Méthode des sphères tangentes. [Si nous prolongeons

PL. 84. DE RÉVOI.OTION. 447

les rayons e& du cercle générateur de la surfece jusqu'à sa rencontre avec Taxe, nous obtiendrons un point o', et la circonférence décrite de ce point comme centre avec le rayon oV sera la projection d'une sphère tangente à la surface suivant la circonférence du parallèle ac, aV; de sorte que tout plan qui toucherait la sphère en un point de ce parai * lèle serait tangent à la surface donnée. Il ne reste donc plus qu'à, choisir, parmi tous les plans qui satisfont à cette condition, ceux qui seraient parallèles à la droite so^ s^o\

Or, si par le centre de la sphère nous construison* la droite os^ &sf parallèle à la ligne donnée, et que nous rabattions cette droite dans le plan du méridien principal, le diamètre nn perpendiculaire sur oV représentera dans ce rabattemen t la projection du grand cercle suivant lequel la sphère auxiliaire est' touchée par tous les plans parallèles à la droite os, oV^ rabattue en oV'.

Mais le cercle nn et le parallèle a'c\ appartenant tous deux à la sphère, se coupent en deux points qui, sur le* rabattement, se projettent en un seul point 2^^ et qui sont les deux points demandés. 11 ne reste plus qu'à faire revenir ces points à la place qu'ils doivent occuper sur la surfajCe donnée.

Pour atteindre ce but, nous remarquerons d'abord qu'ils doivent être situés tous les deux sur le parallèle ac, a'c\

De plus, le point 2^' étant projeté en 2^^' et ramené en 2''', sera le milieu de la corde 2-2 qui jomt les deux points projetés e^ 2^' sur le rabattement.

Enfin on tracera la corde 2-2 perpendiculaire sur os.

Les deux intersections de cette corde avec le parallèle ac détermineront les projections horizontales 2, 2 des points cherchés ; leurs projections verticales s'obtiendront en élevant les deux perpendiculaires '2-2', 2-2'.

Le rayon u^e, prolongé jusqu'à sa rencontre avec Taxe, détermine un point l que Ton pjendra pour centre d'une seconde sphère auxiliaire, tangente à la surface donnée suivant la circonférence du parallèle vu\ v'u'. La droite mw, perpendiculaire sur oV, est la projection sur le plan os, rabattu en ou, d'une partie du grand cercle, suivant lequel la sphère qui a pour rayon lu' serait touchée par tons les

416 svRFéieiSS PL. 84.

plans parallèles à la droite donnée rabattue en oV^ La ctr^ conférence mm coupera le parallèle vV en deux points qui se projettent tous deux en l^ et qui satisfont aux conditiims demandées.

La perpendiculaire 1"-!''' détermine T'^qui, ramené en l^, sera le milieu de la corde qui joint les deux points cherchés 1, 1 ; on tracera cette corde perpendiculaire sur os, ce qui don* nera sur le parallèle vu les projections horizontales 1 , 1 de ces points. Enfin, les deux perpendiculaires 1-1', 1-1' donnent les projections verticales i\ V.

869. L'emploi d'une sphère tangente comme surface auxiliaire serait utile surtout dans le cas où Ton voudrait obtenir un point de tangence sur un parallèle qui serait très-près du cercle de goiçe ou du plus grand parallèle, parce que dans ce cas le sommet du cône tangent employé dans la troisième méthode se trouverait très-loin en denors de l'épure, et l'on ne pourrait plus construire la droite intersection des deux plans tangents demandés. ,

860. Il est évident flue les opérations précédentes pourraient être simplifiées si on prenait un plan >de projection parallèle à la ligne donnée. C'est uniquement pour exercer que Ton a choisi une disposition différente.

861. Construire un plan tangent à l'hyperboloïde de rdvolution parallèlement â la droite so, s'o', flg. 420.

Si on veut obtenir les points dç tangence sur un méridien ou sur un parallèle donné, on construira ces courbes et l'on, fera pour le reste comme nous l'avons dit aux n°' 854, 855 et 858. Mais si on veut obteûir le point de tangence sur une génératrice ac, a'dy il faudra opérer de la manière suivante :

Par un point quelconque wi^', pris sur la génératrice donnée, on construira la droite wv, vd'o' parallèle à la ligne donnée 50, s'o'. Le plan p, qui contient les deux droites (ait, a u') (uv, v!\)% sera le plan langent demandé.

En effet, la droite ex, parallèle à la trace horizontale du

PL. 8o« DE RÉVOLUTION. 4iÔ

plaa f, coupera le parallèle aem en un point ^ par lequel on pourra toujours construire une droite azy x*z' qui appartient & la seconde génération de la surface (803).

De plus, ces deux droites se coupant au point mm^ elles sont situées toutes deux dans Je plan p et peuvent être considérées comme les deux tangentes qui déterminent ce plan (779). Les points m, m' sont 1er deux projections du point de tangence demandé.

869. L'hyperbololdede révolution étant une surface du second degré» il résulte du principe que nous avons énoncé au n* 849, que la courbe suivant laquelle cette surface serait touchée par un cylindre ou par un cône sera ellemême du second degré ; de sorte qu'elle se projettera tou* jours par une ligne droite sur uq plan perpendiculaire à celui qui la contient. Cette remarque peut donner lieu à des abréviations.

863. Par une droite donnée^ construire un plan tangent à une surface de révolution.

l*^ méthode. Étant données la surface A et la droite a, flg. 425, pL 86, on prendra sur la droite un point quelconque s et Ton construira (835) la courbe vu suivant laquelle la surface serait touchée par le cône qui aurait son sommet en s ; il ne restera plus qu'à construire par la droite donnée des plans tangents au cône (6 11).

Pour y parvenir on coupera^ ce cône , par un plan quelconque, et Ton construira la courbe de section zx (615) ; on déterminera pareillement le point m suivant lequel ce plan coupe là droite a, et Ton tracera ^es deux droites mz, mx tangentes à la courbe de section. Chacune de ces tangentes et la droite donnée détermineront un plan qui satisfera aux conditions du problème.

Dans Texemple représenté sur la figure 426, il n'y aurait que deux solutions ; mais il est évident que pour certaines surfaces de révolution dont la section méridienne aurait beaucoup de sinuosités, il pourrait y avoir un plus grand nombre de plans tangents.

420 SOBFAGES ' PL. 85.

864. 2* méthode. Au lien d'tfn cône on pourrait employer UD cylindre auxiliaire qui serait parallèle à la droite donnée ; cela reviendrait à supposer que le sommet du cône est reculé sur cette droite jusqu'à Tinfini.

865. 3« méthode. On prendra sur la droite donnée a, fig. 424, un point quelconque s^ et considérant ce point comme le sommet d'un cône qui envelopperait la surface,

. on construira la courbe de contact vu. On prendra ensuite sur la même droite un autre point quelconque t pour sommet d*un second cône qui envelopperait la surface, et Ton construira la courbe de contact zx. Les points communs à ces deux lignes de contact dcHermineront les plaâs tangents demandés.

En effet, le pl^n qui toucherait la surface donnée au point m, par exemple, devrait contenir toutes les tangentes à ce point. 11 contiendrait donc la droite ms qui est une génératrice du premier cône auxiliaire, et qui par conséquent est une tangente de la surface ; par conséquent il passerait par le lioint^. De plus, il contiendrait la droite mf, génératrice du second cône auxiliaire, et passerait par le point t, sommet de ce cône ; donc il contiendrait la droite st.

866. 4"* méthode. On pourrait remplacer l'un des cônes auxiliaires par un cylindre parallèle à la droite donnée, ce qui reviendrait à supposer que Tun des deux points^ ou t est situé à l'infini. Les moyens de construire les lignes de contact ayant été exposés dans les articles 835, 836, etc., je me bornerai à faire l'application des principes précédents à quelques cas particuliers. ^

867. Supposons qu'il s*agisse, flg. 421, de construire par la droite bb' deux plans tangents à une ellipsoïde de révo^ lution A, A', et proposons-nous d'appliquer le principe du n* 863.

1" méthode. Nous admettrons d'abord que le sommet ss^ du cône auxiliaire pouvant être pris à volonté, il sera permis de choisir ce point dans le plan du méridien principal ; de

PL. 85. < DE RÉVOLUTION. 42i

sorte que la courbe de contac4 se projettera sur le plan vertical par une droite zv (849). 11 faut maintenant couper e cône et la droite bb' par un plan quelconque, et construire, par le point où la droite bb' perce ce plan, des tangentes à la courbe suivant laquelle ce même plan coupe le cône. Nous allons chercher quelle doit être la direction du plan coupant pour que les opérations soient les plus simples

possible.

Pour résoudre cette partie de la question, concevons le cylindre vertical C, qui touche la surface donnée suivant son plus grand parallèle tr. Les génératrices qui forment les limites des projections du cylindre et du cône auxiliaire se couperont aux quatre points a\ a" y a\ a\ qui saront les som-. mets d'un quadrilatère circonscrit à la projection verticale de

l'ellipsoïde.

Nous admettrons que dans un quadrilatère circonscrit à une ellipse ou à un cercle, les cordes qui joignent les points * de tangence opposés passent par le point d'intersection des deitx diagonales. (Algèbre appl.) ,

D'après cela, supposons que les droites-2^, tr, a^a\ a^'a^^ soient les traces de quatre plans perpendiculaires au plan vertical de projecSon.

La section dé l'ellipsoïde et du cône par le plan pq sera Tellipse zx. Le point ee!, suivant lequel cette ellipse coupe le parallèle ir, appartient au cylindre projetant G.

11 résulte de là que les deux ellipses suivant lesquelles le cylindre et le cône sont coupés par.le plan pq doivent coïncider, puisqu'elles ont un axe commun aV, et un point commun en eef. De plus, cette ellipse, commune aux deux sur* faces, étant située sur le cylindre, aura pour projection horizontale la circonférence aa.

La relation précédente serait encore vraie si le sommet du cône auxiliaire était situé dàùs Tintérieur du cylindre G ; mais alors les deux courbes tr, zx ne se couperaient pas, et l'on ne pourrait plus raisonner de la même manière. Dans ce cas, il serait utile de recourir à Talgèbre pour démontrer que la courbe suivant laquelle le plan pq coupe le cône auxiliaire est en même temps située- sur le cylindre G, >» et se projette par conséquent par un cercle aa. Gela étant

admis, il est évident que la courbe aa, a' a' sera la directrice la plus simple que nous puissions prendre pour le cône auxiliaire.

L'intersection 'du plan;?g par la droite donnée hV sera un point mm' par la p/ojection horizontale duquel on construira les deux tangentes wo, me. Les projections verticales de ces lignes se confondront avec la trace du plan pq. Enfin, chacune de ces tjaingentes avec la droite donnée déterminera, un des plans tangents demandés par la question.

Les deux points o, c, projetés en o' et &, détermineront les deux droites [so, ^o') {se, s'&) suivant lesquelles les deux plans tangents touchent le cône auxiliaire ; et les points nnf, uu\ suivant lesquels ces droites coupent l'ellipse zx, sont les points de tangence sur Tellipsoïde.

a68. 2« méthode. On pourra prendre pour directrice du cône auxiliaire la ligne de contact zx^; dans ce cas les plans tangents seraient déterminés par la ligne donnée bV et par chacune des deifx tangentes inenées par le point où cette droite perce le plan p'V- On pourra éviter, la projection elliptique de l'ellipse zx en employant un j)lan auxiliaire sur lequel cette projection serait un cercle (541).

889. S"" méthode. Si Ton suppose la sur&ce enveloppée par deux cônes auxiliaires (865), on pourra disposer les opérations de la manière suivante, fig . 423 :

Jl sera toujours permis de prendre pour somniet de l'un des deux cônes le point ^^' suivant lequel la droite donnée bV perce le plan Jiorizontal qui contient le plus grand parallèle de la surface. Sans ce cas la courbe de contact sera une ellipse qui se projettera sur le plan horisontal par la corde ce.

On prendra ensuite pour sommet du second cône auxiliaire le point s$', suivant lequel la droite bV peirce le plan du méridien principal, de sorte que la seconde courbe de contact aura pour projection verticale la corde aa.

Les points de tangence devant appartenir aux deux ellipses aa, ce (865), doivent se trouver par conséquent sur TiBiersec-

PL. te. DE RÉVOLUTION. 4â3

tien des deux plans uvp, u'r/p'' gui contiennent ces courbes. Ces deux plans étant perpendiculaires aux plans de projections, sont les plans projetants de leur intersection qui alors s^a projetée par les deux droites wv, uV.

Il ne reste donc plus qu'à chercher les points suivant lesquels cette droite coupe Tune des deux courbes de contact ce, aa. Nous choisirons la dernière de ces deux lignes, et pour éviter la construction de Tellipse qui résulterait de sa projection ou de son rabattement, nous chercherons la position du plan sur lequel sa projection serait un cercle (541).

Âinsi^ après avoir déterminé le centre o' nous rabattrons le parallèle qui contient ce point, et Tordonnée o'z sera le deiÀi-petit axe de l'ellipse aa. Nous construirons le triangle rectangle o^a'a en faisant le côté (/a^ de Fangle droit égal à o'z. De sorte que oV étant la projection de o'a, la droite u^v^' sera la trace du plan sur lequel l'ellipse aa se projettera par un cercle.

En faisant tourner ce plan autour de Thorizontale projetante du point v^\ la circonférence a'V sera la projection de IJellipse aa sur le plan v^'w'^

Les deux points vv\ uu\ pris à volonté sur la droite uv, u\v' se projetteront par v^ et tt'', et le dernier se rabattra en w"' de sorte que v^^^u^^' sera la projection de la droite wv, uV sur le plan auxiliaire w V.

Les intersections m"\n"' de v'^'w"^', avec la circonférence aW, seront par conséquent les deux points de tangence demandés que l'on fera* revenir d'abord en m" et n" dans le plan u"'o"^ puis de là sur la courbe de contact aa par les deux perpendiculaires m"m', n"n\

Les projections horizontales m et n de ces points seront déterminées, sur la seconde courbe de contact ce, par les droites n"^n, m"' m parallèles à la ligne AZ, et qui représentent les projections des arcs de ceircle parcourus par ces points ; enfin sur les droites m'm^ n'n perpendiculaires à la ligne AZ.

870. Construire un plan tangent à une surface de révo lution et pa/rallèle à un plan donné.

43i SURFACES PL. b5.

Soient, Og. 422, le plan p donné et AÂ^ la surface donnée; construisons la droite ac, aV perpendiculaire au plan donné, il ne restera plus qu'à choisir, parmi tous les plans perpendiculaires sur ac, a'&^ celui qui serait tangent à la surface donnée.

Pour satisfaire à cette dernière condition, concevons la droite ac, a'c' rabattue en a^c'\ dans le plan du méridien principal, la tangente su, perpendiculaire sur aV, représentera dans ce rabattement l'intersection du plan cherché par le plan méridien ac ; nous ferons revenir la droite su dans ce méridien, ce qui nous donnera le point w'' par lequel nous construirons la trace horizontale du plan demandé p'.

Ce plan devant contenir le point s, sa trace verticale sera facile à déterminer. De plus, cette trace verticale devra être parallèle à celle du plan p, et par conséquent perpendiculaire sur aV.

Le point de tangence m'\ étant ramené dans le plan du méridien ac, Reviendra mm\ La droite me, m'z^ perpendiculaire sur le plan p', sera la normale et sera parallèle à la droite donnée ac, a'c'. Dans l'exemple que nous avons choisi il y aurait un second plan tangent au point nn'.

Pour certaines surfaces de révolution il pourrait y en avoir davantage. Il est évident qu'il y aura autant de solutions que Ton pourra construire de tangentes à la section méridienne perpendiculairement à la droite a'c",

871. Projection oblique des surfaces de révolution, hoit^ qu'on veut exécuter un solide de révolution, il faut le projeter de la manière la plus simple, et dans ce cas on doit prendre un plan de projection perpendiculaire à son axe; mais lorsqu'il est nécessaire de projeter le corps dans une position inclinée, les opérations deviennent plus difficiles. Les dessinateurs se contentent ordinairement dans ce cas, de concevoir la surface coupée par un certain nombre de plans perpendiculaires à son axe. Chaque section circulaire a pour projection une ellipse, et la courbe tangente à toutes ces ellipses forme le contour de la projection.

Cette manière d'opérer convient évidemment pour les

PL. 86. DE RÊTOLUTIOK* 495

arêtes circulaires de la surfoce ; mais pour les autres, elle ne doime le contour de la projection que d'une manière approiimative, et laisse de Tini^ertitude sur la position de certains points singuliers dont nous parlerons bientôt.

872. Pour ne pas augmenter, sans nécessité, le nombre des planches, nous choisirons un exemple qui contienne à peu près toutes les variations de courbure, et flous proposerons dans ce but de construire les deiîx projections du balustre dout la section méridienne est projetée, fig. 427, pi. 86.

Les données sont :

l"" La section méridienne dont nous venons de parler ; 2'' Les deux projections ac, a'c' de l'axe de la surface. Voici quel doit être l'ordre des opérations.

873. Projection auxiliaire^ flg. 427. On commencera par construire la section méridieane sur un plan vertical AZ', parallèle à la droite ac, a'&.

Pour obtenir l'inclinaison de cette projection, il sufiSra de projeter deux points quelconques de la ligne ac, a'&.

On projettera ensuite la surface sur un plan perpendiculaire à son axe, et l'on rabattra cette nouvelle projection.,

flg. 430.

Quand Tépure sera disposée comme nous venons de le dire, on commencera les opérations nécessaires pour déterminer les deux projections obliques.

874. Projection horizontale^ flg. 428. Les limites de cette projection étant les traces des surfaces cylindriques perpendiculaires au plan horizontal et tàngentesà la surface donnée, la question se réduit à l'application des principes exposés auxn«*85i,852, etc.

i^ opération. Par un point quelconque &\ pris à volonté sur Taxe aV^ flg. 427, on construira la droite &^u\ perpendiculaire au plan horizontal kV. La projection de cette droite sur la ligure 450 sera o'^'u.

486 suHFAoes PL. 86.

. 2^^ A^péraiion. On âéterminera sur les deux projeettoas 427 et 430 toutes les courl)es suivant lesquelles les différentes pitiés de la surface donnée seront touchées p^u* autant de surfaces cylindriques parall^es à la droite &'v\ o^% et par conséquent perpendiculaires au plan borizontal de projection.

Ces courbes sont au nombre de trois, savoir : la première tnn, sur la portion de surface qui forme le col du balustre ; la seconde courbe zx est située sur la partie convexe de la surface, et la troisième vr appartient à la scotie.

Ces trois courbes ont beaucoup d'analogie avec celles que nous avons obtenues sur la surface annulaire, et devront par conséquent être construites par les principes exposés aux n*»*851, 852, etc.

Les trois courbes dpnt nous venons de parler étant coupées symétriquement par le plan méridien pu, les parties vues et cachées de ces courbes se confondront sur la projection 427.

876. Dans l'exemple qui nous occupe, nous avons supposé que la zone convexe du balustre était une portion d'ellipsoïde de révolution, d'où il résulte que la ligne de contact est une courbe plane, et par conséquent se projettera sur la figure 4S7 par une ligne droite zx.

876. Quand les trois courbes précédentes seront obtraues sur les deux projections 427 et 430, on fera tourner cette dernière figure pour la ramener dans la position de la ligure 431, et tous le^ points du contour de la projection borizQntale de la surface seront alors déterminés paries intersections de deux systèmes de lignes, les unes parallèles, les autres perpendiculaires à la ligne kV et menées par les points colrespondants des deux àgurês 427 et 431.

877. Points de rebroussement. Les projections horisspntales â^ courbes, situées sur le col du balustre et sur la scorie, contiennent chacune quatre points de r^ouaseaieat ; peur

PL. 86. DE RÉl^LUnON. iSH

mieux foire oomprendre la forme de ces courbes, on les a trftfisportées û^. 482.

878. On pourra trouver singulier qu'il y ait sur la projection horizontale des points de rehroussement qui n'existent pas sur la projection verticale correspondante, mais cela est très-facile à concevoir ; en effet, si la courbe elle-même contenait un ou plusieurs points de rebroussement^ on devrait ^'attendre à retrouver des points analogues sur toutes les projections de la même courbe ; mais ici, aucune des deux courbes dont il s'agit pe contient de points de cette espèce, et ceux qui existent sur leurs projections horizontales proviennent de ce que, pour ces points, la perpendiculaire projetante parallèle à o^^u'^ o'"u se confond avec la tangente à la courbe.

Supposons, par exemple, que Ton ait obtenu^ fig. 429, les deux projections d'une courbe à double courbure aoa, la droite hh étant la tangente au point o. Si Ton tire, les deux extrémités a, a en les écartant Tune de l'autre comme pour rectifier la courbe, on lui fera prendre la forme indiquée par les deux projections a'a^^ et la tangente deviear dra VW.

Or, par suite du mouvement de rotation de la tangente il peut y avoir un instant où cette ligne étant perpendiculaire au plan vertical, sa projection sur ce plan se réduit à un point.

Les deux projections de la courbe deviennent alors a V, et le point de rebroussement o" est la projection-verticale de la tangente. -,

879. Ainsi, les points de rebroussement de la projection horizontale, fig. 428, sont les projections des points suivant lesquels les deux courbes mm, vr, sont touchées par des parallèies à la droite o"u\ o"*u, flg. 427, 430.

Il est essentiel de déterminer ces points avec toute TexactiCude possible sur les quatre projections 427, 430, 431 et 428, et de s'assurer qu'ils sont bien liés entre eux par les lignes de projection correspondantes ; ^'il y avait quelque irrégularité à cet égard, cela indiquerait une erreur dans la

via8 SURFACES li:. 86.

eonstractioû des courbes ; il faudrait alors en chercher fo cause et la faire disparaître. Ces vérificatioBS ont été conservées sur Tépuré pour les points 1 et 2 seulement.

880. Les projections horizontales des arêtes circulaires se construiront comme nous Tavons dit au n» 545.

881. Projection verticale^ flg. 426. Le contour de cette projection se compose des traces des divers cylindres tangents, perpendiculaires au plan vertical de projection ou parallèles à une droite qui serait elle-même perpendiculaire à ce plan. Voici quel sera l'ordre du travail :

1" opération. La droite os y perpendiculaire au plan vertioal de projection, se projettera sur ce plan par un seul point o', et sur le plan auxiliaire, fig. 427, par, la droite oV, parallèle à AZ'.

Pour avoir la prQjectîoil de la même droite sur les deux ligures 430 et 431, on construira les deux triangles rectangles qui ont pour côtés s"'e = sf'e'.^ flg. 427, ^W^e = oA, flg. 428.

L'hypoténuse o"'s"' sera la projection de la droite o^, o'V sur les plans des figures 427 et 431 ^ perpendiculaires à l'axe

du balustre.

2e opération. On déterminera sur les figures 427 et 430 les courbes suivant lesquelles les sqrfaces de révolution du balustre sont touchées par des plans parallèles à la droite oV,o'V (851- et 852).

Ces ligues seront les directrices des cylindres projetants» perpendiculaires au plan vertical de projection.

3* opération. On reportera les courbes précédentes de la figure .430 à la figura 4àl, et leurs projections horizontales seront déterminées, sur la figure 428, par les intersections des lignes de projection parallèles et perpendiculaires à AZ', menées par les points correspondants des figur^BS 427 et 431.

4* opération. Quand on aura construit avec beaucoup d'exactitude, sur la figure 428, les projections horizontales

PL.' 86. DE RâreLUTiON. 439

des trois courbes de contact, il ne restera plus qu'à obtenir leurs projections verticales sur la fi^nre 4M.

Pour y parvenir, on élèvera des perpendiculaires à la ligne AZ par tous lès pointa de la projection horizontale, figr. 426, et la hauteur de chacun de ces points sera donnée par sa projection auxiliaire, flgr. 427.

882. Les projections verticales des deux courbes, situées sur le col du balustre et sur la scoiie, ont chacune quatre points de rebroussèrent qui sont les projections des points suivant lesquels chacune de ces courbes est touchée par des droites parallèles à la ligne o^, oV, et par conséquent perpendiculaires au plan vertical de la figure 426.

Il sera donc essentiel de vérifier la position de chacun de ces points sur les cinq projections 427, 430, 431, 428 et 426.

Les arêtes circulaires du ballustre se projettent sur la figure 426 par des ellipses semblables.

Les diamètres de ces ellipses se déduiront facilement de leurs projections horizontales.

On remarquera que pour chaque ellipse, le grand axe est perpendiculaire à la droite aV. , .

On peut, connaissant le grand axe et un point, construire avec beaucoup de précision l'une de ces ellipses ; puis, après avoif déterminé le second axe, on obtiendra les axes de toutes les autres ellipses en opérant comme au n*» 554.

Les projections d*un même cercle sur les deux figures 426 et 428 doivent être touchées par les mêmes droites perpendiculaires à la ligne ÂZ.

883. Si rbn a de la place, on peut employer une seconde projection auxiliaire perpendiculaire au plan vertical de projection et parallèle à la droite a'c'.

Gela dispensera de construire sur la projection horizontale les courbes suivant lesquelles la surface est touchée par les cylindres projetants parallèles à la droite o^, oV.

884. Si au lieu de construire les plans tangents parallèlement à une droite donnée, on les avait fait passer par un