Hyperboloîde à une nappe. Lorsqu'une surface

réglée a pour directrices trois lignes droites^ elle prend le nom A' hyperboloîde aune nappe.

Si l'une des directrices était remplacée par un plan directeur, la surface serait un parapoloïde hyperbolique.

Les dénominations précédentes proviennent de la nature des sections que l'on obtient en coupant ces deux surfaces par des plans.

947. Les-troisdroites AA', BB', CC, fig. 457, pi. 92, étant les directrices de la surface, supposons que l'on veuille obtenir une génératrice passant par le point m, m\ on construira, le plan pp qui contient ce point et la directrice BB' ; puis on déterminera l'intersection nn' de ce plan avec la directrice CC La droite mn^ m^n' sera la génératrice demandée.

Le plan pp remplace ici le cône auxiliaire dont nous avons parlé au n° 924. Ce plan sera déterminé par la directrice BB' et par une seconde droite mu.m'u' qui joindrait un point quelconque uu' d£ cette directrice avec le point donné mm'.

La trace verticale du plan p doit passer par les deux points

o' pt 5', et la trace horizontale doit èlre parallèle à la projection horizontale de la droite mu^ m'u', que, Ton a choisie dans ce but, parallèle au plan horizontal de projection, . mais qui cependant pourrait être prise dans toute autre direction.

On s'assurera que la pfénératrice nni^ 97î'>î' rencontre la directrice BB' (59).

948. Il n'est presque jamais commode de construire sur l'épure les traces du plan auxiliaire pp. Dans ce cas, on pourra -opérer de la manière suivante :

• On prendra, flg. 458, sur la directrice BB' deux points quelconques uu\ vi^.

On joindra ces points avec ?/n?i'par les deux droites {mu, m'u') [my, m'v') qui détermineront le plan auxiliaire.

Les deux droites oo\ ss'^ perpendiculaires à la ligne AZ, feront connaître les points o' et 6^ Enfin, la droite oV qui joint ces^deux points sera l'intei'section du plan projetant de la directrice CC avec, le plan diS deux droites (/?iw, m'î^'} (mv, m'v').

Cette dernière opération terminera le point nn\ suivant lequel la génératrice [mn, m'i^) s'appuie sur la directrice €C'(924).

949. Le plan auxiliaire qui contient le point mm' et la directrice BB' serait déterminé complètement par cette directrice et par l'une des droites [mu, m'u') {mv, m'v'). Il semblerait donc que Tune de ces lignes est inutile; mais alors, pour construire la droite oY, il faudrait prolonger la directrice BB' jusqu'à sa rencontre avec le plan projetant delà troisième directrice CC, ce qui serait souvent impossible, al dans tous les cas moins commode que la construction précédente, lîuisque l'on peut toujours choisir les deux points uw et vv' de la manière qui convient le mieux à la disposition de l'épure.

950. Paraboloïde hyperbolique. Soient données les. deux directrices A A', BB' et le plan directeur PP : pour obte-v nir la génératrice qui coupe la directrice AA' au point mm', on construira :

1** Les deux traces du plan P'P', qui contient le point donpé m, m\ et qui est parallèle au plan directeur PP (93) ;

2'* LesMeux projections net n'de l'intersection du plan P'P'' avec la deuxième directrice BB' du paraboloïde ;

3* Les deux projections mn, m'n' de la génératrice demandée. .

951. Au lieu de construire les traces du plan directeur, on préfère presque toujours déterminer la. direction de ce plan par la condition qu'il soit parallèle à deux droites données.

Supposons, par exemple, que les droites AA', BB', flg. 460, sont les deux directrices d'un paraboloïde hyperbolique, dont le plan directeur serait parallèle aux deux droites XX' et W ; on veut construire la génératrice qui contient le point m, m\ pris à volonté sur la directrice AA' ; on tracera par le point mm' :

1 • La droite mx, m'x' parallèle à XX' ;

2^ La droite mz, m*z' parallèle à ZZ'.

Le plan des denx droites (//va;, m'rr') [mz^ ?î/5') sera parallèle au plan directeur, et contiendra par conséquent la génératrice demandée.

Pour obtenir le point suintant lequel cette génératrice s'appuie sur la seconde directrice B, B', on concevra le plan vertical projetant de cette dernière ligne.

L'intersection de ce plan avec celui des lignes [mx^ m'x') {mz, m'z') sera la droite œ'z\ et le point nii', suivant lequel cette ligne rencontre la directrice BB', détermine la génératrice mn, m'n'.

952. 11 ne faut pas négliger les abréviations qui peuN'ent résulter du choix des plans de projection. Ainsi, par exemple, s'il s'agit d'un hyperboloïde à une nappe, on devra,, toutes les fois que la disposition de l'épuré Iç permettra, projeter la surface sur un plan perpendiculaire à l'une de ses trois directrices (925).

Supposons, flg. 461, pi. 93, que l'une des directrices soit la droite BB',. perpendiculaire au plan horizontal, et que les deux autres directrices soient les droites AA' CC ; les projections horizontales des génératrices concourront toutes au

points, et par conséquent leur construction ne présentera aucune difficulté. Ainsi, après avoir construit la projection horizontale ^B de Tune des génératrices, on élèvera les perpendiculaires 55' ww', jusqu'à cequ^elles rencpntrent les projections verticales des directrices AA', CC, et l'on, aura la droite s'u'. pour projection verticale de la génératrice.

La courbe zo'x' est la trace verticale de la surface ; vz et B7 en sont les traces horizont^iles ; ces courbes sont des arcs d'hyperbole. .

953. S'il s'agit d'un paraboloïde, on devra, autant que possible, prendre un plan de projection perpendiculaire au plan directeur. Ainsi :

Les droites AA^ CC, flg. 462, étant prises pour directrices d'un paraboloïde hyperbolique, on agira comme nous l'avons fait (928) pour le cas où les directrices étaient courbes.

La trace verticale de la surface est la droite z^x', et les deux arcs d'hyperbole vx^, nk, en sont les traces horizontales.

954. Dans le paraboloïde projeté, flg. 463, le plan directeur p étant perpendiculaire ^ plan vertical de projection, toutes les projections verticales des génératrices seront parallèles entre elles et à la trace verticale du plan directeur. Les courbes zxy vn sont les traces de la surface.

955. Sur la figure 464, le plan directeur étant perpendiculaire aux deux plans de projection, les projections des génératrices seront perpendiculaires à la ligne AZ.

Si l'on veut construire les traces de la surface, il faudra projeter d'abord les directrices et ensuite les génératrices sur le plan directeur qui e^t rabattu à droite de l'épure.

956. Sur la figure 465, le plan directeur est parallèle à la ligne AZ. Dans ce cas, .on emploiera un plan auxiliaire de projection p' perpendiculaire au plan directeur.

Les droites A'' et B'^ seront les projections des directrices sur le plan auxiliaire p\ la projection îi'u'' d'une génératrice

sera parallèle à la droite pq, qui est la trace du «plan directeur.

957. La raême disposition d'épuré peut être appliquée au €as où le plan directeur p aurait une inclinaison quelconque. Ainsi, par exemple, flg. 466, on pourra toujours employer un plan auxiliaire de projection p' perpendiculaire à l'une des traces du plan directeur, et par conséquent perpendiculaire à ce plan.

Les droites A'^ et B'' seront les projections des directrices sur le plan auxiliaire p', et les projections des génératrices seront parallèles à la droite pq, qui est l'intersection du plan directeur p avec le plan auxiliaire de projection ;/.

958. Les sections de Thyperboloïde à line nappe et du paraboloïde hyperbolique par des plans sont des courbes du second degré dont Tespèce dépend de la direction des plans, coupants.

959. Ces propositions n'ayant qu'un rapport indirect avec le but de c^t ouvrage, j'engagerai le lecteur à les étudier dans les traités ù" Algèbre appliquée, }\dX% parmi les proprit^tés des deux surfaces qui jious occupent, il en est une qui se rattache si intimement avec les, questions que nous aurons à résoudre par la suite, que je crois devoir en donner ici la démonstration..

960. Double génération. L'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique diffèrent des autres surfaces réglées par cette propriété remarquable, quelles peuvent être engendrées par une ligne droite de deux manières diffcréntes.

961. Double génération de Vhypetboloïde à une nappe. Soient AB,CD,EF, flg. 467, pi. 94, les trois directrices d'un hyperboloïde à une nappe , AE, GH, BF étant trois positions de la génératrice de cette surface. Je dis que si l'on prend ces trois dernières lignes pour directrices d'un second hyperboloïde, ces deux surfaces y coïncideront dans toute leur étendue et n'en feront par conséquent qu'une seule.

Cela revient à prouver qu'une droite quelconque mnqui s'appuierait sur les trois premières directrices couperait toujours une droite quelconque pq qui s'appuierait sur les trois autres. Alors il sera démontré que toutes les- génératrices de la première 'surface coupent toutes les génératrices de la seconde, et que, par conséquent, les deux surfaces se confondent.

Ce principe est la conséquence de quelques théorèmes dont nous allons donner la démonstration.

962. Si une transversale coupe les trois côtés d'un triangle ou leur prolongement, le produit des trois segments discontinus, cest'à-dire qui n* ont pas d'extrémité commune, est égal au produit des trois autres segments pareillement discontinus,

' Soient, flg. 468, le triangle ABC et la transversale PQS, formant par ses intersections avec les côtés les six segments PA, PB, aA, QC, SB, se.

Menons CO parallèle à AB ; (jn aura