sorte qu'il ne restera qu'à déterminer les courbes suivant lesquelles la surface serait touchée par ces cylindres.

Nous allons indiquer plusieurs méthodes qui sont les conséquences naturelles de l'hypothèse qui vient d'être admise.