PERPENDIGDLARITÉ DES LIGNES ET DES PLANS

101. Lorsqu'une ligne droite est perpendiculaire à un "plan, les projections de cette ligne sont perpendiculaires swr les traces du plan.

Soit, flg. 77, pi. 11, la droite AB perpendiculaire sur le plan P ; représentons le plan de projection par P' et par F' le plan projetant la droite ; alors ac sera la projection de cette droite, et hc sera la trace du plan P. Or le plan P'-', comme plan projetant, est nécessairement perpendiculaire sur le plan de projection P' ; de plus, il est perpendiculaire sur le plan P, puisqu'il contient la droite AB, qui, d'après la question, est perpendiculaire à ce plan. 11 résulte donc de là que le plan P étant perpendiculaire en même temps sur le plan P et sur le plan de projection P', sera perpendiculaire à leur intersection 60, qui n'est autre. chose que la trace du plan P; et réciproquement, cette ligne bc sera perpendiculaire au pl^ P'^, et par conséquent à toute ligne telle que ac qui passerait par son pied dans ce plan : ce qu'il fallait démontrer.

102. Réciproquement, flg. 78, si par les projections a, a' d*un point, çn mène deux droites perpendiculaires aux traces Sun plan p, on powTa regarder ces lignes comme étant les projections d'une droite située dans l'espace, perpendiculairement au plan p; car les deux plans projetant p' et p^^ étant perpendiculaires sur les traces du. plan p, seront tous deux perpendiculaires à ce plan (Géom.)^ et par conséquent la ligne ab, a^b\ qui est leur intersection, sera aussi perpendiculaire au plan p.

103. Donc, pour exprimer qu'une ligne est perpendiculaire à un plan, ou réciproquement, il faut faire en sorte que les projections de la ligne soient perpendiculaires sur les traces du plan, fig. 78.

PL. il. PERPENPI€ULAIliTÉ; 49

104. Ce théorème conduit à la solution de toutes les ques- 4iou$ de i erpeadicularité ; mais, avant de passer à l'application, je rappellerai ce que j'ai déjà dit au numéro 82.

Pour résoudre une question simple, il suffit de découvrir le théorème que l'on doit appliquer immédiatement. Ainsi, dès •que nous avons démontré qu'un plan perpendiculaire sur une droite doit avoir ses traces perpendiculaires sur les projections de cette droite, il est évident qu'il suffit d'établir cette perpendicularité sur l'épure pour construire un plan perpendiculaire à une ligne donnée.

Mais lorsqu'une question est composée, il faut, avant de commencer répure, déterminer bien exactement l'ordre suivant lequel doivent être faites toutes les opérations.

105. Qu'il, s'agisse, par' exemple, de déterminer la distance d'un point à un plan^ oti dira presque toujours qu'il faut abaisser du point une- perpendiculaire sur le plan ; après quoi on devra chercher la longueur de cette perpendiculaire.

Cette réponse, qui paraît exacte au premier-abord, est cependant loin d'être complète ; et Terreur provient surtout de ce qu'on oublie que les droites et les plans employés ici comme moyens de solution. doivent toujours être considérés comme infinis (12) ; de sorte qu'il n'est point exact de dire que Ton mesurera la longueur de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan, puisque cette ligne est infinie.

Voici de quelle manière ta question devait être résolue.

Étant donnés, flg. 80, le plan P et le point A,

l'« opération. On tracera par le point A une droite mn perpendiculaire au plan donné P. ,

2« opération. On déterminera le point B suivant lequel la perpendiculaire mn perce le plan P.

3* opération. On cherchera la longueur de la portion AB de perpendiculaire comprise entre le point donné et le plan.

La questioti étant ainsi décomposée, on commencera Tépure, en exécutant successivement chacune des trois opérations précédentes, dans Tordre suivant lequel' nous venons de les indiquer. Ainsi, ûg. 79 :

30 PERPBNDIGULÂRITÉ. PL. il.

Ire opération. On tracera, par les points a et a\ les deux . droites ab^ aV respectivement perpendiculaires Sur les Iracea du plan p. Ces deux lignes seront les projections de la droite AB perpendiculaire sur le plan P, fig. 80.

2* opération. On déterminera (87) le point 6, V suivant lequel la droite ab, dfV perce le plan p ; de sorte que ab, ofV seront les deux projections de la portion de perpendiculaire comprise entre le point et le plan donné.

3e opération. On fera tourner la droite a&, aV autour de la verlioale projetante du point aa' ; ce qui donnera a^B pour / la distance du point aa' au plan p. ' .

Dans la figure 81, le plan donné est parallèle à la ligne AZ, et la ligne ab, a'b'y qui mesure la distance du point a au plan, se trouve rabattue eu a''6^' suivant sa véritable grandeur.

106. Supposons actuellement quei'on \Çim\\^ déterminer la distance, de deux plans parallèles p et p^ fig. 83.

Représentons d'abord les deux plans donnés par P et P', flg. 82, et cherchons quel doit être l'ordre des opérations.

1^ On construira (103) une droite quelconque wm perpendiculaire en même temps aux deux plans P et P'.

La distance de ces pians étant partout la même, il est évident que la droite mn pourra être tracée où l'on voudra.

2° On déterminera (87) le point. A, suivant lequel la droite mn perce le plan P.

30 On déterminera de la mêpie manière le point B, suivant ^ lequel la droite mn perce le plan P'.

Alors AB sera la portion de perpendiculaire comprise entre les deux plans P et P', et représentera par conséquent leur distance.

40 On cherchera la grandeur de AB en opérant comme nous l'avons dit au n° 52.

Quoique j'ai indiqué par des renvois aux articles précédents Tordre des constructions graphiques qui doivent être successivement exécutées, je répète qu'il ne faut pas commencer l'épure avant d'avoir reconnu complètement quelles

PL. 12. PERPENDICULAHITÉ. SI

sont toutes les opérations simples dont se compose la question principale.-

107. On pourrait encore, pour obtenir la distance demandée, prendre un point quelconque situé dans l'un des deux plans (57), puis mesurer la distance de ce point à l'autre plan, en opérant comme la question du^n^ 105.

108. Dans la figure 84, les plans donnés sont parallèles à la ligne AZ, et leur distance se trouve projetée en a^^b^\ sui-. vant sa véritable longueur.

109. Étant donnés un plan et un, points construire par le point un plan^perpendiculaire au premier.

Soient, flg. 85, pi. 12, le plan p et le point aa^ : i"" on fera passer par le point une droite av, a'v' perpendiculaire au plan p (103) ; 2° on construira (66) autant de plans que Ton voudra contenant cette droite ; tous ces plans sont perpendi- * culaires au plan donné. En effet, on sait [Géom.) que si une droite rnn^ flg. 86, est perpendiculaire à un plan P, tout plan contenant cette droite mn sera aussi perpendiculaire au plan P.

110. Nous reconnaissons, par le résultat, qu'on ne peut pas, à la vue d'une épure, savoir si deux plans perpendiculaires l'un à l'autre, et que l'angle suivant lequel se coupent les deux traces n'apprend rien à cet égard. Mais si Ton voulait mettre en évidence la perpendicularité de deux plans, on prendrait un point de leur intersection (73); puis, après avoir mené par ce point une perpendiculaire à 1 un des plans donnés (103), on ferait les constructions nécessaires pour reconnaître si^elle est contenue dans l'autre plan (63). Ou bien, on chercherait * l'angle des plans en opérant comme nous le dirons bientôt.

111. Étant donnés un plan et une droite, construire par cette droite un second plan perpendiculaire au premier.

Soient, fLg, 87, le plan p et la droite aa^; on prendra sur la droite un point quelconque mm^; puis après avoir mené par ce point une droite 66' perpendiculaire au plan donné, il n'y aura

9â PERPENDICULA^ITÉ. PL. 12.

plusqu'àconslruire (69) un plan qui contienne cesdeux droites, €ar il est ^ vident qu'il sera perpendiculaire au plan donné, puisqu'il contiendra une droite bb' perpendiculaire à ce plan.

112. Nous avons vu (103) que r^ur exprimer qu'un plan est perpendiculaire sur une droite, il faut mener tes traces du plnri perpendiculhires sur Us projections de la droite. D'après cela,

113. Par un, point donné, faire passer un plan perpendiculaire à une droite donnée.

Soient, flg. 88, aa' la droite donnée, et bb' le point donné ; on mènera Vd' perpendiculaire à la projection verticale de la droite donnée. Cette ligne, considérée comme génératrice du plan demandé, aura pour projection horizontale &c^, et son pied d appartiendra à la trace horizontale du plan cherché ; alors on pourra construire cette trace perpendiculaire à la projection horizontale de la ligne doqnée, et par suite la trace verticale.

On aurait pu commencer par chercher un point de la trace verticale.

114. Par un point pris sur une droite, mener des perpendiculaires à cette droite.

Étant donnée, flg. 90, la droite ab, a'b' on veut par le point bV mener des perpendiculaires à cette droite ; on construira par le point bb' un plan p perpendiculaire à la droite donnée (113),' puis on fera passer .par le point bb' des droites situées dans le plan p (6i) ; toutes ces droites perpendiculaires sur la droite donnée, flg. 89.

115. On voit, par la solution de ce problème, que lorsque aeux droites sont perpendiculaires entreelles, leurs projections ne sont pas pour cela perpendiculaires ; de sorte que si l'on avait, les pojections de devx droites, et que l'on voulût savoir si elles sont perpendiculaires l'une à l'autre, il faudrait conslruire V angle qu'elles font entre elles, ou clié-eher si parmi tous les plans que l'on peut faire passer par C une d'elles tm), il peut y en avoir un dont les traces seraient peroendicùlaires sur les projections de l'autre ligne.

PL. i%