Sorflaces réglées qui ont trois directrices
Soient flfiT. 446, pi. 90, (AA'), (BB'), (CC) les trois directrices d'une surface réglée ; on veut construire la génératrice qui passe par le point ^^.
Concevons un 'cône qui ait pour sommet lepoinf^^et ' pour directrice la courbe BB' ; le point suivant lequel la surface de ce cône sera percée par la courbe GC appartient à la génératrice cherchée. En eSet, la droite su, s!u\ située sur la surface du cône auxiliaire, coupera en un point w' la courbe BB^ que nous avons prise pour directrice de ce cône. Elle s'appuiera donc sur les trois directrices de la surface réglée suivant les points ss\vv'^uu'.
Pour obtenir le point uu'^ on construira (790) la courbe Vy provenant de l'intersection du cône auxiliaire par le cylin dre vertical qui contient la courbe CC^ ; Tinterseclion des
440 smtPACES FL. 90.
deux courbes V et C^ fait cdraaltre la projectiont verticale da point iiu^
Bn recommençant cette construction, oir ura autant de positions de la génératrice que Ton voudra.
Si la directrice BB' était une ligne droite, le cône auxiliaire serait remplacé par un plan, et la question serait alors réduite à déterminer le point où ce plan couperait la troisième directrice CC (463).
n est bien entendu que l'on pourra, si on le juge plus commode, employer la courbe C comme directrice du cône auxiliaire, et chercher Tintersection de ce cône par la directrice B.
On fera bien aussi de s'assurer que les génératrices obtenues coupent les trois directrices de la surface (59).
926. Lorsque Tune des trois directrices est une ligne droite, la construction des génératrices deviei^t extrêmement simple, si Ton projette la surface sur un plan perpendiculaire à cette directrice droite.
Prenons pour exemple, fig. 448, la surface réglée ayant pour Tune de ses directrices un arc de cercle ÂA^ paraùèie ad plan vertical de^projection, et dont le centre est au-dessous du plan horizontal ; la seconde directrice est le demicercle CC', aussi parallèle au plan vertical et ayant son centre dans le plan horizontal ; enfin la troisième directrice est la droite BB', située dans le plan horizontal, et perpendiculaire au plan vertical de projection.
Cette troisième directrice se projetant sur le point vertical en un seul pgint B^ toutes les projections verticales des génératrices doivent concourir à ce point : de sorte que pour construire, par exemple, celle qui passe par le point ss\ on tracera ^B', et la projection verticale u'^du point usera coniiue par l'intersection de cette ligne avec C. En abaissant la perpendiculaire du point u\ on aura u\ ainsi su sera la projection horizontale de la génératrice demandée.
Dans cette construction, le plan ^B'B, perpendiculaine au plan vertical, tient lieu du cône auxiliaire que nous avons employé précédemment pour résoudre le cas général.
La ç/mrbe x/œ est la tiaee Terticade de la sarfaoe. Si la directrice BB', en passant toujaars par le centre de la ékeifÊik^Cù, cessait d'être située dans le plan horiaostal €i qu'elle s'inclinât en s'approctont du centre de la dinee* . trice AA^ la forme de la surface se rapprocherait de celle do otae oblique, et elle deviendrait une surface de cdne au dkk binent où la directrice BB^ contiendrait les centres des deux autres directrices.
926. Je prendrai pour second exemple, flg. 449, la surface ayant pour directrices les deux cercles verticaux AA', ce, élevés sur les côtés du parallélogramme mnpqy et la droite BB' perpendiculaire au plan vertical de projection, et passant par le centre parallélogramme ; la construction se fera comme dans Fépure précédente. Les projections verticales des génératrices concourent toutes au point B'; la courbe 2o'a?estla trace verticale de la surface.
Si le parallélogramme mnpq était un rectangle, les deux cercles AA', CC, auraient la même projection verticale, et la surface serait un cylindre perpendiculaire au plan vertical de projection ; si au contraire les projections verticales des deux cercles s'écartaient jusqu'à ce que la diagonale pn fût perpendiculaire au plan vertical, la surface se composerait de deux moitiés de cône qui auraient leurs sommets i'un au point p, l'autre au point n.
