VD > KS

donc la droite KS est la plus courte distance des deux droites AetB.

lËpure. Si l'on a bien compris tout ce qui précède, il sera facile d'en suivre Texpression sur la figure 95. 11 suffira de se rappeler que suivant les conventions admises au numéro 29, la droite B est représentée sur Tépure par ses projections àl/ ; la droite A par ses projections aa' ; le point M par mïn\ etc. *

Ainsi, pour exécuter l'épure, on construira successivement:

1" Le point mm' pris à volonté sur bb' ; 2** La droite ce', parallèle à aa' ; 3** Le plan p déterminé par les droites bb\ ce' ; 4** Le point nn' pris à volonté sur aa' ; 5* La droite hh' perpendiculaire sur p ; 6" Le point dd' intersection de la droite hh' avec le plan p ; 7* La droite ds, dV parallèle à ce' aa' ; 8* La droite ks, k's' parallèle à nd^ n'd'^ et par conséquent perpendiculaire au plan p.

Les deux projections de la droite sk^ s'k'^ étant obtenues

86 PERPENDIGULARITÉ. PL. i3^

sur répure, on fera tourner cette droite autour de la verticale projetante du point 6**^, ce qui donnera ^'K pour la distance des deux droites aa' et ô6^

Je ferai remarquer ici ce que j'ai déjà dit plus haut, c'est que la solution du problème dépend uniquement de la Géométrie ordinaire. '

C'efst dans la décomposition de la question principale^ dans la recherche des opérations successives, et de Tordre dans lequel ces opérations doivent être faites, que consiste la solution.

La construction de Tépure a uniquement pour- but de tra-< duire chacune de ces opérations dans le langage de la Géométrie descriptive, et, je le répète, on ne doit pas tracer une seule ligne sur l'épuré avant que la question ne soit complètement résolue.

121. Trouver le centre et le rayon d'une sphère dont la surface passerait par quatre points donnés.

Le centre de la sphère étant à égale distance de tous lespoints de sa surface, il est évident (Géom.) que si Ton joint par une ligne droite deux points de cette surface, et que par le milieu de cette droite on mène un plan qui lui soit perpendiculaire, ce plan passera par le centre. D'après cela,, étant donnés, flg. Ô7, quatre points aa, bV, ce', dd\ oa joindra le point a avec le point h \ puis par le poîht w', milieu de la corde aè, on mènera (113) un plan p perpendiculaire à. cette corde : ce plan contiendra le centre de la sphère demandée. De même par le point zz', milieu de la corde fcc, on mènera un plan p' perpendiculaire à cette corde : ce plan passera encore par le centre, enfin par le point uu\ milieu decd, on mènera un troisième plan perpendiculaire à cette corde, et qui, par conséquent, contiendra aussi le centre de la sphère.

On aura par ce moyen trois plans contenant le centre de la sphère demandée. Cherchant (79) le point commun à ces trqisplans, on aura le centre de cette sphère.

Après avoir obtenu le poinir mm' qui représente le centre de la sphère, on joyidria ce point avec un quelconque despoints donnés qui, d'après la question, appartiennent à la

PL. 13. PERPBNDIGULARITÉ. 57

surface, et la droite am, a'm* sera le rayon de la sphère» * Cherchant enfin (52) la longueur de ce rayon, on obtiendça la ligne km\ avec laquelle, des points m et m' comme centres, on décrira deux cercles qui seront les projections verticale et horizontale de la sphère.

Il sera bon,' avant de décrire les deux cercles dont je viens de parler, de s'assurer de l'exactitude des constructions. Pour cela, on joindra le point m avec chacun des quatre points donnés, ce qui donnera quatre rayons dont on cherchera la longueur : et si ces longueurs sont égales, ce sera une preuve suffisante que le point obtenu est à égale distance des quatre points donnés, et que, par conséquent, il est le centre de la sphère dont la surface passerait par ces quatre points.

122. Pour déterminer le point tn, nous avons fait usage des plans perpendiculaires sur les milieux des trois cordes ' ai, *c, cd ; mais si ces plans n'étaient pas commodément placés pour l'exécution de l'épurQ, il serait facile d'en trouver d'autres. En effet, si l'on joint par des droites et de toutes les manières possibles les quatre points donnés, on aura six cordes a6, ac^ ad^ bc, M, cd. Or, si par le milieu de chacune de ces six cordes on mène un plan qui lui soit perpendiculaire, on obtiendra six plans passant par le centre de la sphère cherchée ; comme trois de ces plans suffisent pour déterminer le centre, on choisira ceux qui donneront les constructions les plus simples.

Si les quatre points étaient dans un même plan, les cordes qui joindraient ces points seraient aussi contenues dans ce plan. Les plans menés perpendiculairement à ces cordes seraient, ainsi que leurs intersections, perpendiculaires au plan qui contiendrait les points donnes. Le centre de la sphère serait infiniment loin, et cette sphère ayant un rayon infiniment grand, sa surface se confondrait avec le plan passant par les points donnés.

Enfin, si ces quatre points, étant dans un même plan, se trouvaient situés sur la circonférence d'un cercle, on le reconnaîtrait, parce que les plans perpendiculaires sur les milieux des cordes passeraient tous par une même droite perpendiculaire au plan de ce cercle, et qui en contiendrait

1^8 PËRPSNDIGULARIXÉ. PL. 13.

• le centre, de sorte que le problème' serait indéterminé, et que l'on pourrait prendre lel point de cette droite que Ton voudrait pour centre de la sphère demandée, et pour rayon la distance de ce point à Tun des points donnés.

On voit que dans ce cas le rayon pourrait être aussi grand que l'on voudrait, mais qu'il ne pourrait pas être plus petit que celui du cercle qui passerait par les points donnés.

. 123. Nous avons résolu la question précé'dente d'une manière générale, mais assez souvent sans rien changer aux données d'une question ; on peut, par quelques considérations particulières, en rendre la solution plus simple.

Pourvu que Ton ne change rien aux données d'une question, il n'y aura rien non plus de changé dans le résultat, et l'on doit rester le maître de choisir le système de plan de projection que l'on jugera le plus favorable à Texécution de l'épure ; on peut même dire que si le but de la théorie est de généraliser les idées, en dégageant les questions principales de toutes les circonstances particulières, Tart du praticien, au contraire, consiste à profiter de ces mêmes circonstances pour résoudre le cas particulier dont il s'occupe, de la manière la plus simple.

124. Ainsi, dans le problème précédent, on conçoit que, sans rien changer à la position relative des quatre points donnés, on peut prendre, flg. 98, pour l'un des plans de projection, celui qui contiendrait trois de ces points, a, b, c, par exemple, et pour second plan de projection, un plan perpendiculaire au premier et parallèle à la droite cd^ qui joindrait l'un des trois premiers points avec le quatrième. Par ce moyen, les deux plans p et p' se couperont suivant une droite s perpendiculaire au plan abc, et le troisième plan p^' étant perpendiculaire au second plan de projection, sera percé par la droite s en un point mm' qui sera le centre de la sphère. Quant au rayon {am, ahn'), on en cherchera la lopgueur par le moyen connu (52).

PL. 13. RABATTEHEHTS. 59