CHAPITRE III

Rabattement».

125. Nous avons dit au n^ 52 que, pour avoir la grandeur de la portion de ligne droite qui joint deux points, il fallait faire tourner celte ligne jusqu'à ce qu'elle soit parallèle à l'un des plans de projection.

L'opération que je viens d'énoncer, et que l'on nomme rabattement^ a servi dans la solution de plusieurs questions précédentes.

L'importance que les rabattements doivent acquérir par la suite dans les applications de la Géométrie descriptive doit nous engager dès à présent à présenter quelques considérations générales sur ce genre d'opération.

126. Je ferai d'abord remarquer qu'une épure, quelle qu'elle soit, n est elle-même autre chose que le résultat d'un rabattement.

En effet, les deux plans de projection devant toujours faire un angle dans l'espace, ce n'est qu'au moyen d'un rabattement que l'un de ces plans a pu devenir le prolongement de l'autre.

Nous avons supposé (8) que le plan horizontal avait tourné autour de la droite ÂZ, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le prolongement du plan vertical ; on peut tout aussi bien admettre que c'est le plan vertical que l'on a rabattu siir le prolongement du plan horizontal. Cette dernière supposition sera même plus naturelle, toutes les fois que l'épure sera placée sur une table, comme cela est nécessaire pour l'exécution du travail graphique.

lies plans de projection n'étant autre chose que des conceptions géométriques destinées à faciliter la solution des problèmes, fls sont toujours à la disposition de celui qui opère, et par conséquent on devra tâcher de choisir ces plans, de manière que les opérations qui eu dépendent soient les plus simples possible.

Or, il est évident que, dans les exemples des rv^ 52 et sui- . vants, on aurait évité le rabattement de la droite MN, si au lieu du plan vertical qui contient la ligne AZ, on avait pu prendre un plan vertical de projection parallèle à MN; parce qu'alors la droite donnée mn,m'n', aurait été projette sur ce plan dans sa véritable grandeur; mais on ne pourra pas toujours prendre dès l'origine le plan de projection le plus simple; c'est-à-dire que le plan qui serait le plus commode pour résoudre une certaine partie delaquestion ne sera pas toujours celui qui conviendrait le mieux pour une autre opération dé; pendant du même problème. Dans ce cas, on sera quelquefois conduit à prendre autant de plans de projections différents qu'il y aura d'opérations particulières dans la question principale, et toutes ces projections auxilaires devront être rabattues sur l'épure, chacune selon sa position.

127. 11 existe d'ailleurs une classe particulière de questions qui peut presque toujours être'résolue avec avantage par le moyen des rabattements.

On sait que les questions de Géométrie sont de deux espèces : les unes appartiennent à la Géométrie plane, et les autres dépendent de la Géométrie à trois dimensions.

On dit qu'une question appartient à la Géométrie plane, lorsqi^e les données, les résultats, et toutes les lignes d'opération sont dans un même plan.

Or, toutes les fois que, parmi les questions particulières qui, par leur combinaison, devront concourir à la solution d'une question principale, il y aura quelques constructions qui devront être exécutées dans un plan oblique, on rabattra ce * plan sur l'épure; puis, après avoir exécuté les opérations nécessaires, on ramènera le tout à la place qu'il doit occuper dans Tespace.

La première chose à faire, lorsqu'on veut exécuter un rabattement, c'est de choisir la droite autour de laquelle on veut faire tourner le plan que Ton rabat.

Nous donnerons à celte droite le nom d'axe ou de charnière de rabattement, et nous la supposerons toujours immobile.

128. Les rabattements ayant principalement pour but d'obtenir certaines ligures planes dans leur véritable grandeur, il faut que la droite prise pour axe soit parallèle à Vun des plans de fjrojection; car si on faisait tourner une flgure plane autour ù une droite qui ne satisferait pas à la condition que nous venons, d'énoncer, la flgure que Ton ferait tourner, ne pouvant jamais être parallèle au plan de projection, ne se projetterait jamais sur ce plan dans sa grandeur véritable.

Lorsque l'on fait un rabattement, chaque point décrit dans l'espace un cercle qui a son centre sur l'axe de rotation, et qui a pour rayon la distance de cet axe au point que l'on rabat.

Les notions précédentes étant admises, nous allons compléter cette théorie par quelques exemples.

129. Supposons, flg. 99, pi. 14, que Ton veuille rabattre le point m, m' sur le plan horiaontal qui contient la droite ab, a'b'el quel'on aitchoisi cette droite pour l'axe de rabattement.

Dans ce mouvement, le point -mm' ne quittera pas le plan vertical, qui a pour trace la droite mm^" perpendiculaire sur ab; et pour connaître la place que le point M de l'espace doit venir occuper sur le plan horizontal qui contient la droite au, il snfDt de chercher la grandeur de la droite tno, mV, qui n'est autre chose que le rayon de l'arc de cercle parcouru par le point mm\ dans son mouvement autourde la droite ab, a'b\

Pour obtenir la grandeur de la droite mo, m'o^, il faudra opérer, comme nous l'avons dit aux no» 52, 53, etc.; c'«st-àdire que l'on fera tourner cette ligne autour de rhorizontâle projetante du point o.

Le point mm* décrit alors un arc de cercle m'm^' parallèle au plan vertical de projection, et qui, par cette raison, doit avoir sa projection horizontale mm'" parallèle à la ligne AZ.

Par suite de cette opération, on aura m'^^o pour la grandeur de la droite mb, m'o\ et par conséquent pour la distance du point mm^ à la droite ab, a'b^\ de sorte qu'en ramenant m'"o dans la position m'^'o, le point m'"' sera la place occupée par le point mm' rabattu en tournant autour de aà, sur le plan horizontal qui contient cette droite.

130. Il est très-essentiel de remarquer que, dans l'opération précédente, il y a deux rabattements. L'un, qui se fait autour de ab, i pour but de rabattre le point wm' sur le plan horizontal a'b'.

Le second, qui a lieu autour de Thorizontale projetante du point 0, sert à déterminer la dislance du point mm' à la droite a6, que l'on a prise pour axe du rabattement.

131. L'opération serait bien plus simple, si la droite que l'on prend pour axe du rabattement était perpendiculaire à l'un des plans de projection.

En effet, dans ce cas, figr. 100, l'arc de cercle parcouru par le point mm' autour de la droite aa' sera parallèle au plan vertical de projection , et la placedu point mm', rabattu en m"' sur le plan horizontal a'm', sera déterminée directement, puisque l'on connaît la distancea'm'de ce point àladroiteaa^

Nous conclurons de ce qui précède,

1* Que les conditions essentielles pour qu'une droite puisse servir d'axe de rabattement, c'est qu'elle soit parallèle à l'un des plans de projection et située dans le pian que Con veut rabattre. ' ,

2** Que les constructions seront encore plus simples lorsque Taxe du rabattement sera perpendiculaire à l'un des plans de projection.

Or,^ans un plan incliné quelconque, on pourra toujoiirs choisir un axe parallèle à tel plan de projection que Ton voudra ; mais on ne pourra obtenir une perpendiculaire au plan de projection que dans un plan qui satisferait lui-même à cette condition*