Propriétés du paraboloïde hyperbolique. Oq

démontre en géoraélrie que les parties de deux droites comprises entre des plans parallèles sont proportionnelles entre elles.

Soient, flg. 471, les deux lignes AB, CD, coupées par lé& plans P, P', P^ parallèles entre eux. On aura

km : mB = Cn : nD.

Or les positions diverses, de la génératrice d'un paraboloïde hyperbolique étant déterminées par des plans parallèles au plan directeur (950),. on peut dire en général que :

Lès directrices d'un paraboloïde hyperbolique sont coupées par les génératrices en parties proportionnelles,

967. Réciproquement, si deux droites sont coupées par trois autres en parties proportionnelles^ ces trois dernières lignes seront parallèles à un même plan.

Supposons, 471, que l'on ait

Am : mB = Cn : nD.

Si les droites AC, mn^ BD n'étaient pas parallèles à un même plan, concevons une ligne mo, située dans un plan parallèle en même temps aux droites AB, BD ; on aurait

Xm : mB = Co : oD-;

mais à cause du rapport commun, il viendrait

Cn : nD = Co : oD ;

d'où

Cn : Co = nD : oD ;

résultat absurde, d'où il résulte que les trois droites BD, mn, AC sont parallèles à un même plan.