Trouver l'intersection de deux droites
Nous avons vu (59) comment on reconnaît que deux lignes droites se coupent, et dans ce cas leur intersection est toute trouvée : elle a pour projections les points suivant lesquels se coupent les projections des deux droites.
73. Deuœ plans P et P| étant donnés par leurs traces^ construire leur intersection.
L'intersection de deux plans étant une ligne droite, il suffit de trouver deux points de celte ligne pour qu'elle soit déterminée ; or, fLg. 53, 54, pi. 7, le point v^ intersection des traces vienicales, est un point commun aux deux plans, donc il appartient à leur intersection ; mais, comme faisant partie des traces verticales, il est nécessairement situé dans le plan vertical de projection, et par conséquent sa projection horizontale v sera sur la ligae AZ. Par la même raison, le point A, intersection des traces horizontales, faisant partie du plan horizontal de projection, sa projection verticale A' sera sur la ligne AZ.
Il ne reste plus maintenant qu'à tracer (51) la droite qui passerait par les deux points (v, v') et (/i, f/).
74. On peut s'assurer, par le moyen indiqué (57), qu'un point quelconque mm^ de la droite (vh) [v'-h') est situé en même temps dans les deux plans. On conclura de ce que nous venons dire, qu'en général,
75. Pour obtenir l'intersection de deux plans dont on a les traces^ il faut^ par le point d'intersection des traces verticales, abaisser une perpendiculaire à la ligne AZ, et joignant le pied de cette perpendiculaire avec le point de rencontre des traces horizontales, on aura la projection horizontale de la ligne demandée ; puis, du point où les traces horizontales se rencontrent^ on abaissera une perpendiculaire sur la ligne AZ'; et joignant le pied de cette perpendi-
n, 8. INTERSECTIONS. 3^
culaire avec le voint de rencontre des traces verticales, on ^ura la projection verticale de cette même ligne. Cette question est une de celles qu'il faut s'exercera résoudre dans tous les cas. J'engage le lecteur à changer de toutes les manières possibles la position des plans donnés. Dans la figure 54, par exemple, les deux traces horizontales se rencontrent derrière Je plan vertical de projection.
Dans la figure 55, la projection horizontale de la ligne <îherchée se confond avec la trace du plan donné P< qui est perpendiculaire au plan horizontal, et qui, par cette raison, devient le plan projetant de l'intersection. Nous ferons souvent usage de cette combinaison de plans.
Dans la figure 56, l'un des plans donnés P, est horizontal ; d'où il résulte que la ligne cherchée et Ja trace de Tautre plan doivent être parallèles, puisqu'elles sont les intersections de deux plans parallèles par un troisième {Gcom:). Dans. <ce cas, le point hh^ est situé à l'infini.
Les figures 57 et 58 sont encore des cas particuliers du même problème. Dans la dernière, les deux plans proposés «ont parallèles à la ligne AZ, et leur intersection 5, 5', aussi parallèle à AZ, se projette sur le plan auxiliaire de projection Y'Z' par un point s^\ ' -
76. Voici encote quelques cas particuliers, qui méritent toute notre attention.
Si les deux plans proposés, que je nommerai p et p', étaient disposés comme dans la figure 59, planche 8, il est évident que les quatre points (u, v', h, h'\^ qui d'après le principe (75) nous ont servi à déterminer les projections de l'iiUersection des deux plans, se trouvant confondus en un seul point m, ils ne suflSraient plus pour faire connaître ladirectipn de cette ligne ; mais comme, dans ce cas, le point m de la ligne AZ €st un point commun aux deux plans, les deux projections 4e la ligne cherchée doivent y aboutir. Il n'y aura donc plus qu'à déterminer sa direction ; pour cela, on construira le plus loin possible du plan p^ un plan p^' qui lui sera parallèle, puis cherchant (75) Tintersection des plans p et p^\ on aura uneiigae (/, t^} parallèle à la ligne cherchée. comme îniersection de deux plans parallèles par un troisième plan
