Trouver la distance d'un point à une droite
Il est évident qu'il faut d'abord obtenir la perpendiculaire abaissée du point sur la droite donnée ; pour cela, représentons, flg. 91, par A le point donné, et par B la droite donnée i t<» on mènera par le point A un plan perpendiculaire sur la droite ; 2<» on déterminera (87) l'intersection de la droite avec ce plan, ce qui donnera en C le pied de la perpendiculaire ; 3<» joignant ce point avec le point donné, on aura la perpendiculaire AC abaissée du point A sur la droite donnée ; 4» il n'y aura plus qu'à chercher la grandeur de la perpendiculaire AC par le moyen indiqué (52).
Les constructions précédentes ont été exécutées figuî-e 92.
117. Trouver la distance de deuœ droites parallèles. Soient A, B, fig. 94, les deux droites données : 1« on con-*
struira le plan P perpendiculaire sur ces droites ; 2* on déter* minera (87) le point C suivant lequel ce plan coupe la droite A; 3o on obtiendra de la même manière le point D, intersec-^ tion'du même plan avec la droite B ; 4** traçant CD, on aura une ' perpendiculaire aux dçux parallèles données ; car ces deux lignes étant toutes deux perpendiculaires au plan P, sont perpendiculaires à la droite , qui joint leurs 'pieds dans ce plan^ 5* il n'y a plus à chercher (52) la grandeur de la perpendiculaire commune CD. ^
La figure 93 contient les opérations.
118. Parmi les problèmes que nous venons de résoudre, les plus remarquables sont ceux qui résultent de la combinaison de deux plans, de deux lignes, ou d'une ligne avec uq plan.
119. Je rappellerai que Tinspection de l'épure suffit pour faire connaître le parallélisme de deux plans ou de deux lignes; tandis que Ton ne peut s'assurer que par une construction du parallélisme d'une Ijgne avec un plan.
Le contraire a lieu pour la perpendicularilé ; car, lorsqu'une ligne est perpendiculaire à un plan, réciproquement les projections de la ligne sont perpendiculaires sur les traces' du plan, au lieu que la perpendicularité de deux plans ou
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de deux ligues ne peut être reconnue que par une constructiop, puisque celte perpendicularité est indépendante de Tangle que font les traces des deux plans ou les projections des deux lignes que Ton compare.
120. Problème. Trouver la distance de deux droites quelconques.
Solution. On sait que la distance de deux points est le plus court chemin pour aller d'un de ces points à l'autre ; c'est pourquoi cette distance a ordinairement pour mesure la portion de la ligne droite qui passe par les points donnés.
On sait de même que la distance d'un point à une droite ou à un plan est la perpendiculaire abaissée du point sur la droite ou sur lé plan donné ; que la distance de deux droites ou de deux plans parallèles est la partie de perpendicttlaire comprise entre les plans ou les droites données.
Voyons donc comment on pourra trouver le plus court chemin entre deux droites quelconques, ce qui revient évidemment à déterminer sur ces lignes les deux points les plus rapprochés. ^
Soient, fl^. 96, pi. 13, les droites données A et B.
l'* opération. On prendra sur B un point quelconque M. 2» On fera passer par le point M une droite G parallèle à la
droite A.
3* Les droites B et G détermineront le plan P parallèle à la droite A.
4' On prendra sur la droite A un point quelconque N.
5* On fera passer par le point N une droite H, perpendiculaire sur le plan P. ^
6* On déterminera le point D suivant lequel la droite H perce le plan P.
7» On fera glisser la droite H parallèlement à elle-même en l'appuyant sur la droite A, jusqu'à ce que le point D soit arrivé en S sur la droite B.
8' La droite KS, parallèle à ND et par conséquent perpendiculaire au plan P, sera la plus courte distance entre les deux droites données A et B.
En effet, la droite KS perpendiculaire sur le plan P sera
9h. 13. PBBP£NDIGULARIXB. 55
perpendiculaire sur la droite B qui passe par son pied dans le plan P.
Par la même raison, elle sera perpendiculaire sur SD et par conséquent sur la droite A parallèle à*Sb.
U est d'ailleurs évident que, la droite KS est plus courte que toute autre droite qui joindrait un point quelconque V de la droite A avec un autre point quelconque U de la droite B.
En effet, si par le point V on conçoit la droite VO perpendiculaire sur la plan P et si l'on trace la droite OU, le triangle VOU sera rectangle en 0, ce qui donnera :
