La courbure de l'hélice duc.a'u'c' étant uniforme dans
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toute son étendue, il en résulte que dans le développement elle se transforme en une circonférence de cercle, tangente au polygone formé par-le prolongement des rayons de la courbe 9'/.6'Oi". de sorte que cette dernière ligne sera la développante du cercle c^'-b^'-a".
On pourra, comme vérification, chercher le centre du cercle en élevant des perpendiculaires par le milieu de deux quelconques des côtés du polygogne c"-6'''-a'^
940. Quand t)n fait mouvoir la tangente a-1, a'- 1' pour engendrer la surface héliçoïde, chaque point de la génératrice décrit une hélice qui a le même pas que Tarête de rebroussemenl ; toutes ces hélices se projettent sur le plan horizontal par des cercles' concentriques tels que \zx,hrv, et Ton pourra facilement en déduire les projections verticales.
941. Les portions de génératrices comprises entre chacune de ces hélices et celle qui forme Tarête de rebroussement de la surface étant égales, il en résulte que dans le développement, fig. 456, toutes les hélices de la surface seront encore représentées^par des circonférences qui auraient leurs centres au point o.
Ainsi, l'arc de cercle {"z"x" sera le développement de l'hélice \zx engendrée par le point 1, et l'arc de cercle 5Vî;'' sera le développement de l'hélice Sru engendrée paç le point 5.
De sorte que laflg. 5WV^ est le développement de la partie de surface comprise entre les deux hélices zxfirv et les deux génératrices j25,x?\
942. Si le centre et l'arête de rebroussement étaient .en lehors de Tépure, on déterminerait avec beaucoup de soin les véritables grandeurs des côtés z^^tfi^U et de la diagonale z^H, ce qui, avec les côtés ti^z^^b^^ qui sont égaux à x'v'y flg. 455, suffirait pour construire le quadrilatère z^^^^ui. '
Quatre quadrilatères égaux placés à côtelés uns des autres formeraient alors le développement de la portion de zone
943. Plan tangent. Si Ton conçoit deux génératrices infiniment rapprochées, l'espace angulaire compris entre cesdeux lignes pourra être considéré comme plan puisqu'il contient deux droites qui se coupent.
Cet espace , prolongé devient un plan tangent à là surface développable, et les deux génératrices qui déterminent la direction de ce plan, étant infiniment rapprochées, peuvent lètre considérées comme une ligne double (452) qui est alors la génératrice de tangence.
Il résulte de là que le plan tangent à une surface développabk touche cette surface suivant toute la longueur de la génératrice de tangence.
Cette remarque est conforme à ce que nousavoi\s dit à Toccasion des plans tangents aux surfaces cylindriques et coniques.
944. La génératrice de tangence ^tant considérée comme double et provenant de la position infiniment rapprochée de deux droites qui se coupent, détermine la position du plan tangent, mais ne suffit pas pour en construire les traces.
Il faudra, dans ce cas, choisir une courbe quelconque, située sur la surface, et construire la droite qui loucherait cette courbeau point où elle coupe la génératrice de tangence. Ainsi, par exemple, pour obtenir le plan qui toucherait la surface AA', flg. 452, suivant la génératrice ze, on déterminera la courbe aem située sur la surface et provenant si . Ton veut de son intersection par un plan ou par toute autre surface.
On tracera la droite t/i, qui touche la courbe au point e, suivant lequel cette ligne est rencontrée par la génératrice de tangence.
Enfin, on construira les traces du plan qui contiendrait les deux droites ze, th.
11 ne restera plus dans chaque cas particulier qu'à choisir la courbe aern^ de manière que la construction de la seconde tangence th soit la plus exacte et la plus simple possible.
Toutes ces questions ont été résolues dans le second livre pour les surfaces cylindriques et coniques ; nous allons en faire Tapplication à la surface proposée.
945. La courbe 1-5-8, ûg. 455, étant la trace horizontale de la surface donnée, la droite //-8, perpendiculaire sur le rayon de courbure du point 8, sera la trace horizontale du plan tangent.
Cette trace sera représentée dans le développement par la dFoite /i''-8'', perpendiculaire au rayon de courbure 8'^''-8".
La droite hr, perpendiculaire au rayon qr, flg. 45*5, sera la trace horizontale d'un plan tangent au cylindre vertical projetant lie Thélix^e brv.
Les droites hrJiW seront par conséquent les deux projections de la tangente à Thélice Sru, 5Vv' (787).
Cette tangente sera représentée dans le développement, flg. 456, par Ja droite AV, tangente à la circonférence 5''rV. Enfin, on pourra s'assurer comme vérification que h"'W', flg. 456, est égal à /î-8, flg. 455, et que h"r" est la véritable grandeur de la tangente hr^ h'r', .
