On peut conclure de ce qui précède, que : Si una
droite s'appuie sur deux autres en la coupant toujours en parties proportionnelles^ la surface engendrée sera un para-
boloïde hyperbolique,
969. Si Ion prend pour directrices d'une surface réglée trois droites parallèles à un même plan, cette surface sera . un par aboloïde hyperbolique.
Soient prises pour directrices, fig. 472, les trois droites- AC, wn, BD, parallèles au plan P, et supposons que AB, zx, CD, soient trois positions de la gc^nératrice.
Les droites BD, mn et AG étant parallèles à un même plan, couperont les deux lignes AB, CD, en parties proportionnelles (966) ; de sorte que l'on aura
km : w,B = Cn : n\S \ d'où Ton lire
m&xÇin = km xn\).
Déplus, la génératrice sr, s'appuyant sur les trois droites; BD, mn*, AC, coupera la seconde en o, ce qui donnera (852)
AmxBTXD/7xC3=mBxTDxnCX3A .
Multipliant cette équation par la précédente, il vient
^TxÇ,z=x\)xzk,
où
Ba? : xb—kz : zC.
Donc la génératrice zx coupera toujours les directrices BD, AC^ en parties proportionnelles, et par conséquent (968) la surface engendrée sera un parabolloïde hyperbolique, ayant un plan directeur P' parallèle aux droites AB, CD.
On pourra donc supprimer l'une des trois directrices BD^ mn, AG, etla remplacer par le plan directeur P^.
970. Double génération du paraboloïde hyperbolique. Soit un paraboloïde hyperbolique" ayant pour directrices les deux" droites AB, CD, m^n^ et pour plan directeur le plan P.
Les géûératrices BD, mn, AC, couperont les directrices AB, CD en parties proportionnelles, et Ton aura
B)i : mk^Dn : nC, d'où
BmxnC=mAxDn. - (1)
Concevons. actuellement un second paraboloïde hyperbolique qui aurait pour directrices les deux droites AC, BD, et dont le plan directeur serait P', par'allèle aux droites AB, CD, qui par conséquent seront.deux positions de la génératrice.
Si nous supposons que zœ soit une troisième génératrice de ce deuxième paraboloïde, on aura (966), '
As : zC=Cx : rrD, d'où
• kzxœd==zCxBx . (2)
Multipliant l'équation (1) par Téquation (2), il viendra
Btn xXzxnCxxï) =mA X zC X Dn X B^ ;
d'où on peut conclure (964) que la génératrice wn, du premier paraboloïde, coupera la génératrice zx du second.
Ce que nous venons de démontrer, étant indépendant des positions particulières des deux génératrices mn et za?, il en résulte que toutes les génératrices du premier paraboloïde rencontreront toutes les génératriees du second, et que par conséquent les deux surfaces coïncideront dans tous leurs points et nen feront qu'une seule, ce qu'il fallait démontrer.
971. 11 est très-essentiel de remarquer que lorsqu'on prend pour directrices les droites AB, CD, Je plan directeur P est parallèle aux génératrices BD, AC ; tandis que si Ton prenait ces dernières lignes pour directrices, le plan directeur P' serait parallèle aux droites AB, CD, qui alors seraient deux génératrices de la deuxième surface. ,
En général, le plan directeur de la première génération est parallèle aux deux génératrices de la seconde, et réciproquement, le plan directeur de la seconde génération est parallèle aux directrices de la première.
fil* 95.
BÉGLÉBS.
972. FliuMi tttnsents. Construire un plan tangent en un point donné sur la surfœe d'un hyperMoMe ^ une nappe.
La surface de rhyperbololde pouvant être engendrée par une droite de deux manières différentes, si Ton fait passer par le point donné les génératrices appartenant à chacun de ces deux systèmes de génération^ on aura deux droites situées dans là surface, et qui détermineront le plan tangent (780).
Soient, ûg. 473, pi. 95, AA', BB', CC, les trois directrices d'un hyperboloïde à une nappe, et le point mm' donné sur ^'une des génératrices mX, m'X' : cette droite pouvant être considérée comme une première tangente, il ne reste plus qu'à en obtenir une seconde. Pour y parvenir, on construira (947) deux autres génératrices YY',ZZ', et prenant les trois droites XX', YY', ZZ', pour directrices de la seconde génération, on construira la génératrice Tm, Tm\ qui, avec mX, m'X', déterminera le plan tangent, v
973. Si Ton peut projeter la surface sur un plan perpendiculaire à l'une de'ces directrices AA', ûg. 475, cela simplifiera la construction des. génératrices XX', YY', ZZ', et les opéjations indiquées au n» 947 ne deviendront nécessaires que pour obtenir la seconde tangente. Tm, T'm'.
974. Construire un planib tangent en un point donné sur la surface d'un paraboloïde hyperbolique.
Supposons que les droites AA' et Bfi', flg. 474, soient les deux directrices d*un paraboloïde hyperbolique dont le plan directeur serait parallèle aux deux droites VV' et UD'.
La génératrice XX' étant la première tangente, il s'agit ' d'obtenir la seconde tangente TT'.
Pour y parvenir, on construira d'abord (951) une seconde gâiératrice YY', puis les droites XX', YY^ étant prises pour directrices de la seconde génération, on construira les droites {ma, m'a') (m6, m'6'), parallèles aux deux premières directrices AA', BB', et le plan déterminé par ces droites, étant l«i«llèle à la seconde génération (971), contiendra la g^énéra-
trice mT, mT que nous prendrons poui^ deuxième tang^te, et qui avec tnX, m'U dét^minera le pian tangent.
976. Sur la figure 476, la première génération du parabololde est parallèle au plan vertical de projection, ce qui facilite la construction des génératrices XX' et ÏY^ Pour obtenir la seconde tangente mT, mT' on opérera comme au no 974.
Sur la figure 477, le plan directeur est perpendiculaire au plan vertical de projection, et sur la figure 478, il est parallèle à la ligne AZ.
976. Construire un plan, tangent à une surface réglée quelconque, en un point pris sur cette surface.
Soient/flg. 479, pi. 96, A, B, C les trois directrices d'une surface réglée ; on veut construire un plan tangent par un point m donné sur cette surface.
La génératrice mX qui contient le point donné pouvant être prise pour une première tangente, il ne reste plus qu'à en construire une seconde. Pour cela, on pburrait couper la surface donnée dans une direction quelconque par un pian quî contiendrait le point m, puis mener par ce point une tangente à la courbe de section (779) ; mais ce moyen, suflBsant dans un grand nombre de cas, n'est susceptible d'une exactitude rigoureuse que lorsque la courbe provenant de la section est telle que Ton puisse y mener géométriquement une tangente. Lorsque cela n'aura pas lieu, et que la ques-. tion proposée exigera une grande exactitude, on cherchera s'il existe dans la longueur de la génératrice, qui contient le point donné, trois points par lesquels on puisse, mener des tangentes à la surface, et après avoir construit ces tangentes D, E, F, on les prendra pour directrices d'un hyperboloïde à une nappe qui touchera la surface^ donnée dans toute la Ion-* gueur de la génératrice mX ; de sorte que les deux surfaces se touchant, tout plau' tangent à l'une d'elles sera aussi tangent à l'autre. La question ne consistera donc plus qu'à construire un plan tangent à l'hyperboloïde, ce que nous savons faire (972).
Ainsi, par exemple, étant donnés, flg. 480, les trois diree?
triées Â, B, G, et le point de tangence m, sitaé sur la gêné* jratrice tnX qui sera la première tangente.
Voici quel sera l'ordre des opérations :
1* Par les points a, b, c, suivant lesquels la droite wX rencontre les courbes A, B, C, on construira les trois tangentes D, E, F qui seront les directrices de Thyperboloïde tangent ; .
2o On construira (947) les deux lignes^ Y et Z, génératrices de cet hyperboloïde, et l'on prendra les trois droites X, Y,' Z pour directrices de la deuxième génération ;
3* On construira la génératrice mT qui s'appuie sur les trois droites X, Y, Z\ de sorte que les deux droites mX et ml détermineront le plan, tangent.
977. On remarquera toutefois que Texactitude rigoureuse du résultat est soumise à cette condition, que Ton pourra mener des tangentes à la surface en trois points diflTérents de la génératrice qui contient le point donné ; mais comme les directrices des surfaces réglées que Ton emploie dans les artli sont presque toujours des courbes définies, on pourra construire les tangentes à ces courbes aux points où elles sont coupées par la génératrice.
978. Supposons, flg. 481, que Ton soit parvenu à construire les trois tangentes D, E, F ; chacune de ces tangentes, combinée avec la génératrice X, déterminera un plaq tangent. Dans chacun de ces plans p, p', p'^ on pourra mener une infinité de tangentes à la surface donnée, et prenant une tangente quelconque dans chacun de ces trois plans, on courra en faire les directrices d'un hyperboloïde tangent^ d'où il résulte qu'il y a une infinité d'hyperboloïdes tan-, gents à la surface donnée^ et que Ton pourra toujours choisir parmi tous ces hyperboloïdes celui qui, par la dispotion de ses directrices, serait le plus commode pour la construction de l'épure.
Si par lés points a, &, c, fig. 481, on mène trois plans parallèles à un plan quelconqne p"'^ ces trois plans seront parallèles entre eux, et couperont les trois plans tangents
4W S0BFACBS jR.. 96.
p, p^ p^ suivant trois droites tangentes à la surface, et qui de plus seront parallèles à un même plan p^^' ; de sorte qu'elles pourront (969) être prises pour directrices d'un parabololde hyperbolique dont la construction est ordinairement plus simple que celle de Thyperbololde. Enfin, le plan directeur p^^^ pouvant être pris d'une manière quelconque,* en pourra construire une* infinité de paraboloïdes tangents^ et Ton choisira le plus favorablement disposé pour les constructions.
979. Tout plan contenant une génératrice quelconque d'u/ne surface réglée est un plan tangent^ quelle que soit du reste sa direction.
En effet, flg. 483, indépendamment de la génératrice acy que Ton peut considérer comme une première tangente, le plan p contiendra encore la droite ^A, tangente à la courbe t>u, suivant laquelle il coupe les autres génératrices de la surface ; il sera dpnc tangent puisqu'il contiendra deux tangentes (779). Ainsi nous devons admettre cette conséquence que, pour construire un plan tangent à une surface r^lée, il suffit de le fairepasser par wne génératrice de, cette sv/rfaoe.
980. Le point de tangence m sera déterminé par l'intersection de cette génératrice avec la courbe vw, Suivant laquelle la surface est coupée par le plan tangent.
Si l'on fait tourner le plan p autour de la génératrice ero, le point de tangence glissera le long de cette ligne, et changera de place pour chaque position différente du plan tangent. Si la surface réglée avait un plan directeur et que le plan tangent lui fût parallèle, le point de tangence serait à l'infini.
981. Il est très-essentiel de bien co^iprendre la différence qui existe entre les plans tangents aux surfaces réglées, selon que ces surfaces $ont développables ou non développables.
Si la surface est gauche, le. plan qui contient une génératrice ne le touche qu'en un point, qui est déterminé par la rencontre de cette génératrice avec la courbe suivant laquelle
PL* 96, AÉGiÔBS* * 489
le plan dont il s'agit coupe toutes les antres génératrices de la surface (980).
Si an contraire la aurbce est développable, le plan tangent est le prolongement de l'espace infiniment petit compris entre deux génératrices consécutives (943), et ces deux lignes inflnhnent rapprochées n'en font qu'une seule qui devient la génératrice de tangence, suivant toute la longueur de laquelle la surface est touchée par le plan tangent.
982. Ainsi, quand une surface est développable et que Ton veut tenir compte de cette propriété, on ne peut faire passer par la génératrice qu'un seul.plan tangent, qui est en mên\e temps le plan osculateur de Tarête de rebroussement, au point où cette courbe est touchée par la génératrice de tangence, et si Ton faisait tourner le plan tangent autour de cette droite, elle cesserait aussitôt d'être une génératrice de tangenfle, pour devenir une génératrice de section ; mais le plan n'en serait pas moins tangent à la surface que Ton considérerait alors comme. un. cas particulier des surfaces gauches, et lé point de tangence serait à TintersecCion de la génératrice autour de laquelle on aurait fait tourner le plan dont il s'agit, avec la courbe suivant laquelle ce plan couperait les autres génératrices de la surface.
983. Enfin, le plan tangent à une surface gauche ne la touche qu'en un point, tandis que le plan tangent à une surface développable la touche dans toute l'étendue de la. génératrice de tangence.
Pour déterminer le premier, il ne suffira pas de connaître la génératrice par laquelle on veut le faire passer, il faudra encore donner le point de tangence ou quelque autre condition, tandis que le plan tangent à la surface développable sera déterminé lorsque Ton connaîtra la génératrice de tan-r gence(944). '
u II résulte des principes précédents que Ton pourra, dans certains cas, considârer comme tangent un. plan qui couperait un cône ou un cylindre suivant une ou plusieurs génératrices.
470 • SOBFACES PL. 96.
En effet, le plan qui contient une génératrice d'un cône coupe toutes les autres au sommet, et ce point peut alors être considéré comme le sommet d'une section hyperbolique dont l'axe transverse serait égal à zéro, d'où il résulte que le plan est tangent, puisqu'il contient une tangente au sommet, et la génératrice que Ton peut toujours considérer comme une seconde tangente.
985. Cette conséquence paraît incompatible avec les principes énoncés au numéro 450, puisqu'alors nous avions admis comme condition de tangence que les deux généra- . trices de section seraient réunies en une seule ; mais la contradiction n'est qu'apparente et disparaît aussitôt que l'on se rappelle la différence que nous venons d'établir (983) entre les plans tangents aux surfaces développables et ceux qui sont tangents aux surfaces gauches. ^
Ainsi, quand on considère le cône comme surface développable, le plan doit toucher la surface dans toute l'étendue de la génératrice de tangence, ' taildis que si l'on considère le cône comme cas particulier de surface réglée, et que Ton fesse abstraction de la -propriété qu'il possède d'être développable, le plan qui contient une génératrice quelconque peut être considéré comme tangent quelle que soit sa direction, et, dans ce cas, le plan n'est tangent qu'au sommet, puisque c'est à ce point que se rencontrent les deux tangentes qui déterminent sa position (984).
986. Gela devient encore évident pour le cône circulaire, en considérant cette surface comme un cas particulier d'hyperbololde de révolution à une nappe. Dans ce cas, le plan conduit suivant une génératrice quelconque contient encore la tangente au sommet (802).
Tout ce que nous venons de .dire du cône s'applique au cylindre. Ainsi, quand on considère cette surface comme un cas particulier des surfaces réglées, il est permis de regarder comme plan tangent celui qui-ccHitient une génératrice quelconque du cylindre ; mais alors, le point de tangence est situé à la rencontre de la génératrice de section avec la courbe sui*
vant laquelle le plan tangent couperait à Vinfini les antres génératrices du cylindre.
Si, au contraire, comme c'est Tusage, on considère le cylindre comme sur&ce développable, le plan tangent touche la surface suivant toute l'étendue de la génératrice de tangence, qui est alors considérée comme provenant da rapprochement des deux génératrices de section.
987 Construire un plan tangent à une surface réglée^ par un point pris en dehors de cetie surface.
On fera passer des plans par le point donné et chacune des génératrices de la surface, ce qui fera autant de plans tangents. ,
Ainsi, par exemple, flg. 482, la droite sn et la génératrice n-1 détermineront un premier plan tangent (979).
On construira la courbe vu suivant laquelle ce plan coupe la surface, et llntersection de la courbe vu avec la génératrice n-1 donnera le point de tangence (980).
On obtiendra de la même manière tous les points de la courba mm'...m'\ suivant laquelle la surface réglée serait touchée par une surface conique qui aurait son sommet au point donné s,
988. Construire un plan tangent à une surface réglée, par une droite donnée hors de cette surface.
Soit la droite donnée ac, flg. 485, on construira (987) la ligne zx^ suivant laquelle la surface réglée serait touchée par une suriface conique ayant son sommet en un point quelconque a sur la droite donnée- On construira pareillement la ligne sr^ provenant du contact par une seconde surface conique ayant son sommet en c, et le point m, intersection des deux courbes zx^ sr, sera le point de tangence. 11 ne restera plus qu'à faire passer un plan par les deux droites am, cm ; il est évident que ce plan contiendra la droite ac.
989. Cette solution est analogue à celle que nous avons employée pour construire, par une droite donnée, des plans tangents à une surface de révolution. Toute la différence
consiste dans là mamère d'obtmir les courbes saiva&t les-* quelles la surface donnée est touchée par les deux cônes auxiliaires.
Au lieu de cônes on peut employer deux surfoces réglées . qui auraient pour directrices la surface et la droite donnée. La troisième directrice étant à volonté, on profiterait de cette circonstance pour, introduire les simplifications qui résulte-* raient de la nature de la surface donnée. ^
Ainsi, par exemple, s'il s'agit de construire par une droite donnée des plans tangents à une surface de révolution, on coupera la surface par des plans perpendiculaires à son axe ; et par le point où chacun de ces plans rencontrera la droite . donnée, on mènera deux tangentes à la section correspondante ; le lieu qui contiendra toutes ces tangentes sera la première surface auxiliaire.
On coupera ensuite la surface donnée par des plans méri diens ; et par le point où chacun de ces plans coupera la droite donnée, on construir|i les tangentes au méridien cor* respondant ; le lieu géométrique de toutes ces tangentes sera la seconde surface auxiliaire. *
Les deux surfaces réglées, déterminées de cette manière, toucheront la surface donnée suivant deux courbes que Vom construira, et les intersections de ces courbes seront les points de tangence demandés.
990. Construire un plan tangent à une surface réglée^ paraltëlement à une droite donnée.
On fera passer, flg. 486, par chacune des génératrices de la surface réglée un plan parallèle à la droite. donnée ac(lOO).
Le point de tangence se déterminera comme nous l'avons dit précédemment (980) ; la courbe de contact mmf.....m'^ contient la suite des points suivant lesquels la surface proposée serait touchée par une surface cylindrique parallèle à la droite donnée.
991. Si cette droite^ était perpendienfoire au plan de projection, la projection de la courbe de contact serait la lînile de la projection de la surface donnée.
PI. 97. BÉGUb». 473
AîBsi, en coBStntisaitt, fly. 4M, une sotte de plans ttmgents perpendiculaires au pian vertical de prqecticHi, les points de tangence seront situés sur une courbe t/mV qm formera la limite de la projection verticale de la surface.
992. SurAstces normales. II est souvent utile de construire une surface qui en coupe partout une autre suivant des angles droits. Or^.si par chaque point d'une courbe située sur la surface donnée, on construit une normale, le lieu qui contiendra toutes ces droites jouira de la propriété demandée.
Toute surface engendrée de cette manière se nomme «tir* face normale.
993. Étant donnée la ligne suivant laquelle on veut faire passer une surface normale, il est évideilt qu'il suffira de construire par chacun de ses points un plan tangent et une normale à la surface ; or, cette question ayant été résolue pour toutes les surfaces que nous avions étudiées jusqu'à présent, il ne reste plus qu'à rechercher quelles sont les simpliûcations qui peuvent résulter dans chaque cas de la nature particulière de la surface donnée, ou de la position de cette surface par rapport aux plans de projection.
994. Construire la swface normale qui aurait pour directrice tme courbe située sur la surface d'wn cylindre.
La droite 2-3, flg. 488, pi. 97, tangente à la trace hori^ zontale du cylindre donné, sera la trace horizontale d'un plan tangent (508) ; de sorte que la droite 1-4, perpendiculaire sûr 2-3, sera la projection horizontale de la normale.
On opérera de la môme manière pour chacun des points delà courbe donnée 1-1, V-V..
995. On pourra se dispenser de construire les traces retticales des plans tangents en coupant chacun d'eux par un plan parallèle au plan vertical de projection, et contenant le point de tangence. On obtiendra ainsi un système de lignes parallèles aux traces verticales des plans tangents, et par
con3équent perpendiculaires aux projections verticales des normales dont la construction ne présentera plus alors aucune difficulté.
Ainsi, la projection verticale 1^-4' de la normale devra être perpendiculaire sur la droite l'-3', etc.
Les droites 1-3, V^y peuvent être considérées comme les génératrices d'une surface réglée qui toucherait le cylindre suivant la courbe (1-1 y IMO, et qui aurait pour trace horizontale la courbe 3-3.
996. On peut encore obtenir les projections des normales en opérant de la manière suivante :
!• On construira, figr. 402, les deux projections l"-2", j///.2>'/' d'une droite, parallèle à la direction du cylindre donné ;
2"* On déterminera les traces de cette ligne, et Ton construira leS|droites 2'^-3'^ parafllèles aux traces horizontales 2-3 des plans tangents au cylindre. Les droites l'^'-3'' seront par conséquent parallèles aux traces verticales des mêmes plans tangents.
Il ne restera plus qu'à tracer, flg. 488, les normales ^-4^ perpendiculaires sur les droites l^^'-3^, fig. 492.
997. Si Ton voulait donner à chacune des normales une longueur déterminée telle que 1-4'', fig. 488, on porterait cette grandeur sur la normale rabattue i-b^' que Ton ferait ensuite revenir à sa place.
Cette partie de Topération n*a été conservée que pour une normale.
998. La normale en un point quelconque d'une surface donnée est toujours perpendiculaire au plan tangent, et par consé(]fuent à toutes les droites qui sont situées dans ce plan et qui passent par le point de tangence,
H en résulte que les normales d*un cylindre sont toljfiours perpaidic^laires aux génératrices, el par conséquent parallèles au pka de la section droite, qui devient alprs le pian directeur de la surface normale.
FI. 98., BÉ6LÉES. 475
Cette remarque fournit un moyen d'abréviation que nous allons indiquer.
Toutes les fois que la disposition générale de l'épure ne s'y opposera pas, on devra projeter le cylindre sur un plan perpendiculaire à sa direction. Par ce moyen chaque normale sera projetée dans sa véritable grandeur^ et Ton ne sera plus obligé d'en faire le rabattement.
Ce moyen de solution a été employé sur la figure 487 pour la construction de la surface qui aurait pour directrice la courbe ac, a'o'^ située sur la surface d'un cylindre ellip* tique.
Les projections verticales des normales sont perpendiculaires aux traces des plans tangents correspondants. Chacune de ces traces (1-2) a été obtenue par le principe que nous avons énoncé au n» 369. *
La courbe vu^ i^V.est l'intersection de la surface normale avec un second cylindre elliptique semblable au premier. Si Tune des génératrices du cylindre devait servir de directrice à la surface normale, cette dernière surface serait un plan.
999. Construire la surface normale qui aurait pour directrice une courbe 1-1, i'-i', située sur la surface d'un cône^ fig. 490.
La droite (2-3), tangente à la tracé horizontale du cône, sera la trace horizontale d'un plan tangent ; par conséquent {1-4), perpendiculaire sur (2-3), sera la projection horizontale jSlq la normale, et ainsi de suite pour tous les autres points.
1000. On pourra obtenir les projections verticales des normales en opérant comme dans Texemple du n*" 995 ; mais, si l'on a de la place, il vaudra mieux construire par le sommet du cône un plan s-y parallèle au plan vertical de projection. Ce plan coupera tous les plans tangents, suivant un système de lignes ^-3'"^' parallèles à leurs traces verticales, et par conséquent perpendiculaires aux projecticms verticales des n<H^ maies qu'il sera facile de construire.
En rabattant la normale 1-5, 1^-5' autour de la verticide rprojetanteldu point 1, l^ on> pourra lui donner une longueur déterminée telle que l'-4''.
476 S4JAFAGE8 Pli. 98L
La surface n(»iiiale deviefnt un plan lorsqu*dle a pour directrice Tune des génératrices du cône,
±001. Construire la surface normale qui aurait pour directrice une courbe telle que iA^sOvée sur une stirface de révolution^ fïig. 489.
Il suffit de construire une normale par chacun des points de la courbe donnée (832).
Je rappellerai (833) que pour construire la normale en uo point quelconque d'une surface de révolution^ il n*est pa» nécessaire d'avoir les tracés du plan^tangent.
En effet, le point 1, par exemple, étmt rabattu en V dans le plan du méridien principal, on construira la tangente l'-2, puis ensuite la normale 1^-3' que Ton ramènera dans la position 1-3, en remarquant que le point o qui appartient à Taxe de rabattement ne doit pas changer de place.
Dans l'exemple proposé, la surface normale est limitée par la courbe suivant laquelle elfe rencontre une seconde surface de révolution qui aurait pour section méridienne la ligne 3'-4'.
1002. Si Tangle suivant lequel la normale rencontre Taxe différait peu d'un angle droit, il serait convenable de construire la. projection sur le plan perpendiculaire à l'axe de la surface. Sans cette précaution, les longueurs des normales ne seraient pas déterminées avec asse^ d'exactitude.
Il est évident que la solution précédente conviendrait également à la sphère, îLg. 491, ainsi qu'au cylindre ou au cdne circulaire, flg. 493, qui sont des cas particuliers de surfaces de révolution. . ^
1003. La surface normale d'une sur&ce de révolutioa est im cdne circulaire, toutes les fois que la directrice est un paralfèle de la surface ; et lorsque la directrioe est un méri«^ dien, la surface normale devient un planw
Les surfaces normales de la sphère sont toujours des cAnes et deviennent des plans lorsque la directrice est nn grand cercle.
9t. 98. tkÈmÉE». 477
lOM. Construire la surface normale qui aurait pour âireotnce une ligne quelconque située sur une mrface réglée.
SI la directrice de la surface Dormaie demandée est ime courbe, on construira par chacun de ses points un plan tangent et une normale (976), ce qui ne présentera pa^ d'autres diflflicultéç que la longueur du travail.
i005. Quand la directrice est une ligne droite, ce qui irrire presque toujours dans les applications, on peut obte* air des abréviations remarquables en ayant égard aux propriétés de i'hyperbolollde à une nappe et du paraboioïde hyperbolique.
Nous s^ons étudier qudques questions de ce genre.
l<oa6. Pren4His pour exemple, flg. 494, pi. 98, la surface réglée que nous avions projetée au n"" 925, nous proposerons de construire la sur&ce normale qui aurait pour directrice la droite &X, B^X^ génératrice de la surface.
Si nous construisons les deux tangentes ts^ Vs' et Z2, Vz'^ ces droites, avec la directrice Bfi^, qu- il est permis de considérer comme une tangente, seront les directrices d'un hyperboloïde à une nappe qui toucherait la surface donnée suivant toute la longueur de.la génératrice 2^X, fi'X^
Il ne restera donc plus qu'à construire, par chaque point de cette dernière ligne, un plan tangent et une normale i l'hyperboloïde qui aurait pour directrices les ,trois droites {pf tfsT^y (fe, l'z')y (B, W)\ ce travail, qui serait fort long, peut être simplifié en opérant de la manière suivante :
Nous avons dit au n* 978 qu'il existait une infinité d'hyperbololdes à une nappe et de paraboloïdes hyperboliques tangents à une surface réglée, suivant toute la longueur d'une même génératrice ;~et comme les plans tangents et les normales seront les mêmes pour toutes ces surfaces, nous pourrons choisir celle qui donnera Heu aux ofpérations les plus simples.
Or, la directrice BB' et la générati'ice 6X, B'X^ pojuvant être considérées toutes les deux comme tangentes à la surface, le plan v'W^ qui contient ces deux lignes sera lui-même un
478 sumos PL. 98*
plan tsmgent, et le point b sera la projection horizontale du 'point de taogence ; toute ligne droite passant par le point bB' et située dans le plan t;'B'B sera par conséquent une tangente à la surface donnée.
Donc, si nous faisons passer par b un plan p\ parallèle au plan vertical de projection, la droite {bv^ BV) résultant de l'intersection du plan t;^B^B par le plan j/ sera tangente à la surface, puisqu'elle sera située dans le plan tangent t;^B'B ; de plus, elle sera parallèle au plan vertical de projection, puisqu'elle sera située dans le plan ;>'. Nous pourrons alors remplacer l'hyperboloïde qui avait pour directrices les trois tangentes {ts, «V), (te, /V), (B, B') par un autre hyperboloïde dont les tangentes [ts^ i's') (te, Vz') (6v, Wv') seront les directrices, et celte dernière surface sera un paraboloïde hyperbolique, puisque ces trois directrices sont parallèles au plan vertical de projection (969), qui devient par consé* quent le plan directeur de l'une des deux générations.
Lajquestion proposée est donc ramenée, par suite des opérations précédentes, à construire par la droite (frX, B'X^) une surface normale au paraboloïde hyperbolique, qui a pour l'un de ses deux plans directeurs le plan vertical de projection et pour directrices les trois droites (te, i's') (te, /V), (6u, BV), tangentes à la surface donnée.
Voici quel sera l'ordre des opérations :
Les trois droites (te, tV), (te, iV,) (6t;, BV) étant les premières directrices, et la droite b\, B'X' étant une des génératrices de la surface, il faudra construire une autre génératrice afin d'avoir les directrices de la seconde génération. Pour arriver à ce résultat, on construira par le point ss', pris sur la directrice te, tV, et par la seconde directrice te, 7V, un plan dont la trace horizontale sera $o^ et qui coupera* le plan vertical contenant la troisième directrice ôv, BV suivant la droite o'ai parallèle à Vz'\ de sorte que le point wu' appartiendra à la génératrice su^ ^V, qui provient du premier mode de génération. Ainsi donc, les deux droites (6X,, B'X') (5u, s'u') seront les directrices de la seconde génération qui, devant se faire parallèlement au plan vertical (971), ne présentera plus aucune difficulté.
Ni. 98. RÉ6LÉES. 479
On a tracé sur l'épure les génératrices du parabololde tangent ; chacune d'elles est tangente à la surface proposée en un point de la droite (^X, BT); de sorte qu'à ce point le plan tangent sera déterminé par la droite (&X, B'XO et par la génératrice correspondante du paraboloïde.
1007. Pour construire une normale en un point quel* conque mm\ on remarquera d'abord que la droite {m$^ m'sT)^ sera Tune des génératrices du paraboloïde tangent ; par conséquent, le plan tangent au point mm' sera déterminé par les deux tangentes (mô, w'B'), (m^, mY). 11 aura donc bs pour trace horizontale, et la droite mn^ perpendiculaire sur bsj sera la projection horizontale de la normale ; de plus, la tangente (m^, m'sf), parallèle au plan Vertical et située dans le plan tangent, sera parallèle à la trace verticale de ce plan ; de sorte que mV perpendiculaire sur m'sf sera la projection verticale de la normale.
En construisant une normale par chacun des points de la droite ^bX, B'X'), on aura une surface normale suivant cette ligne.
Au lieu de construire les traces horizontales des plans tangents, il peut être commode de couper ces plans par tout autre plan horizontal tel que j/'^ ce qui donnera les droites ^n-1, m^2, m-3. Ces droites parallèles aux traces horizontales des plans tangents, seront par conséquent perpendiculaires aux projections horizontales des normales dont la construction ne présentera plus de difficulté.
Si Ton voulait donner aux normales une longueur déter* minée m-^nf'^ on rabattrait chacune d'elles comme nous l'avons fait aux no» 997 et 1000.
1008. Sur la figure 495, on a construit la surface normale à la surface réglée que nous avions projetée au n» 926.
Tout ce que nous avons dit daus Farticle qui précède s'applique à l'exemple dont il s'agit, qu'il n'y «a^de différence que dans la nature et dans la position des lignes données ; de sorte que les opérations seront suffisamment indiquées par la similitude des lettres.
480 '■ suvAdtt PL. M.
Les projections horizontales des normales devront 6tre perpendiculaires aux droites m-l, m-2, tn-S, m-4, tn-5, etc., suivant lesquels les plans tangents sont coupés par le ptaa ' horixoBtal f".
. 1009. On peut souvent, en choisissant d'une manière convenable le plan directeur du paraboloïde tangent, rendre les constructions aussi simples qu'élégantes.
Soient, par exemple, flg. 496, Tare AÀ^ et la verticale BB' directrices d'une surface conoïde^ ayant le plan horizon» tal pour plan directeur (929).
On veut construire une surfoce normale suivant la générar
trice(X,X').
La droite tt'^ , tangente au point aa^ pourrait, avec la
verticale BB^ être prise pour directrice d'un paraboloïde tangent, dont par conséquent la seconde génération % ferait parallèlement au plao vertical (971) ; mais il sera mieux d'opérer comme il suit :
On construira par les deux droites XX' {W) un plan tangent dont la trace horizontale ps sera parallèle à X, puis on mènera perpendiculairement sur X la tangente (au, aV), que l'on prendra avec la verticale BB^ pour les deux directrices d'un paraboloïde hyperboUque dont la seconde génération sara perpendiculaire à la droite XX' ; de sorte qu'en projetant ce paraboloïde sûr son plan directeur p'\ que Ton a^rabattu sur répure, la directrice X, X' sera projetée par un seul point^'', par lesquels passeront toutes les projections des tangentes et des normales. Les projections des normales seront perpendiculaûres à celles des tangentes, et leurs projections horizon* taies seront perpendiculaires . à la droite X. La courbe zx est la section de la surface normale par le plan p''^ parallèle au pian horizontal.
Après avoir exécuté les constructions précédentes, il sera facile d'en rapporter les résultats sur la projection verticale primitive.
ILOIO. La surface normale que nous venons de constmicB est un paraboloïde hyperbolique égal au parabcdolde tan-
gent ; car si Ton âusait foire à cette dernière surface un quart de révolution autour de la difectrice XX", il est évident que chacune des tangentes viendrait prendre la place de la normale correspondante, et les deux surfaces coïncideraient alors dans tous leurs points.
Il en sera de même toutes les fois que Ton emploiera comme surface auxiliaire up paraboloïde hyperbolique dont le plan directeur sera perpendiculaire à la directrice de la surface normale demandée.
1011. Dans la .figure 497, AA' est une hélice à base circulaire ; cette courbe et ,1a verticale BB' ont servi de directrices à une surface héliçolde dont la génération est parallèle au plan horizontal. On veut construire une surface normale suivant la génératrice XX'.
On construira la droite ao tangente au cercle A, et Ton portera de a en o une longueur égale au développement de Tare ac, ce qui donnera la projection horizontale de la tangente à l'hélice au point aa^ (481).
La tangente [ao^ a'o') et la verticale BB' seront les directrices d'un paraboloïde langent, suivant XX', les horizontales XX' (ow, o'w'), génératrices de ce paraboloïde, seront les directrices de la seconde génération, qui fera parallèlement au plan vertical p' perpendiculaire à la droite XX'.
On opérera pour le reste comme dans l'épure précédente..
La courbe zx est la section de la surface normale par le plan horizontal p.
1012. On voit, par les deux exemples précédents, qu'il est avantageux d'employer de préférence le paraboloïde dont le plan directeur est perpendiculaire à la droite qui doit ser- • vir de directrice à la surface normale, parce que les normales, étant parallèles au plan directeur, seront égales à leurs projections sur ce plan, et qu'ensuite les angles droits que les normales doivent faire avec les tangentes, se projetteront dans leur véritable grandeur.
On pourra parvenir au même résultat par des projections auxiliaires toutes les fois que la directrice de la surface
482 SURFAOfiS PL. W%
normale sera inclinée dans Tespace d'un'e manière qneK conque.
1013. Supposons d'abord le cas pu la directrice XX', fiff. 498 et 500, pi. 99, serait parallèle au ^au vertical de projection.
Les courbes AA', BB', CC étant les trois directrices de la surface 4onnée ;
Par les points mm\ rm\ vv\ suivant lesquels ces courbes sont rencontrées parla droite XX', on construira les trois tangentes DD',EE' FF', qui seront les directrices de l'hyperboloïde tangent.
n s'agit maintenant de remplacer cet hyperboloïde par un paraboloïde hyperbolique dont le plan directeur psp serait perpendiculaire à la droite XX', qui doit servir de directrice à la surface normale demandée. Voici quel sera Tordre des opérations :
Les deux droites XXf DD' déterminent un plan qui touche la surface donnée au point mm\ et qui contient la droite {aCf a*d) parallèle à là directrice XX'.
Le plan p', perpendiculaire sur la droite XX', coupera le plan des deux tangentes XX', Diy suivant une ligne GC qui sera tangente à la surface et parallèle au pian 'ps]p.
Les deux droites XX', EE' détermineront un second plan qui touche la surface' au point nn' et qui contient ta droite oii, du\ parallèljB à la directrice XX'. La section de ce deuxième p|an tangent par un planp" perpendiculaire à la droite XX' donnera une seconde droite HH' tangente au point nn' et parallèle au plan p^j?.
• Enfin, la droite zx^ z'x' parallèle à XX' sera située dans le plan tangent déterminé par les deux droites XX', ^F' et la section de ce plan tangent par le plan p"' perpendiculaire sur XX' donnera une troisième tangente KK' parallèle au plan
Les trois- tangentes GG', HH', KK', étant parallèles au plan psp, la surface réglée qui aura ces trois . droites pour directrice sera un paraboloïde hyperbolique qui touchera la surface donnée dans toute l'étendue de la génératrice XX' ;
PL. d9. RÉGLÉES. 483
dé sorte qu'il ne . reste plus qu'à construire la surface normale qui iiarait cette ligne pour directrice.
Par le point ce', pris à volonté sur la directrice GG', on tracera la droite cr, c'?''qui s'appuie sur un point quelconque rr' sur la directrice HH'
Le plan déterminé par les deux droites HH' et (cr, cV) coupera lé plan p'" suivant la droite U^ VV parallèle à la directrice HH' ; on joindra le point iV avec cd par la droite YY', qui, avec XX' seront les deux directrices de la deuxième génération du paraboloïde tangent (947, 971).
Les génératrices 1-2, l'-2'... de ce paraboloïde étant parallèles au plan directeur p^p, les projections verticales de ces lignes seront perpendiculaires à là droite X'. Les projections horizontales de ces mêmes lignes seront déterminées par la rencontre des droites 2'-2 perpendiculaires à la ligne AZ avec les projections horizontales X et Y des deux directrices du paraboloïde tangent.
On peut vérifier la position de chacune dfe ces lignes en la projetant sur le plan directeur qui est rabattu, fl^. 501.
.Oq remarquera que sur ce plan la directrice XX' se projette par un seul point X", vers lequel, par conséquent, doivent concourir toutes les projections X"-2" des génératrices du paraboloïde tangent.
Quand ces dernières lignes seront projetées sur la figure 601, on construira par le point X" une perpendiculaire sur chacune d'elles, ce qui donnera les projections X'f-3" des génératrices du paraboloïde normal.
Chacune de ces normales étant parallèle au plan directeur p^, sa projection sur la figure 498 devra se confondre avec celle de la tangente correspondante.
De plus, et par la môme raison, toutes ces lignes se projetteront sur la figure 501, dans leur véritable grandeur : de sorte que, si Ton veut donner à chaque normale une longeur égale à X"-3", il suflira de décrire la circonférence 0"-3'O, qui déterminera les extrémités de toutes les normales.
Les points 3"... étant ramenés sur la figure 498, donneront la courbe 3'-3'..- qui sera par conséquent Tintersection de la
surface normale demandée avec un cylindre circulaire, qui serait perpendiculaire au plan psp^ qui aurait pour axe la directrice X, X', IL", et pT)ur section droite la circonférence y-Z".
La projection borizontale 3-3 de la même courbe sera déterminée par la rencontre des perpendiculaires et des parallèles à la ligne ÂZ, menées par les points correspondants des deux figures 498, 501.
1014. Si la droite qui doit servir de directrice à la surface normale demandée était oblique par rapport aux deux plans de projection, on construirait, fig. 499, une projection auxiliaire sur un planp' parallèle à cette directrice.
' 1016. 11 ne sera pas nécessaire de projeter sur le planp' leardirectrices courbes de la surface donnée ; on pourra se eontenter de construire les projections des trois tangentes directrices de Thyperboloïde auxiliaire, après quoi tout le reste du travail se ferait comme dans rexempfe précédent.
1016. Nous appliquerons les principes qui précèdent à une question que Ton rencontre quelquefois dans la construction des escaliers.
Supposons que la droite XX^ fig. 502, 504, pi. 100, soit assujettie à tourner en montant autour de la verticale oo^^ de manière que tous ses points décrivent des hélices de même pas. On pourra toujours considérer troisquelconques de ces hélices comme étant les directrices de la surface réglée engendrée par la droite XX^ Il s'agit de construire la surface normale qui aurait cette droite pour directrice.
Voici quel sera l'ordre des opérations :
p On prendra l'un dès deux plans de projection perpendiculaire à la verticale oo' et le second plan parallèle à la droite XX% puis on projettera (473) sur ces plans les hélions ÂÂ^ BB', ce, décrite par les trois points (m, m'), (n, n'.), (u, v')» pris où l'on voudra sur la droite XX\ Ces hélices seront les directrices de la surface réglée primitive;
2* En opérant comme nous l'avons dit au n"» 481, on con-
struîra lès trois droites DD', EE', FF' tangentes aux hélices AA', BB', ce Ces trois tangentes seront les directrices de rhype;'boloïde tangent et détermineront aux points (m, m'), (n, nO, {v,v') trois plans tangents qui ^ront pour traces horizontales les droites qa, qc, qe ;
3<> Les plans tangents que nous venons d'obteair étant coilpés par trois plans p, p', f/\ perpendiculaires à la droite XX', on aura les trois tangentes 6G', HH', KK' qui, étant parallèles à un même plan seront les directrices du paraboloïde tangent dont le plan directeur p" 5p" sera perpendiculaire sur la droite donnée XX' ;
4*^ Le plan qui contient le point uu' et la directrice Hh', coupera le plan projetant vertical de la directrice KK', suivant {nzj n'z'), parallèle à la droite (wa?, u'a:'), que Ton a prise avec intention parallèle au plan vertical ^X.
L'intersection de la droite (n'z'), avec la directrice K' sera un point z\z, qui, étant joint avec w,u', donnera la droite YY' pour la seconde directrice du paraboloïde tangent ;
5°, Les deux directrices XX', YY' et le plan directeur du paraboïde étant déterminés, le reste des opérations se* fera comme an n© 1013.
On remarquera que les projections verticales XX', YY' des deux directrices du paraboloïde sont parallèles entre elles et jaerpendiculaires au plan directeur p"4p", ce qui aura lieu dans toutes les questions du même genre, quels que soient les bases et le pas des hélices, pourvu que Ton ait adopté la mêm(B disposition d'épuré.
En effet, le paraboloïde tangent est indépendant de la position des points par lesquels on a construit les trois tangentes DD", EE', FF'. Or, si nous supposons que le point mm' soit reculé jusqu'à l'infini sur la génératrice XX', le rayon om^ flg. 504, deviendra parallèle au plan vertical de {Projection, et l'angte que la tangente Diy fait avec le plan horizontal devant diminuer à mesure que le point de tangence m s'éloigne de Taxe, il en résulte qu'au moment où ce point sera reculé jusqu'à Tinfini, le plan tangent correspondant sera perpendiculaire au plan vertical de projection, et la génératrice YY' du paraboloïde devra s'appuyer
486 SURFACES Pic 101.
sur une droite située à tinfini dans le plan projetant X'9'9, qui sera par conséquent le second plan directeur du paraboloïde auxiliaire (927) .
1017. Le lectefpr pourra s'exercer à résoudre la même question pour le cas où Tune des ttois hélices directrices de la surface primitive serait remplacée par la verticale G, G^
flg. 503 et 505.
Si alors la droite donnée XX' était horizontale, on disposerait répure comme au n» 1 011 .
1018. Tout ce que nous venons de dire sur l'emploi d'un hyperbololde ou d'un porabololde tangent ne s'applique, qu'aux surfaces gauches.
En eflet, si la surface proposée était développable, le paraboloïde qui la toucherait suivant une de ses génératrices deviendrait un tangent, et le paraboloïde normal serait un second plan perpendiculaire* au premier.
G'est ce qui a lieu pour les surfaces cylindriques ^ coniques dont les surfaces normales sont des plans toutes les fois qu'elles doivent contenir une génératrice.
1019. Sections planes. Section par un plan perpendiculaire au plan de projection.
La surface étant donnée par ses directrices, on établira sur i'épure un certain nombre de génératrices, et l'on cherchera l'intersection de chacune d'elles par le plan donné. Ainsi, fiff. 507, pi.. 101, la courbe Vu^ est l'intersection de la surface réglée A, A^ par le plan p, perpendiculaire au plan horizontal.
On obtient de la même manière la courbe dx^ provenant de VvntersectUm par u/ne surface cylindrique perpendiculaire au plan vertical.
1020. Intersection par v/ne ligne. Si la ligne donnée aa' est droite, on emploiera comme surface auxiliaire (790) un de ses plans projetants et l'on obtiendra le point mm'.
Si la ligne est courbe, comme cc\ on fera usage de la surface cylindrique projetante.
9t. 01. lutactes. 487
i<K^l. Si Ton dofioait làiHrojeetion m d'un point de la surface AA^ etqn*il'M(it obtenir sa. projection verticale, on construirait dans le voisinage de ce point quelques gjânératrices ; puis coupant la surface par un plan p perpendiculaire au plan horizontal et contenant le "point donné, on construirait la courbe 6V sur laquelle devrait se trouver la projection verticale du point demandé.
Si ensuite par le point mm', ainsi déterminé, on . voulait construire une génératrice de la surface, on agirait comme aux n" 924, 927.
1022. Section par un plan oblique. Il suffit de cberc^her l'intersection du plan donné /), tig. 508, par chacune des génératrices de la surface, ce qui ràaiène la construction à celle du n"" 87. On a fait usage de plans perpendiculaires au plan vertical.
1023. Pénétrations. Intersection d'une surface réglée et d'un cylindre.
On coupera les deux surfaces par des plans parallèles au cylindre et contenant les génératrices de la surface réglée. Ainsi, flg. 509, par un point nn^, pris ou Ton voudra sur la droite aa'^ génératrice de la surface réglée AA', on con* struira une ligne çc' parallèle au cylindre BB' ; les deux droites (Ta', ce', 'détermineront un plan p parallèle au cylindre, et qui le coupera suivant une de ses génératrices i6', et le point uu\ intersection de aa' et de W, appartiendra aux deux surfaces, et fera partie de la courbe d'intersection. On obtiendra par ce moyen autant de pointe qoe Ton voudra.
Cela revient à construire (512) l'int^section du cylindre par chacune des génératrices de la surface r^ée.
1024. hUeftêeùtion d'une mrface réglée avec un cône. Un plan p^ ûg. 6t4, pissant par le aonuiiet du cône et
par la droits àa*, généi:atriee de la aurfiiee réglée, coupera le cône suivant une droite W^ et llntersection jde ^ avec
6&' fera connaître le point wm'î commun aux deux surfaces. Chaque point de la courbe s'obtiendra par une construction semblable.
1025. Intersection d'une surface réglée avec une surface de révolution.
Un pian horizontal p, fig. 511, coupera la surface réglée suivant une courbe aa'' et la surface de révotution suivant le parallèle 66' ; et les deux lignes aa' et 66' se couperont en deux points mm', nn\ appartenant à la courbe d'intersection des deux surfaces.
On agira ee la même manière pour trouver d'autres points de la courbe.
On pourrait dans certaine cas employer avec succès, comme surfaces auxiliaires, des Ci/Kndr^5 circulaires droits j ayant le même axe que la surface de révolution.
' 1026. Intersection de deux surfaces réglées! *
Un plan vertical p, contenant la génératrice aa^, flg. 512^ coupera la seconde surface réglée, suivant une courbe 6c, i'c', facile à construire (1019), et l'intersection de cette courbe avec la droite aa' néterminera un point mm', commun aux deux surfaces.
On recommencera cette construction qui se réduit à chercher l'intersection de la surface réglée BB' par chacune des génératrices de l'autre surface ( 1 020) .
1027. Raccordements. La ligne d'intersection de deux surfaces réglées est en général une courbe à double courbure, flg. 513, pi. 102. Mais dans quelques cas particuliers elle peut être plane.
Les deux surfaces représentées sur la figure 514 se coupent suivant la droite acj par une génératrice commune. . Enfin, les deux surfaces AA' et BB', flg. 516^ se touchent, et par^conséquent se raccordât suivant la génératrice commune ac.
PL. 102. RÉGUfeBS. 489
1028. Deux sarfaces réglées se raccorderont toutes les fois qu'elles seront touchées dans toute l'étendue d'une génératrice commune, par un même hyperbololde, à une nappe, flg. 517, car il est évident qu'un plan tangent à l'hyperboloïde en un point quelconque de la génératrice aCy toucherait également à ce point les deux surfaces  et B, de sorte que ces deux surfaces étant touchées par les mêmes plans, suivant toute l'étendue de la génératrice commune, elles seront tangentes Tune à l'autre, et se raccorderont suivant cette ligne.
1029. En général, flg. 516, si par Prois^ points m, n, v, pris à volonté sur une droite quelconque X, on conçoit trois plans p, p', p'', dirigés comme on voudra dans Vespace ; si ensuite, par chactt^n des trois points m, n, v, on construit
'autant de courbes quç'l'on voudra, tangentes aux plans p, p', p'^, od situées dans ces plans, toutes les surfaces, réglées qui auront pour directrices trois de ces courbes tangentes chacune à l'un des plans p, p', p'^, se toucheront suivant toute l'étendue de la génératrice commune X, car elles seront touchées dans toute retendue de cette même droite par les hyperboloïdes ou paraboloïdes qui auraient pour directrices trois droites quelconques, menées dans les plans p, p\ p'\ par les points m, n, v.
Deux surfaces réglées qui se raccordent peuvent avoir une ou deux directrices communes et ne différer que par la troisième directrice.
1030. Si les deux surfaces réglées dont il s'agit étaient développables, tous les hyperboloïdes et paraboloïdes tangents se réduiraient en un seul plan qui toucherait les deux surfoces, suivant toute la longueur de la génératrice de raccordement.
Il résulte de là qu'une surface réglée gauche ne peut pas se raccorder avec une surface développable suivant une génératrice.
Enfin deux surfaces réglées ne peuvent se raccorder suivant uqe génératrice, qu'autant qu'elles sont toutes deux développables ou toutes deux gauches.
490 SUftFACBS Vh. 102.
1081. Lorsqu'une snirfaoe courbe quelconque servira de directrice à une surface réglée^ ces à,eux surfaces se raccorderont toujours dans toute l'étendue de la ligne qui contient les points suivant lesquels les génératrices de la surface r^lée s'appuient sur la surface directrice.
1032. En général, si par tous les points d'une courbe acu située sur une surface donnée A, ûg. 518, on construit des tangentes à cette surface, quelle que soit la direction que Ton aura adoptée pour ces tangentes, le lieu de l'espace qui les contiendra sera une surface réglée, se raccordant avec la surface donnée suivant la courbe qui contient tous les points par lesquels on a construit les tangentes à cette surface.
Supposons, par exemple, que les tangentes 1,1, 1... aient été construites de manière à satisfaire à certaines conditions ;• que les tangentes 2, 2, 2... aieiït été obtenues par une autre loi ; qu'il en soit de même des tangentes 3, 3..., et ainsi de suite. Il résultera de cette construction autant de surfaces réglées qu'il y a de systèmes de tangentes.
Toutes ces surfaces se raccorderont suivant la courbe acu qui partagera chacune d'elles en deux nappes. Enfin l'une quelconque des nappes de ces surfaces se raccordera toujours avec la nappe opposée 4e chiacune des autres surfaces.
Supposons, par exemple, que la sphère ÂÀ^ fig. 619, 9iit servi de directrice à la surface réglée BB', et que la courbe acu soit la ligne de contact de ces deux suifaces ; représentons par A et A' les deux parties de la sphère, et par B et B^ les deux nappes de la surface réglée ; la combinaison de ces diverses parties produira quatre surfaces difiërentes, savoir :
1*» La surface A -|- A'.
2» La surface A -f B'-
â» La surface A' -f- B-
4« La surface B + B'.
1033. Pénétration rectangulaire. Au lieu de cheroher i raccorder deux surfaces, on pourra demander qu^elles se
fiL. 103. ENTBL09PE8. ' 41M.
^xmpent, toujours à angle droit en un point quelconque de la li^e d'intersection.
Dans ce cas, étant données une première surface et la ttgne suivant laquelle elle doit être coupée par la seconde, on construirait la surface normale qui aurait cette ligne pour directrice ; puis, il ne resterait plus qu*à construire une autre surface tangente à la surface normale.
1034. En général, lorsque Von voudra que deux surfaces se rencontrent partout à angle droit y il faudra faire en sorte que Vu/ne déciles soit tangente à la surface normale de Vautre^ suivant toute Vétendue de la ligne d'intersection.
Cette remarque nous sera très-utile dans quelques appli- >cations de la géométrie descriptive.
CHAPITîlE IV.
Su rTaces-en velop pes<
1035. Définitions. Si l'on fait mouvoir une sphère A, Hg. 620, pi. 103, de manière que son centre parcoure la ligne abc, la surface qui enveloppera toutes les positions suc- -cessives de cette sphère, et qui les touchera toutes^ se nommera une sur face-enveloppe f ou simplement une enveloppe.
Deux positions consécutives de la sphère mobile se couperont suivant un cercle dh, dont le plan est perpendiculaire à la courbe parcourue par le centré. Ce cercle sera d'autant plus grand que les positions de la sphère seront plus rappto^ées les unes des antres, et dans l'hypothèse d'un mouvement continu, la distance des centres étant infiniment
petite, riatersection de deux sphères consécutives peut être considérée comme un grand cercle. On donne à ce cerde le nom de caractéristique de la surface.
Ce n'est ici, au surplus, qu'une manière différente d'envisager la génération des surfaces, car nous pourrions donner au cercle dh le nom de génératrice^ et supposer que son centre se meut suivant la courbe abc^ tandis que son plan serait consta,mment perpendiculaire à la direction de cette courbe ; alors la surface engendrée serait Venveloppe des positions successivement occupées p^r le cercle générateur.
1036. Mais' la nature des procédés analytiques qui conduisent aux résultats précédents a fait adopter la définition générale suivante :
Une surface enveloppe est le lieu qui contient toutes les intersections qui résultent des positions successives d^une surface mobile, constante ou variable de forme.
On donne le nom d'enveloppée à la surface mobile dans chacune de ses positions.
Uintersection de deux enveloppées consécutives est la caroUbtéristique de Venveloppe.
1037. Cette définition embarrasse ordinairement les commençants ; ils ont de la peine à reconnaître dans certains cas particuliers de surfaces-enveloppes les caractères par lesquels ils se rattachent au cas général.
Soit, par exemple, flg. 621, la surface AÂ' & laquelle nops avons donné le nom d'ellipsoïde de révolution.
Supposons que Ton fasse mouvoir le sommet d'un oOne circulaire suivant la droite aa\ et qu'en même temps l'angle au sommet de ce cône varie de ti^lle sorte, que sa génératrice soit toujours tangente à la section méridienne de la sur- £aice  ; il est certain que deux de ces cônes consécutif et infiniment rapprochés se couperont suivant un cercle perpendiculaire à Taxe, et la surface de l'ellipsoïde sera le lieu de tous cas cercles.
Or, d'après la définition précédente, les divers cônes mobiles et variables se nommeront enveloppées, et la surfiu^e
PL. 103. ENYEIOPPES. 493
de Fellipsoïde sera l'enveloppe. Ainsi dans cet exemple la surface-enveloppe est limitée en tous sens, tandis que l'en* veloppée ne Test pas. L'enveloppe se trouve circonscrite par l'enveloppée.
1038. Il résulte de là qu'il ne faut attacher aux dénominations précédentes qu'un sens analytique et général, indépendant des applications particulières, et que dans tous les cas l'enveloppe est le lieu géométrique des intersections succèsnves de Venveloppée ; de sorte que Tenveloppe touche ou est touchée par toutes les positions successives de l'enveloppée, mais ne les enveloppe pas toujours, suivant je sens que Ton attache vulgairement à ce mot.
Les mêmes réflexions se reproduiront en examinant la génération suivante de la môme surface A, A'.
1039. Supposons une surface cylindrique horizontale ayant pour directrice Tellipse o^u'; faisons tourner ce cylindre autour Ile la verticale aa ; les positions consécutives du cylindre générateur étant infiniment rapprochées, les intersections successives ne différeront pas de Tellipse o^u^ qui sera la caractéristique de l'enveloppe : le cylindre mobile » qui. est ici l'enveloppée se trouve encore circonscrit à l'ellipsoïde, qui, d'après la définition géiïérale, représente l'enveloppe.
1040. Surfaces développables. Parmi les cas particuliers 4e surfaces-eaveloppes, nous distinguerons celui où l'enveloppée est un plan, fig. 522 ; alors la caractéristique est une ligne droite, puisqu'elle pî-ovient de l'intersection de deux positions consécutives du plan mobile ; et l'enveloppe, lieu de toutes ces caractéristiques, est une surface réglée.
1041. Cette surface jouit toujours de la propriété d'être développable, car deux caractéristique consécutives étant les intersections d'un même plan avec celui qui précède et avec celui qui suit, ces deux droites se couperont toujours, ce qui est le caractère des surfaces développables (922).
La courbe mnou, qui passe par tous les points d'intersec.
494 SURFACB9 PL. 103.
tion des caractérisques successives, forme ïaréte de rebrous^ sèment,
Le& droites a, b^ c, d^ sont tangentes à la courbe mnou (934).
Nous allons étudier quelques exemples particaliars de surfeces-enveloppes.
1042. Si l'on fait mouvoir une sphère d*un rayon donné, de manière que son centre parcoure une hélice à base circulaire, on obtiendra une surface-enveloppe connue, dans les arts de construction, sous le nom de vis SainP-Gilles.
Si l'on voulait projeter cette surface, il suffirait de construire un certain nombre de positions du grand cercle, dont le plan est perpendiculaire à l'hélice". ^— •
Souvent on préfère projeter les hélices parcourues par chacun des points de ce grand cercle.
Soit, flg. 523, a' le centre de la sphère mobile, on construira au point a' la tangente à l'hélice parcourue par le centre (481), et la droite a'o' perpendiculaire à cette tangente sera la projection du demi-grand cercle dont le plan est perpendiculaire à la direction de cette courbe ; Tindinaison du cercle générateur étant connue, il sera facile de le construire, dans telle position que Ton voudra. Les trois ellipses (psq, p's'q') sont trois positions principales de ce cercle, et les hélices tracées sur la figure 523 sont cçUes parcourues par les trois points pp\ qq\ ss^.
L'épure 524 représente une vis Saint-Gilles engendrée par un demi-cercle vertical.
Si le pas de l'hélice diminuait, la surface se rapprocherait de celle du tore ou surface annulaire (801). ^
1043. Plans tangents. Supposons, fig. 526 qu'en un^ point aa' donné sur la surface^ on veuille construire un plan tangent ; on prendra pour première tangente celle qui touche en (a/i') le cercle vertical m!a'n\ générateur de la surface donnée. La tangente à l'hélice qui passe par le môme point complétera la détermination du plan tangent. En construisant le triangle a'ôV, tel ^ue Ton ait a'V égal à trois huitièmes du pas de l'hélice, et Vcf égal à trois huitièmes de la circonférence ah^ l'hypoténuse a'd sera la tangente à Thé-
PL. i03. ENVBLOPPfiS. 485'
lice, rabatlae sar le plan p^ parallèle an plan vertical ; le point i>', où;cëMe tangente perce le plan horizontal, étantprojeté en t; et ramené en u, on aura au pour la projection' horizontale de cette tangente ; de sorte que la droite ou sera la trace horizontale du plan tangent. Quant à la trace verticale, elle sera parallèle à la droite a'c/.
La droite (an, a'n') menée par le point aa\ perpendicn laire au plan tangent, sera une normale.
1044. Surfaces normales. Si par chaque point de Thélice ash^ a's'h^ on construit une normale, la surface qui contiendra tontes ces lignes sera une surface normale.
11 n'est pas pécessaire pour chaque normale de construire les traces du plan tangent. En effet, par suite de la forme régulière et constante de la surface, quelle que soit la hauteur du point de tangence; les tangentes, le plan tangent et la normale conserveront toujours la même position relative ; de sorte que les projections horizontales de ces lignes ne changeront pas et ne feront que tourner autour du point A. De là résulte cette construction. •
On abaissera du centre une droite As, perpendiculaire sur la' projection de la première normale, et décrivant la circonférence zxy^ toute tangente à cette courbe sera la projection horizontale d'n'ne normale. On élèvera la perpendiculaire zz' jusqu'à la projection verticale de la normale aW, et Ton construira l'hélice [zx, ^V), sur laquelle on déterminera les points où elle est rencontrée par chacune des normales.
La surface que Ton obtiendra sera réglée : la génératrice s'appuie sur les deux hélices {ash, a's'h') [zx^ zV) et touche constamment le cylindre qui contient la dernière.
Si l'on voulait donner à toutes les normales la même longueur, on les terminerait aux points où elles rencontreôt un cylindre droit ayant pour trace horizontale une circonférence tel que nd.
1045. Développement. Dans l'industrie, beaucoup de corps sont terminés par les feuilles minces en tôle, cuivre, carton, etc.; souvent même, quoique la matière soit solide, on en détermine ie contour en appliquant sur les faces planes ou
496 SUBFACES PL. 103.
courbes des figures découpées auxquelles ou fait prendre la courbure de ces faces, et que l'on nomme panneaiuc ou patrons. C'est donc un problème important que celui qui a pour but d'obtenir le développement des surfaces.
Nous avons déjà vu que les surfaces cylindriques et coniques se développent exactement : ce qui provient de leur caractère de surfaces développablea (922) .
Les surfaftes de révolution se développeront approximativement en les partageant en zones ou en fuseaux (682,812). /
Il ne nous reste donc plus qu'à trouver un moyen de développer approximativement certaines portions de surfaces réglées ou enveloppes.
11 est évident que cela revient, étant donnée une certaine surface ou portion de surface, à trouver ime surface développable qui diffère le moins possible de la surface proposée.
1046. Je prendrai pour exemple la surface normale que nous venons de construire dans Texemple précédant.
Soient les mêmes donnéis, flg. 627, on opérera comme . ci-dessus pour obtenir les deux premières normales (an, aW) (cw, cV) ; ensuite on construira les deux cordes {acja'c^) {co, c^o')y etc.
Cela posé, concevons un plan par la normale (an, a'n') et la corde (ac, a^c'), un second plan pour la seconde normale et la seconde corde, un troisième plan par la troisième nor- ' maie et la troisième corde, etc. On pourra considérer tous ces plans comme les positions successives d'un plan mobile qui dans son mouvement engendrerait une surface développable (1041) différant peu de la surface donnée : en effet la surface normale se compose de petits quadrilatères gauches tels que {ancn) [a'n^c'n')^ et trois angles de chacun de ces quadrilatères étant situés dans le plan mobile Correspondant, il y aurait peu de diflérence entre les deux surfaces, surtout dans le voisinage de l'hélice [aoo^ a'&o')^ ce qui est essentiel.
Si les arcs (ac, a'&) {co, &o') devenaient infiniment petits, le plan mobile serait dans chaque position, tangent à la surface normale, et Ton obtiendrait une surface développable tan-
Vh. 403. ENVELOPPES. 497
gente à la surface, normale dans toute l'étendue de Thélice {aco, ddo') (1035).
Pour obtenir cette surface on construira un plan horizontal p.. Ce plan coupe le premier plan mobile suivant (n^, n'^')i et le second suivant (t^z, wV) ; et l'intersection xx' de ces deux droites appartient à la droite (ca?, c!x*) qui sera la caractéristique de Tenveloppe cherchée.
En construisant un certain nombre de projections horizontales de cette ligne, et opérant du reste comme nous l'avons fait pour la normale, on obtiendra facilement les projections, verticales correspondantes.
1047. La surface que nous venons de construire est connue sous le nom à'héliçoïde développable (937) ; . chacune de ses génératrices est tangente à une hélice ayant pour base le cercle dh.
La figure 528 représente le développement de la surface précédente ; pour l'obtenir on construira chaque quadrilatère dans sa véritable grandeur ; les courbes aV^ *''^'^ sont des arcs de cercle (941).
1048. En général, pour développer approximativement y/ne surface quelconque^ on la partagera en zones de peu de largeur; puis^ après avoir construit des plans tangents par tous Les points de la courbe moyenne de chaque zone, on développera la surface enveloppe résultant de cette suite de plans tangents.
1049. Sections et intersections. Nous n'entrerons pas ici dans le détail des constructions nécessaires pour obtenir les sections par des plans ou des lignes ; ce ne serait qu'une répétition de ce que nous avons dit sur l'application des principes 784 et 790. Nous nous bornerons à un seul exemple de pénétration.
1050. Supposons, flg. 625, que le demi-cercle pVg' soit pris pour la génératrice d'une vis Saint-Gilles ; on "veut avoir la courbe de pénétration de cette surface par le conoïde dont les directrices sont la verticale uu\ la demi-ellipse
