Surfaces régrlées qui ont un plan directeur

Lorsqu'on prend un plan directeur pour déterminer la génératrice d'une surface réglée, cela revient à supposer que la troisième directrice est une droite ou une courbe plane dont tous les points seraient situés à. une distance infinie ; car, dans ce cas, la génératrice ne pouvant rencontrer cette courbe qu'à rinfini, doit rester constamment parallèle au plan qui la contient.

928. En prenant le plan directeur pour plan de projection, la construction de ces sortes de surfaces devient extrêmement simple.

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Soient, par exemple, flg. 447, les deux directrices AÂ^ GC^ le plan vertical étant le plan directeur.

Toutes les génératrices devant être parallèles au pian vertical de projection, leurs projections horizontales seront pa* rallèles à la ligne AZ ; d'où il résulte qu'en élevant des perpendiculaires par les points où ces projections rencontrent celles des directrices, on aura les projections verticales correspondantes. Ainsi, après avoir construit su parallèle à la ligne AZ, on élèvera les perpendiculaires ss^^ uu\ et la projection verticale s'u' sera déterminée. *

Le cône auxiliaire que nous avons employé dans le principe général se trouve ici remplacé par un plan parallèle au plan vertical de projection et ayant la droite su pour trace horizontale.

Si le plan* directeur était incliné, le cône auxiliaire serait remplacé par un plan incliné parallèle au plan directeur. On pourra étudier ce cas comme exercice, mais dans la pratique il sera toujours plus simple de prendre un plan de projection perpendiculaire au plan directeur.

929. Parmi les cas particuliers, nous devons surtout re- . marquer les surfaces auxquelles on a donné le nom de conoïdes.

On nomme ainsi toute surface ayant un plan directeur ^ et une droite pour l'une de ses deux directrices.

Soit, flgr. 450. La première directrice est le demi-cercle AA' ; la seconde directrice est la droite CC, perpendiculaire au plan horizontal, et le plan directeur étant horizontal, on pourra commencer par la projection verticale ou par la projection horizontale de la génératrice. Dans le premier cas on construirait la projection verticale parallèle à la ligne AZ, et si Ton voulait commencer par la projection horizontale, on la ferait passer par C. La courbe zo'n est la trace verticale ' de la surface. Si .tous les points suivant lesquels les génératrices coupent la directrice verticale CG' étaient rapprochés en un seul, la surface deviendrait un cône, et c'est par suite de cette analogie qu'on lui a donné le nom de conoïde.

930. Second exemple. Soit prise/fig. 451, la coarbe AA^ pour première directrice ; pour seconde directrice, la verticale CC, le plan directeur élant horizontaU on pourra, pour construire une génératrice, commencer par la projection verticale c'u', parallèle à la ligne AZ ; ou par la projection horizontale cG, que Ton fera passer par le point G.

Cette surface se nomme conoïde hélicoïde: elle est du genre des conoïdes, puisque ayant un plan directeur, elle a de plus une droite pour directrice ; et le nom d' hélicoïde lui vient de €e que sa seconde directrice est une hélice,

931. Toutes les surfaces héliçoïdés ne sont pas en même temps conoïdes ; il faut pour cela, nous l'avons déjà dit, que Tune des directrices soit droite.

Quelquefois la génératrice devra, dans son mouvement, rester parallèle à un plan directeur, et s appuyer sur deux hélices de même pas et à^ bases concentriques.

D'autres fois le plan directeur est remplacé par la condition que la génératrice s'appuiera sur une troisième directrice, ou ■qu'elle touchera un*cylindre donné, ou qu'enfin elle sera normale à une surface ou tangenh3 à une courbe.

932. Surfaces développables. Nous avons dit (92?) qu'une surface réglée esi jiéveloppable, toutes les fois que deux positions consécutives et infiniment rapprochées de la génératrice se trouvent toujours dans un même plan.

On peut supposer, en efl'et, flg. 453, pi. 91, que la portion de surface acx, comprise entre deux génératrices consécutives, tourne autour de Tune d'elles jusqu'à ce qu'elle soit venue se placer dans le prolongement de l'espace cez.

On fera tourner ensuite l'espace a^ez pour le rabattre dans le prolongement.de evo, et ainsi de suite jusqu'à ce que la ' surface tout entière soit étendue sur le plan a^^^su.

933.,La courbe 0,-30 u, qui contient tous les points d'intersection des génératrices, se nonune une a^^éte de rebrous- ^eme7it;lGS génératrices étant inûnies, il en résulte que l'a-

rêle de rebroussement d'une surface . développable partage la totalité de cette surface en deux parties bien distinctes A et A', flg. 462, que Ton nomme les deux nappes de la surface.

934. L'arête de rebrousseraent peut être considérée comme formée par le contour d'un polygone dont chaque côlé infiniment petit est la portion de génératrice comprise entre les deux points suivant lesquels celte ligne est rencontrée par la génératrice qui suit et par celle qui précède.

Chaque génératrice étant le prolongement de l'un des petits côtés de ce polygone, est par conséquent une tangente à l'arête de rebrous.-emenl, et celte propriété est souvent prise pour définition des surfaces dévcloppables que l'on considère comme engendrées par une droite qui se meut de manière à rester constamment tangente à une courbe.,