PARALLÉLISME. VU

92. Nous admettrons pareillement que lœ^sque deux plans sont parallèles, leurs traces sont parallèles, puisqu'elles sont les intersections de deux plans parallèles par le plan de projection (Géom.). D'après cela,

93. ^Étant donnés un plan et un point, construire par le point un second plan parallèle au premier.

Soient donnés, fig. .71, pi. 10, le plan p et le point aa'. On construira par le point a' une parallèle à la trace verticale du plan p, et par conséquent à celle du plan cherché p'. Cette droite, considérée comme génératrice du plan cherché, aura pour projection horizontale ad, et son pied d sera un point de la trace horizontale demandée. On construira cette trace parallèle à celle du plan donné, et lé point où cette trace rencontrera la ligne AZ appartiendra à la trace verticale cherchée, que l'on mènera parallèlement à celle du plan p.

94. On aurait pu, par une construction analogue, chercher d'abord un point de la trace verticale.

95. Dans la figure 72, on a projeté le point aa^ sur le plan auxiliaire YT, puis, par la projection a^^ de ce point, on a mené parallèlement à la trace du plan.p la ligne su, que l'on a prise pour trace du plan cherché ; ce qui ?l donné en s et en u' un point pour chacune des deux autres traces de ce plan.

96. Étant donnés lin plan et un point quelconque de Vespace, construire par ce point une parallèle au plan donné.

Étant donnés, fig. 73, le plan p et le point aa^ on tracera une ligne quelconque bc, Vc\ située dans le plan p (64), puis on construira parallèlement à cette ligne, et par le point donné une ligne [ad, a'd') qui sera parallèle au plan p, puisqu'elle sera parallèle à une droite (6c, yd) située dans ce plan [Géom.).

On voit que le problème est indéterminé, et qu'en recommençant la construction dans toutes les directions, on aura

'PL. iO. PARALLÉLISME 47

autant de droites que Fon voudra passant par le point donné, et parallèles au plan donné.

il est encore facile de reconnaître que toutes ces droites seront dans un même plan ; d'où résulte un moyen plus simple de résoudre la même question.

97. On construira d'abord par le point {aa'), fig. 74, et par le moyen indiqué (93), un plan p' parallèle au plan /?, et il n'y aura plus qu'à mener (64). par le point' donné, des droites qui soient situées dans le plan p'.

98. Il résulte de ce qui précède, que lorsque deux lignes sont parallèles entre elles, ou que deux plaps sont parallèles, on le voit à l'inspection de l'épure, puisque les projections des lignes dans le premier cas, et les traces des plans dans le second, sont parallèles ; mais il n'en est pas de même du ps^rallélisme d'une ligne avec un plan. Lorsqu'une ligne est parallèle à un plan, lés projections de la ligne ne sont pas pour cela parallèles aux traces du pian ; de 3Qrte que si Ton avait sur une épure les traces d'un plan et les projections d'une droite, et que Ton voulût savoir si la droite est parallèle au plan, il faudrait voir (62) si Ton peut construire dans le plan une parallèle à la droite, ou bien (66) si Ton peut construire par la droite un plan parallèle au plan donné. .

99. Étant donnés une droite et un point, faire passer par le point un plan parallèle à la droite.

Soient, fig. 75, aa' le point donné, W la droite dopnée ; on mènera (58) par le point, et parallèlement à la droite 66', la ligne (ac, a'c') ; et tout plan construit suivant cette dernière ligne sera nécessairement parallèle à-la première (Geom.) . La question admet une inQnité de solutions.

100. Deicœ droites étant données, faire passer par l'une d'elles un plan parallèle à Vautre.

Par un point quelconque mm' de la ligne bb\ flg. 76, on fera passer une ligne ce' parallèle à la droite aa' ; puis, construisant (69) le plan qui contiendra les deux droites (66')

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cd), on aura satisfait à la question. En effet, les lignes aV, cd étant parallèles, tout plan contenant l'une d'elles sera parallèle à Tautre {Gèom\