Méthode des plans coupants, fig. 418, pi. 84. On

coupera la surface par un plan p, parallèle à la droite donnée so.s'o' ; pour plus de simplicité on prendra ce plan perpendiculaire à l'un des plans de projection, et Ton construira la courbe de section aa par l'un des moyens indiqués au n° 813.

On tracera, parallèlement à la droite donnée, toutes les tangentes qu'il sera possible de construire à la courbe obtenue, et l'on déterminera bien exactement les points de tangence l',l'.... Ces points satisferont aux conditions demandées. On conçoit, en effet, que le plan tangent à l'un des points 1,1^.. contiendrait la tangente correspondante, et serait par conséquent parallèle à la droite donnée. En coupant de nouveau la surface par d'autres plans, on obtiendra autant de points que l'on voudra.

Dans l'exemple proposé, la surface étant annulaire, on. obtiendra deux coutbes qui ont beaucoup d'analogie avec celles que nous avons trouvées au n^ 839.

La première, mm, contient tous les points de tangence situés sur la portion de surface engendrée par le demi-cercle vuz. La deuxième, nn, appartient à la partie engendrée par le demi-cercle vxz.

Le plan coupant p détermine quatre points de tangence, savoir : deux sur la courbe mm et deux sur la courbe nn.

te plan p' , tangent au cercle de gorge, contiendra cinq points de tangence, savoir :

Un sur le cercle de gorge,

Deux sur la courbe mm,

Deux sur la courbe nn.

Depuis le plan p' jusqu'au plan p^\ tangent à la courbe nn, chaque section contiefit six points qui se réduisent à quatre dans le plan p'^

Enfin, du plan p'^ au plan p^\ chaque section n'en contiendra plus que deux.

Le plan vertical p^^' ne déterminera qu'un point de tangence qui sera situé sur le plus grand parallèle de la surface.

Les quatre points 2, 2, 2, 2 devront être vérifiés de toutes les manières possibles. Les droites, menées par ces points parallèlement à la ligne donnée, seront tangentes à la courbe de contact, ce qui n'a lieu, pour aucun autre point de la même courbe.

' 853. Nous n'avons ihdi^iué, sur la figure, que des plans coupants verticaux, mais il* est évident que l'on peut également faire usage des sections perpendiculaires au plan vertical de projection. : '■

On pourra recourir à ce moyen lorsqu'il restera quelque incertitude sur la position des points cherchés, ce qui aura lieu toutes les fois que dans le Voisinage de ces points la courbure de la section auxiliaire sera peu sensible.

On sera dispensé de construire les sections de la surface par les plans coupants auxiliaires, en opérant de la manière suivante :

864. Méthode des cylindres projetants. On prendra successivement chaque plan méridien pour plan auxiliaire de projection comme nous l'avons fait au n» 639 ; de sorte que la question sera réduite à construire, parallèlement à la droite donnée, des plans tangents aux cylindres horizontaux qui déterminent les diverses projections de la surface sur les plans des méridiens. Voici l'ordre des opérations:

l^a droite donnée, flg. 417^ n'étant déterminée que par sa direction, il sera toujours permis de la placer dans le plai de l'un des méridiens de la surface, de sorte qu'elle couperait Taxe en un point oo\ pris à volonté sur cet axe.

4U SUBFAGES PL. 84.

On choisira un second point quelconque s$' par lequel on ^baissera, la droite s-s^' perpendiculaire sur la trace du mérijiien C Le point «" ramené en s^^^ déterminera 5"", de sorte que W sera la projection de la droite 50,5V sur le plan du méridien C rabattu en B.

* Gela étant fait, on construira parallèlement à s'^o^ toutes les tangentes qu'il sera possible de mener à la section méridienne de la surface. Ces lignes seront . les intersections du plan C par autant de plans tangents au cylindre horizontal qui déterminerait le contour de Isi projection sur le plan du méridien C.

Les six points de tangence 1, I, 1..., obtenus par lopération précédente, seront projetés en 1^ 1^.. sur la trace du méridien B ; on les ramènera de là en ^^ r^.. sur la trace du méridien C, d'oà on déduira leurs projections verticales V^\ j///^ 1//^... En opérant de la même manière on obtiendra six points sur chacun des méridiens de la surfacp.

Ces points appartiennent à trois courbes mm, nriy uu que Ton reconnaîtra facilement à l'inspection de la projection verticale de la surface. L'exactitude du résultat dépendra du soin avec lequel les points de tangence auront été déterminés.

Les tangentes parallèles à la projection verticale ^V de la droite donnée détermineront les six points suivant lesquels la surface serait touchée par six plans perpendiculaires au plan vertical de projection et parallèles à la droite so\s^of. Ces points auront leurs projections horizontales sur la trace du méridien B. '

Si on fait tourner le méridien 5-A jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan du méridien principal, le point s viendra se placer en s^^ d'où on déduira s''\ de sorte que s^'o^ sera la droite donnée, rabattue dans le plan du méridien B.

Cela étant fait, les six tangentes parallèles à s^'c/ détermineront les points suivant lesquels la surface serait touchée par six plans parallèles à la droite so, s^o' et perpendiculaires au plan du méridien S'-k. Ces six points, projetés sur la trace du méridien B et ramenés de là dans le plan du méridien 5-A, seront les points les plus élevés et les plus bas des trois courbes de contact.

PL, 84. . DE HéVOLUnON. 415

Enfin, si on projette sur le plan horizontal le plus grand parallèle zx et les deux cercles de gorge ao, vr qui, dans l'exemple proposé, ont une projection horizontale commune, les intersections de ces trois cercles par le plan du méridien D détermineront six points suivant lesquels la surface serait touchée par six plans tangents aux trois cylindres verticaux qui touchent la surface suivant les parallèles ac^ zx, vr, qui par conséquent devront contenir les points.de tangence déterminés par cette dernière opération.

On devra, comme au n^ 842, profiter de la disposition symétrique des plans méridiens. Ainsi les points obtenus dans le méridien B seront reportés à la même distance de Taxe sur la trace du méridien B', d'où on déduira leurs projections verticales sur les parallèles correspondants. Les points obtenus dans le méridien G détermineront ceux qui sont placés à la même hauteur dans le plan du méridien C^

BBS.Méihode des cônes tangents. La solution que nous venons d'expliquer permet d'obtenir les points qui appartiennent à un méridien déterminé, mais si on voulait trouver un point de tangence sur un parallèle, il faudrait opérer de la manière suivante. Nous reprendrons encore une fois pour exemple la surface annulaire que nous né saurions trop étudier ,^puisqu'elle contient les éléments de toutes les autres surfaces de révolution (808).

La droite donnée étant déterminée par ses deux projections 5-0, s'-o'y fllg. 419, je suppose que Ton veut obtenir ceux des points de la ligne de contact qui sont situés sur le parallèle vii, vV. On tracera la droite v'z qui touche au point v' la section, méridienne de la surface.

On fera tourner cette tangente autour de Taxe, et par ce mouvement on engendrera un cône circulaire qui touche la surface donnée dans toute l'étendue du parallèle vu, v'u\ de sorte que tout plan tangent au cône sera tangent à la surface en un point de ce parallèle. La question sera donc réduite à construire, parallèlement à la droite donnée, deux plans tangents au cône circulaire engendré par la droite v^z (612). Voici Tordre des opérations :

10 On tracera la droite zh' parallèle à s'o\ cette ligne sera la projection verticale de Tintersection des deux plans tangents demandés ;

2® On déterminera le point h'h suivant lequel la droite zh'^ ish perce le plan du parallèle vu, v'W que nous prenons pour la base du cône auxiliaire ;

3** On mènera par le point h deux tangentes à la projection horizontale dé ce parallèle.

lîesdeux points de tangence 1, 1, déterminés avec toute l'exactitude possible, appartiendront à la courbe cherchée. Il ne restera plus qu à obteijir les projections verticales de ces points en élevant les deux perpendiculaires l-t' jusqu'à leur

rencontre avec le parallèle vV.

856. Le plan horizontal i;V contient encore deux autres points situés sur le parallèle ac, aV. Pour les obtenir on construira la tangente &x que Ton prendra pour génératrice d*un second cône auxiliaire qui toucherait la surface suivant" le parallèle ac^ a'd.

On tracera la droite xr^ parallèle à la ligne o'^'. Cette ligne ^r', intersection des deux plans tangents au cône auxiliaire qui a son sommet en x, percera le plan horizontal qui contient la base de ce cône en un point rV, par lequel on construira les deux tangentes r-2, r-2. Cette opération déterminera les points 2, 2, dont on obtiendra les projections verticales en élevant les perpendiculaires 2-2' 2-?', jusqu'à la rencontre du parallèle a'd .

11 ne restera plus qu'à répéter ces opérations pour obtenir autant de points que l'on votidra.

857. Les points les plus élevés des deux courbes s'obtien- -dront en construisant des tangentes à la section méridienne, parallèlement à la droite s!'q! qui représente la ligne donnée soy s*o\ rabattue dans le plan du méridien principal.

Ces tangentes sont les génératrices des derniers cônes auxiliaires. . . '