INTERSECTIONS. PL. B

{Qéom.). Il n'y aura donc plus qu'à mener par le point, m^ deux lignes ms, ms^, parallèles aux lignes t et f. Ces droitesseront les projections demandées.

On pourrait encore recourir à ce moyen, si, fig. 60, lea quatre points (v, v\ h, h') étaient tellement rapprochés, que la direction de la ligne cherchée ne pût pas être déterminée^ avec exactitude.

77. Enfin, il peut arriver que l'un des points d Intersection des traces ou tous les deux, soient situés hors de l'épure.

Soient, fllgr. 61,les deux plans p et p' dont on demandé Tin-^ lersection ; on a déjà le point (A, W) qui appartient à cette ligne ; ilneresteplusquà trouver un second point commun aux deux plans ; pour cela, on construira un plan auxiliaire p'\ que Toa prendra horizontal pour plus de simplicité. Ce plan p" coupera, le plan p suivant une ligne a parallèle à la trace horizontale (75), et le plan p' suivant une ligne b ; de plus, ces deux lignes a et 6 étant toutes deux dans un même plan p^\ se couperont en un point m qui appartiendra aux deux plansdonnés, puisqu'il sera situé sur des lignes faisant partie de ces^ plans. Le point m appartenant au plan horizontal p", sa. projection verticale sera en m\' de sorte que les deux lignes Am, /Vm', seront les deux projections de la ligne de-^ mandée.

78. Si les points vv\ hh' étaient tous deux hors de l'épure, il faudrait faire deux fois la construction précédente; seulement», pour avois le plus grand éloignement possible entre les deux poiùts wm^ nn', qui déterminent la ligne cherchée, fig. 62, il faudra prendre i'un des plans auxiliaires p horizontal, et l'autre p parallèle au plan vertical de projection, tous deux le plus loin que Ton pourra de la ligne ÂZ. On pourrait employer le même moyen dans le cas des figures 59 et 60.

79. Déterminer le point d'intersection de trois plans donnés p, p' et p'', ûg. 63 etSé.'

Nommons m le point cherché. Ce point devant appartenir aux deux premiers plans, sera sur leur intersection, que je

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nommerai 5, et que Ton obtiendra par la construction (73) • Par la même raison, le point m devant appartenir aux plans* p et p'', sera sur leur intersection, que je nommerai k. Donc le point cherché devant être en même temps sur les lignes $ et ft, sera où ces deux lignes se coupent.

On conçoit que sfron cherche l'intersection des plans p et p'\ cette ligne, que nous nommerons u, doit passer par le point m\ ce qui donne un moyen de vérifier l'exactitude des opérations précédentes.

Les trois plans formeront, par leur intersection, un angle trièdre, qui aurait pour sommet le point cherché, et dont les trois droites ^, /c et u seraient les arêtes.

80. On voit encore que si les trois droites données par la construction de f épure étaient parallèles, cela indiquerait que les trois plans sont disposés comme les faces d'un prisme triangulaire, et que le point m est situé à l'infini. Enfin,

Si deux des plans donnés étaient parallèles, deux des trois intersections seraient parallèles, et la troisième n'existerait pas.

J'engagerai les commençants à s'habituer à juger, par l'inspection de répure, de la position des éléments géométriques qui y sont' représentés ; mais c'est ce qu'ils ne doivent faire que lorsque la question est complètement résolue dans la pensée, et tout au plus avant de commencer Tépure, afin de trouver les moyens les plus simples d'exécution.

81. En général, fes 4ifficultés que l'on éprouve lorsque l'on commence àétudier la Géométrie descriptive proviennent en grande partie de ce que l'on se préoccupe trop de la position des données.

On doit d'abord chercher à découvrir quelles sont les relations géométriques desquelles dépend la solution du problème, et ce n'est qu'après avoir trouvé ces relations qu'on les traduit par une épure.

U faut que l'on ait bien reconnu quelles sont toutes les opérations à faire, et que la question soit complètement résolite, avant que la première ligne ne soit tracée sur l'épure

4â V i INTSaSEGTIONS. Pt. 8.

C'est alors seulement que l'on doit examiner les données, afin de reconnaître si, dans leur disposition particulière, il y a quelques moyens de simplifier Tapplication du priicipe.

82. Les questions à résoudre sont ordinairement de deux espèces. Les unes, que je nommerai questions simples, se déduisent direclement d'un théorème démontré. Les autres, que je nomme composées, résultent delà combinaison de' plusieurs questions précédemment résolues.

Pour résoudre une question simple, il suffit de découvrir le théorème exprimant les relations géométriques qui existent entre les quantités que Ton connaît et celles que Ton cherche; et, dans ce cas, l'épure n'est plus qu'une traduction graphique de ces mêmes relations.

Mais lorsqu'une question est composée, il faut, avant de commencer l'épure, découvrir toutes les questionsr simples dont se compose la question principale, et déterminer bien exactement l'ordre suivant lequel doivent être faites les opérations successives.

11 n'est pas nécessaire pour cela de se figurer la position, dans l'espace, des lignes et des surfaces sur lesquelles on opère ; cette manière d'agir serait inutile et contraire à l'esprit d'analyse. On conçoit en eflet que, si l'on veut construire^ l'inlerseclion de deux plans, on doit opérer en conséquence des relations générales qui ont lieu lorsque deux plans se coupent, et non d'après la position particulière de deux plans plutôt que de deux autres.

Dans le problème du n** 79, il ne faut pas chercher à voir dans son imagination tel plan pli^tôt ^ue tel autre. 11 n'est pas nécessaire de savoir si le plan p est plus incliné que le plan pV; il suffit d'appliquer (feux fois de suite le principe de l'intersection de deux plans.

Ainsi, daas une opération de calcul, on doit s'occuper plus de la manière d'opérer que d« la valeur des chiffres que l'on a sous les yeux.

Il en est de même dans la Géométrie descriptive ; la connaissance parfaitement exacte de la position des quantités données ne faciliterait en rien la solution du problème, et si l'on veut connaître le résultat, il faut attendre que Tépure