Cependant ce résultat pourra toujours être obtenu en
prenant un plan auxiliaire de projection perpendiculaire au plan que Ton veut rabattre.
En effet, reprenons la question que nous avons déjà résolue au n** 129, et proposons-nous, comme alors, de rabattre le point mm' sur le plan horizontal a'6',' en le faisant au tour de la droite ab, a'b'.
Si nous remplaçons le plan vertical de projection par le plan auxiliaire /?om'^ et que nous concevions ce dernier plan rabattu sur l'épure en tournant autour de sa trace horizontale cm^^, le point mm' aura pour nouvelle projection verticale le point m'', que Ton obtiendra en faisantmm''=î;m', elladroite liorizontale ah, a'V étant perpendiculaire au nouveau plan vertical de projection jocm"", elle se projettera sur ce plan par un seul point o'',de sorte que le chemin parcouru par le point mm' sera représenté sur le nouveau plan de projection par l'arc de cercle m"m"\ ce qui donnera m^" pour la place que vient occuper le point mm' rabattu sur le plan horizontal a'b'.
133. Cette disposition d'épuré contribue beaucoup à faire comprendre Tenchaînement des idées, parce qu'elle permet de projeter les arcs parcourus par chacun des points que Ton fait tourner.
On devra aussi éviter, autant que possible, de faire un rabattement sur une partie de l'épure qui serait déjà occupée p.ar un autre rabattement ou par une projection.
Les principes que nous venons d'exposer, et qui seront fréquemment employés par la suite, correspondent au problème connu dans l'analyse algébrique sous le nom de trans^ formation de cooi' données. Là, comme ici, le choix des axes ou des plans coordonnés est une des parties les plus importantes de la solution des problèmes.
Nous allons reprendre, comme exercices,, quelques-unes des questions qui ont été résolues dans le chapitre précédent.
134. Déterminer la distance d'un point à un plan. Supposons qu'il s'agisse de déterminer la distance du
poifit^a/ au plan p, fîgr. 102.
l'* opération. On construira d'abord le plan vertical p' perpendiculaire sur la trace horizontale du plan p, et par conséquent perpendiculaire à ce plan.
Le plan p^ contiendra la perpendiculaire abaissée du point aa' sur le plan p. '
2« opération. On fera tourner le plan p' autour de sa trace verticale, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan vertical de projection.
Dans ce mouvement, le point aa' viendra se placer en a^\ et le point s en s^\ après avoir décrit deux arcs horizontaux dont les centres o et o' ont tous deux le point o pour projection horizontale.
3* opération. On tracera la ligne vs^\ qui sera Tintersection du plan donné p par le plan auxiliaire p'; et la droite a'^fe^', perpendiculaire sur vs\ sera la distance du point aa^^ au plan p.
En effet, les deux plans p et p' étant perpendiculaires entre eux, la droite a'^b^\ située dans le plan p' et perpendiculaire à l'intersection vs^\ est aussi perpendiculaire au plan p, et mesure par conséquent la distance de ce plan au plan donné aa\
Si on voulait avoir la projection verticale de la perpendiculaire a'(è'^ on ramènerait cette ligne dans le plan p, ce qui adonnerait ab'.
Il est évident qu'au lieu du plan vertical p, où aurait pu employer un plan perpendiculaire à la trace verticale du plan donné. Dans ce cas on rabattrait ce plan sur le plan horizontal.
