Il ne faut pas oublier que nous raisonnons toujours ici

i^L. 87. DE RÉVOLUTIOM. 433

d'une mapière générale ; mais dans rexécution àe 1-épure il se présente souvent des circonstances particulières qui engagent à modifier le principe et à recourir A des constructions

. auxiliaires. Ainsi dans l'exemple proppsé,. lorsqu'on arriverait dans le voisinage des points uu' et vv\ les intersections se feraient suivant des angles trop aigus. Dans ce cas, on pourrait employer comme auxiliaires des plans verticaux passant par Taxe de la surface donnée : ces plans. couperont la surface suivant des sections méridiennes dont on évitera la projection en les rabattant autour de l'axe. C'est ainsi que

- les points {uu') (vv') ont été déterminés. Le premier de ces points est le plus élevé et le second est le plus bas de la courbe d'intersection. Un plan v«^tical p^' a coupé la surface donnée suivant une section méridienne qui, en tournatit autour de l'axe, est venue se confondre avec la projection verticale </' du méridien principal. La droite provenant de l'intersection du plan B et du plan auxiliaire ?/' est venue se rabattre en a^^ et Tinterseotion de cette ligne a^^ avec la section méridienne c'^ a donné deux points ^, z' qui, projetés horizontalement en 5, z, et ramenés dans le plan p'^ ont déterminé les points (uu') (vv^j. Les points xœ\ oo\ situés dans le plan méridien p''\ ont été déterminés de la même manière.

Ainsi, on devra employer la première méthode quand on voudra obtenir un point sur un parallèle de la surface, et Ton emploiera la seconde quand il s'agira de trouver un point sur un méridien. . i

895. On peut quelquefois trouver dans la définition ou dans les propriétés de certaines surfaces des moyens d'exécution particuliers. Ainsi, par exemple, s'il s'agissait de construire, flg. 436, là section de l'hyperboloïde par le plan B, on pourrait, comme précédemment, faire usage de plans perpendiculaires à l'axe ou de plans méridiens ; mais on pourrait encore employer des plaqg, coupant l'hyperboloïde suivant les génératrices de cette surface. Ainsi, pour obtenir le point {mm'}, on a construit un plan po'p coupant l'hyperboloïde, suivant la génératrice vV, vo, et le plan B suivant la droite W; l'intersection de ceg deux lignes a donné le

434 SUBFAJCSS PL. 87.

poifft (m, mf) ; il est évident que cela la^vient à ch^fcber la suite dieB points suivant lesquels le plan B est percé par char cune des droites génératrices de Thyperbololde.

Les points (n, n') (^ , sf) ont été déterminés par le plan horizontal p^

Enfin, en faisant une section par un plan méridien perpendiculaire au pian B^ et rabattant cette section çoinme nous l'avons fait dans Tépure précédente, on obtiendrait le point le plus élevé et le point le plus bas de la^courbe.

896. CSonrbes de pénétration. — IrUèrsections d'une surface de révolution et d'un cylindre. On emploiera comme surfaces auxiliaires des cylindres parallèles au cylindre donné, ayant pour directrices les parallèles de la surface de révolution. Ainsi, par exemple, flg. 437, pi. 88, la circon* férence* du cercle dont la projection verticale est a'I/, étant prise pour directrice d*un cylindre parallèle au cylindre donné, la trace horizontale de ce nouveau cylindre sera uoe circonférence ayant son centre en d, et pour rayon du = &V; les points x, v, suivant lesquels se rencontrent les traces des deux cylindres, détermineront deux lignes droites communes aux surfaces de ces cylindres, et les intersections de ces droites avec le cercle ab, a'b\ feront connaître les deux points m^m de la courbe demandée. On obtiendra par ce moyen autant de points que Ton voudra.

Les traces des cylindres auxiliaires auront tous leurs centres sur une même droite zc, parallèle à la projection horizontale du cylindre donné, et passant par le point où l'axe de la surface de révolution perce 4e plan horizontal.

Si Ton prend, le milieu de chacun des arcs de cercle qui résultent des intersections de la trace du cylindre donné avec les traces des cylindres auxiliaires, on obtiendra une courbe on qui aboutira sur la trace du cylindre donné en un point o. La droite oz normale à ce point déterminera en z le centre de la trace horizontale du cylindre auxiliaire sur la surface duquel se trouve le point le plus élevé de la courbe.

Le point le plus bas se déterminera en prolongeant la courbe on de l'autre côté, jusqu'au point n, par lequel

PL. 88. DE BÉVOLUTION. 435

on mtoera une normale n^, et le point s sera le centre de la tiaœ du cylindre auxiliaire qui déternâne le point le plus bas.

097. Intersection d'une surface de révoliUion et £\m cône. On emploiera comme surfaces auxiliaires des cônes ayant le même sommet que le cône donné, et pour direc- Iric^ les parallèles de la surface de révolution. Ainsi, ûg. 438, le cercle dont la projection verticale est a^l/^ étant pris poar la directrice d'un cône dont le sommet serait (9, s') y la trace horizontale de ce cône sera une circonférence de cercle dont le centre d sera déterminé par l'intersection de la droite sc^ -sfc'^ avec le plan horizontal, et qui aura pour rayon d^a = d'u'. Cette circonférence coupera la trace "du GÔùe donné, suivant/ deux points v, x\ en joignant ces points avec le sommet commun des deux cônes, on obtiendra deux droites dont les intersections avec le cercle afr, a'V appartiendront à la courbe demandée.

Il n'y aura plus qu'à recommencer cette construction pour avoir de nouveaux points de la courbe : les traces des cônes auxiliaires auront tous leurs centres sur la ligne fc; les points extrêmes de la courbe se détermineront comme dans l'épure précédente.

898. L'exécution de ces épures suppose que la surface de révolution est projetée sur un plan perpendiculaire à son axe; s'il en était autrement, et que cette surface fût donnée dans une position inclinée, on commencerait par la projeter sur un plan auxiliaire perpendiculaire à Taxe, ce qui ramènerait la question au cas précédent.

899. Intersection d'uns surface de révolution et d'une sphère. On placera l'axe de la surface de révolution perpendiculaire au plan horizontal, et Ton prendra le plan vertical de projection parallèle au plan qui coi^iiendra le centre de la sphère et l'axe de la surface donnée.

L'épure étant ainsi disposée, on emploiera, comme surfaces auxiUaires, des sphères ayant leurs centres sur Taxe de la surface donnée. Chaque surface auxiliaire coupera la sphère

436 / SURFAGlâS PL. 88.

donnée et la surface de révolution suivant des cercles perpendiculaires au plan vertical, et qui, par conséquent, se projetteront sur ce plan par de^ lignes droites. Les intersections de ces droites feront connaître les points de la courbe cherchée. Ainsi, par exemple, fkg. 439, la sphère dont le centre est en c', et qui a pour rayon c'a', coupera la surface de révolution suivant deux cercles f)rojetés sur le plan vertical par les droites a'd\ h'k', et la sphère donnée, suivant un cercle dont la projection verticale sera m'^h,' ; l'intersection de ce dernier cercle avec les deux cercles c'd\ h'k\ donnera quatre points qui seront projetés verticalement, deux au point o' et les deux autres en u'. Pour avoir les projections horizontales de ces mêmes points, on projettera horizontalement les deux cercles a'd\ h'k\ et l'on abaissera les deux perpendiculaires o'o, u'u. Une seconde sphère auxiliaire fera connaître quatre nouveaux points, et ainsi de suite.

Pour plus de symétrie dans la construction de l'épuré, on a

' pris les sphères auxiliaires concentriques, mais on pouvait

s'en dispenser ; la seule condition essentielle ici, étant que les

centres de ces sphères soient placés sur Taxe de la surface

de révolution. ^ '

900. Les mômes moyens pourraient être employés pour Prouver la courbe de pénétration de deux surfaces de révo^ lution dont les axes se couperaient ; mais, dans ce cas, après avoir choisi un plan vertical de projection parallèle au plan qui contiendrait les deux axes, il faudrait nécessairement prendre le point d'intersection de ces axes pour centre des sphères auxiliaires; et si dans l'exemple précédent nous avons pu prendre pour centre tel point de l'axe que nous avons voulu, c'est parce que la sphère pouvant être considérée comme surface de révolution dans tous les sens, le point que nous avions choisi pouvait toujours être regardé comme rintersection des deux axes.

901. 11 résulte de ce qui précède que, pour avoir l'intersection d'une surface de révolution avec un cylindre, on pourra employer des cylindres comme surfaces auxiliaires ; pour l'intersection avec un cône on emploiera des cônes.

PL. 88. DE RÉVOLUllON. 437

et pour rîntersection avec la sphère, on fera usage des sphères.

902. Il est bien entendu, comme nous l'avons déjà dit, que si par suite de la disposition particulière des données, quelques points n'étaient pas déterminés avec assez de précision, il faudrait avoir recours à d'autres moyens, comme, par exemple, des plans parallèles au plan horizontal ou au plan vertical. Si Ton emploie des plans perpendiculaires à l'axe de la surface de révolution, on aura l'avantage de couper cette surface suivant des cercles ; de sorte qu'il n'y aura plus qu'à construire les lignes suivant lesquelles ces mêmes plans couperont la seconde surface.

903. Dans le cas de J'intersection avec une sphère, des plans perpendiculaires à l'axe de la surface de révolution couperont les deux surfaces suivant des cercles. Il en serait de même s'il s'agissait de deux surfaces de révolution dont les axes seraient parallèles.

904. Chacun des trois moyens de solution que nous venons d'exposer peut être employé à la recherché de la courbe provenant de la section d'une surface de révolution par un plan. Il suffit de considérer successivement cette dernière surface comme un cylindre ou un cône dont les directrices seraient droites, ou comme la surface d'une sphère dont le rayon serait infini.

905. Dan^ le premier cas, flgr. 440, on supposera que le plan donné est une surface cylindrique qui a pour directrice la.trace horizontale vx et pour génératrice la trace verticale vz.

Cette dernière ligne déterminera la direction des cylindres auxiliaires qui auront pour directrices les difiérents parallèles de la surface donnée.

'Ainsi, le cylindre qui contiendrait le parallèle ac, a'& aurait pour trace horizontale la circonférence aV; les intersections de cette courbe avec la trace vx du plan donné détermineront les. deux droites m^'m, m"*m\ parallèles à

438 «mrAOKS pl 89.

la trace verticale vz, et les interseeUons de ces droites avec le parallèle ac, a'& feront connaître les deux points cbepchés Tfiml,

906. Si Ton considère le plan donné comme un cône dont la directrice serait une ligne droite, on pourra prendre pour sommet le point $^, suivant lequel ce plan est percé par l'axe de la surface donnée.

Dans ce cas, les cônes auxiliaires ayant pour directrices les cUfférents parallèles de la surface donnée seront droits et i bases circulaires.

On n'a construit sur T^ure que celui de ces cônes qui déterminerait le point le plus bas et le plus élevé de la courbe demandée.

Sa trace horizontale uu" doit être .tangente à la trace vrr du plan donné.

Au lieu de construire la projection verticale de la génératrice su"^ on a préféré rabattre cette ligne dans le plan du méridien su.

907. Enfin, si Ton voulait considérer le plan donné comme la surface d'une sphère dont le rayon serait infini, il faudrait employer un plan auxiliaire de projection vertical et perpen* diculaire au plan donné: pour le reste on agirait comme au numéro 899.

908. Intersection de deux surfaces de révolution dont Us axes ne se reno ntrent pas. On prendra l'un des plans de projection perpendiculaire à Taxe de l'une des deux surfaces données» et le second plan de projection parallèle aux deux axes.

Supposons, par exemple, flg. 441, pi. 89, que la surface AA' soit perpendiculaire au plan horizontal, la projection de cette surface sera limitée par celle de son plus grand parallèle, et sa projection verticale sera une section méridienne.

La surface inclinée BB' étant également parallèle au plan vertical, sa projection, sur ce plan, se composera d'une section méridienne, et pour construire la projection horizontale, il ftiudra opérer comme nous Tavons dit au n** 872.

Cda élut Ml) on coupera les deux surfiices par un plan amiliaire pp que nous supposons ici parallèle au plan vertical de projection.

La section de la surface AA' par le plan auxiliaire pp sera une courbe osa; la section de la surfooe HW se composera des deux courbes zvs, et les intersections de ces dernières lignes par la courbe asa donneront les quatre points u,u*...., qui devront faire partie des courbes de pénétration demandées (785).

La section des deux surfaces^par un second plan auxiliaire déterminera quatre autres points.

Un troisième plan auxiliaire en donnera encore quatre, et ainsi de suite.

909. Avant d'aller plus loin, il est nécessaire d'entrer dans quelques détails sur la construction des courbes asa^ zvz.

La première de ces deux ligues ne présentera aucune difficulté, puisqu'il suffira d'élever des perpendiculaires à la ligne AZ, par les points où la trace pp du plan auxiliaire rencontre les projections horizontales des parallèles que Ton aura dû établir d'avance sur la surface AA^

Pour faciliter la construction des deux courbes zvz, il faudra également établir un certain nombre de parallèles sur la projection verticale de la surface BB'.

Mais pour éviter la construction des ellipses qui représenteraient les projections horizontales de toutes les circonférences de cercle, on les projettera sur un plan auxiliaire qp' perpendiculaire à Taxe de la surface inclinée BB', puis on rabattra cette nouvelle projection B^' en la faisant tourner autour de Thorizon projetant du point 9, ou de tout autre point pris à volonté dans le plan qp'.

Les parallèles de la surface BB' seront représentés sur la nouvelle projection B^^ par des cercles concentriques» et les intersections de ces circonférences par la trace pp du jplan auxiliaire feront partie de la courbe cherchée. Il ne restera donc plus qu'à faire revenir tous ces points à leur place*

Pour y parvenir, on les projettera d'abord sur le plan hori zontal qp^' que l'on fera revenir dans la position qp^, d\)û

4^) SUttFikCËS l*L/8tf«

chacun des points cherchés devra être ramené par une perpendiculaire au plan qf^ sur le parallèle auquel il doit appartenir. Ainsi le point tw, projeté en m'/ viçndra se placer en m"^ d'où on déduira sa projection verticale.m'^'. Pour plus d-ordre on fera bien de.numéroter .les parallèles sur les deux projections B' et 'B'^ et l'on diminuera le travail en choisissant de préférence ceux qui ont des rayons égaux, afin qu'ils aient une projection commune sur la figure B'^.

On devra aussi choisir la position des plans coupants auxiliaires, de manière à obtenir les points les plus essentiels des deux courbes de pénétration. Ainsi, par exemple, si on veut obtenir les points suivant lesquels ces courbes touchent le méridien principal de la surface AA'^ on coupera les deux surfaces par le plan vertical p'p' qui contient Taxe de cette surface. Le plan f^p" déterminera les points situés sur la section méridienne de la surface BB'.

910. La ligne n'o^ii' étaût la projection verticale des deux courbes nen (874), les cylindres projetants de ces lignes pourront être employés comme surfaces auxiliaires.

Les courbes provenant de l'intersection de ces cylindres avec les parallèles de la surface AA' couperont la ligne n'&n' en quatre points dont les projections horizontales appartiendront au contour de la projection horizontale B.

91 1 . Surface du second degré. Dans tout ce qui précède, nous avons raisonné d'une manière générale, afin que les opérations indiquées puissent convenir à toutes les surfaces de révolution, quel[que soit le contour de leurs sections rnéridiennes.

Mais, dans quelques cas particuliers, il sera possible de simplifier les opérations.

Supposons, par exemple, que les deux surfaces données soient une paraboloïde et une hyperboloïde de révolution, les sections 'de ces deux surfaces par les plans coupants auxiliaires s^ont les courbes du second degré, qui pourront, par conséquent, être construites ou au moins vérifiées par leurs . propriétés géométriques.

Déplus, si Ton emploie, comme cela est le plus simple, des plans parallèles entre eux, toutes les lignes suivant lesquelles ces plans couperont une même surface seront semblables entré elles.

Toutes les sections dans Thyperboloïde auront pour asymptotes communes les deux droites cro'x qui sont les asymptotes de la section méridienne principale, et cette propriété sera d'autant plus pommode qu'il suffira de connaître un point de chaque section'pour ôtre en état de la construire promptement (387).

912. Une autre propriété déjà citée deà courbes du second degré facilitera le tracé de la projection horizontale de la surface inclinée ; c'est que la courbe suivant laquelle cette surface est touchée par le cylindre projetant qui Tenvel^ppe doit être plane, et qu'elle se projettera par conséquent sur le plan vertical par une ligne droite.

Cette courbe est une hyperbole, et si on pouvait en construire les asymptotes, la projection horizontale ne présenterait plus aucune difficulté.

913. Pour obtenir ce résultat, nous rappellerons que si l'on faisait tourner autour de Taxe ch de la surface inclinée, l'une des asymptotes xo^x de la section méridienne, on engendrerait le cône circillaire asymptote de cette même surface (807).

Les génératrices formant les limites de la projection horizontale de ce cône seraient les asymptotes de l'hyperbole qui limite la projection horizontale de la surface. i

I)e là résulte la coustruction suivante :

La droite rt^ perpendiculaire sur l'asymptoie, xo'x^ coupera l'axe ck en un point i qui sera le centre de la sphère inscrite dans le cône asymptote ; les deux circonférences fe&, dd seront les projections de cette sphère.

Enfin, les droites Aoft, tangentes à la circonférence dd, et limites de la projection horizontale du cône, seront les asymptotes de rhyperbole formant le contour de la projection horizontale de la surface BB^

On se rappellera (646) que les points de taigence t, i peuvent être déterminés par la perpendiciilaire .abaissée du point i\ suivant lequel la sphère est toucliée par les dmi plans verticaux tangents au cône asymptote.

914. Dans quelques occasions où Ton n'aurait pas d'autre but que d'ajuster deux surfaces de révolution, on pourrait se dispenser de construire la projection horizontale de la surface inclinée ; les projections B^ et B^ de cette surface suffisanty avec celles de la surface Â, pour déterminer tous les points des deux courbes de pénétration.

916. Intersection de deux ellipsoïdes de révolution A et B,' llff. 444. On concevra, fig. 448, la sphère G, enveloppée par deux ellipsoïdes Â^ et B^ semblables et parallèles aux surfaces données. Ces deux surfaces auront un axe commun projeté par le point d et qui sa-a égal au diamètre de la sphère inscrite. De plus elles se pénétreront suivant deux ellipses qui auront pour projection les droites aa^ ce.

Or, les deux ellipsoïdes A' et B' étant parallèles et semblables aux ellipsoïdes données A et B, il en résulte que si on coupe ces dernières surfaces par des plans tels que p'q' parallèles à celui qui contient Tellipse aa, on obtiendra ponr sections des ellipses semblables et parallèles à cette dernière courbe, et Ton pourra toujours trouver un plan de projection sur lequel toutes ces ellipses se projetteraient par des cercles (541).

916. On arriverait au 'même but en coupant les deux surfaces données par des plans parallèles à celui qui contient Tellipse ce. On choisira celui de ces deux systèmes de plans coupants qui donne les meilleures intersections.

917. 11 n'est pas nécessaire que les centres de deux ellipsoïdes auxiliaires coïncident avec celui de la sphère inscrite; il suffit que ce dernier point soit à l'intersection des deux axes. Cela est une conséquence du théorème suivant, dont la démonstration ne peut être placée convenablement que dans un traité A' Algèbre appliquée.

f^ 89. DE RÂYOIUTION. 443

Toutes lés fois que deux courbes du second degré sont tangentes à une même circonférence^ de manière qu'elles forment par leurs %ntersectioni\[an quadrilatère circonsorUy les diagonales passant par les sommets opposés de cequor drilatère curviligne^ et les cordes qui joignent deux à deux les points de tangence opposés^ se coupent en un même point.

Le théorème cité au n» 867 n'est qu'un cas particulier de celui que nous Tenons d'énoncer, parce que les côtés rectiligrnes du quadrilatère circonscrit peuvent, dans ce cas, être considérés comme des variétés de courbes du second degré.

918. Il résulte de ce qui précède que si la parabole A'' et rbyperbole W, ûg. 445, sont les sections méridiennes de ^ deux surfaces de révolution circonscrites à une même sphère, Ips ellipses provenant de la section de ces deux surfaces par un plan pq se confondront, puisqu'elles auront le même axe aa, et un point commun c, situé sur les deux cercles zx^ vUy suivant lesquels la sphère inscrite est touchée par les deux surfaces dont il s*agit. 11 en serait de même de la section des mêmes surfaces par le plan p^q'.

919. On pourra donc résoudre la question du n» 798 par une série d'opérations analogues à celles que nous avons indiquées pour deux ellipsoïdes de révolution.

1^ On décrira, ûg. 445, un cercle quelconque auquel on circonscrira une parabole et une hyperbole semblables aux sections méridiennes des deux surfaces données A et B,

flg.441.

2* On coupera ces dernières surfaces par un système de plans parallèles à celui qui con|;ient Tune des deux ellipses aa ou a^a'^ flg. 445.

Les sections des deux surfaces données par ces plans seront des ellipses semblables.

3« On preadra un plan de projection sur lequel toutes ces ellipses se projetteraient par des. cercles dont les intersections suffiront pour déterminer tous les points des deux cour^ bes de pénétration.