Mesurer la (jOstance de deux droites quelconques

Cette question, que nous avons déjà étudiée au n^ 120, peut être -résolue par un double rabattement. En effet, les droites données étant exprimées par B et par D, si Tune d'elles dd^ ûf. 1, pi. 15, était perpendiculaire au plan horizontal de projection, il est évident que la droite mn, m'n' perpendiculaire sur les droites bV et dû! serait projetée ^ur le. plan horizontal dans sa véritable grandeur mn.

Or il est facile d'obtenir ce résultat en faisant tourner les deux droites données jusqu'à ce que l'ijine d'elles soit perpendiculaire à l'un des deux plans de projection. Pour y parvenir, on pourra opérer de la manière suivante :

1'® o'pèraiioKx, flg. 3. On fera tourner la droite D de l'espace autour de la verticale projetante Ua' de l'un quelconque de ses poinXs.

Dans ce mouvement, le point V^ décrira un arc de cercle horizontal vv'\ v'v'", et lorsque la droite D sera parallèle au plan vertical de projection, sa nouvelle projection horizontale d" sera parallèle à la ligne AZ, et les points v'' et v'" seront les nouvelles projections du point V.

2* opération, flg. 4. On fera tourner ensuite la droite D ^utour de Thorizontale projetante ss' de l'un de ses points, et Ton arrêtera le mouvement lorsque cette droite D sera perpendiculaire au plan horizontal de projection.

Dans ce mouvement le point 0 décrira l'arc o'o"\ oo".

La nouvelle projection horizontale de la droite D sera réduite au point d"", et sa nouvelle projection verticale d^ sera perpendiculaire à la ligne AZ.

Ainsi, flg. 5, par deux mouvements de rotation, Tun autour d'une verticale aa' et l'autre autour d'une horizontale projetante «/, on pourra toujours, amener une droite quelconque D dans une position perpendiculaire au plan horizontal de projection.

Par des .opérations analogues, oh pourra, si on le préfère, faire tourner la droite donnée jusqu'à ce qu^elle soit perpendiculaire au plan vertical de projection.

139. Épure. Si l'on a bien compris ce qui précède, il sera facile d'exécuter Tépure qui est tracée sur la figure 2 ; ainsi les droites données étant bh' et dd' :

1" opération. Par le point suivant lequel se rencontrent les projections horizontales b el d des deux droites données B et D, on tracera la verticale aa\ Cette droite coupera les deux lignes données suivant des points qui seront projetés sur le plan vertical par e'- et & ; or si l'on fait tourner la droite D autour de la verticale aa', le point V viendra se projeter en vV après avoir décrit l'arc horizontal vv^\ v'v''\

2* opération. On joindra le point v'" avec c' et v" avec c, de sorte que les deux droites ^i''^ el iZ"' seront les nouvelles projections de la droite D, ramenée dans un plan parallèle au plan vertical de projection.

Mais, si nous admettons que la droite B ait été entraînée dans le raouArement précédent, de manière toutefois que ,les deux droites données aient toujours conservé entre elles la même position relative, tous les points de ces droites auront décrit des arcs semblables, et ceux de ces points qui seront à égale distance de l'axe aa' auront décrit des arcs égaux.

Par conséquent, si l'on prend sur la droite B un point U dont la projection horizontale u serait située sur le cercle vv" \ l'arc Mw'^, u'u'" décrit par le point U sera égal à l'arc de cercle vv" , v'v'" décrit par le point V, de sorte qu au moment où ce dernier point sera venuse projeter env'v'", lepoint Use projettera par les points u'\u!'\ et joignant le point u"u'" avec ee\ lesdroites h" et V seront les nouvelles projections de la droite B.

i^ Par le point s' suivant lequel se rencontrent les nouvelles projections verticales h"' et d'" des deux droites données, on tracera l'horizontale projetante s' s.

Cette droite coupera la droite D en un point dont la projection horizontale sera d^, et la droite B en un point qui n'a pas pu être placé sur l'épure.

68 ' RABATTEMENTS. PL. i5.

• Or, si Ton fait tourner la droite D autour de l'horizontale projetante ss\ le point oo' viendra se projeter en o^^^ après avoir décrit l'arc de cercle o'o^^', oo'\ parallèle au plan vertical de projection. La droite D, devenue verticale, se projette alors sur le plan horizontal par un seul point d*^, et sanouvelle projection verticale d" sera perpendiculaire à la ligne AZ.

Mais, pendant que le point 0 de l'espace a décrit l'arc oo^\ o'i>"\ le point E, situé sur le même cercle, a dû décrire l'arc eV ('gai à oV", et lorsque le point E est venu se projeter sur le plan vertical en e!'\ sa nouvelle projection horizontale est devenue e".

Pour remplacer la projection horizontale du point suivant lequel la droile B rencontre l'horizontale projetante ssf ^ on choisira sur la droite B un point quelconque u"u"\ et Ton remarquera qu'au moment où la droite B se projette sur le plan vertical par la droite 6^, le point U dojt se projeter eu t/^w'^, après avoir décrit l'arc vertical u'"\C^ u"\r. ,

4* Par suite du mouvement que nous venons d'indiquer, la droite B est projetée par les droites b'^b", et la droite D, perpendiculaire au plan horizontal de projection, est projetée sur ce dernier plan par le point cZ"'; de sorte que \^ droite d'^n*"" perpendiculaire sur b"^ sera la projection horizontale de la perpendiculaire commune aux deux droites données B et D.

Si l'on n'a pas d'autre but que de connaître la distance de ces deux droites, on peut considérer l'opération comme terminée : mais si l'on veut obtenir les deux projections de la perpendiculaire comniune, on y parviendra facilement en construisant :

1** Li projection vertirale m^n'' de la droile obtenue w'V;

2*» Les projections m"n", w/"n"'^ qui appartiendraient à la même droite si l'on faisait revenir les ligues B et D dans leurs positions b%'" et d V ;

3" Enfin, les projections mn et mV de la droite qui représenterait la perpendiculaire commune, si les deux droites données B et D étaient ramenées à leurs positions primitives.