Au lieu de faire tourner les droites données dans l'es

pace jusqu'à ce que l'une d'elles soit perpendiculaire à l'un des

plans de projection, on préfère ordinairement, comme nous l'avons dit au m 132, introduire un nouveau plan de projection perpendiculaire à Tune des droites données. Ainsi :

l^ opération, fig. 6. On construira où Ton voudra un plan P perpendiculaire à la droite dd'.

2' On prendra un pian auxiliaire de projection YA'Z' vertical et parallèle à la même droite dd^.

3* On prendra sur la droite dW deux points quelconques aa\ nn' que Ton projettera sur le plan YAT.

On obtiendra par ce moyen la droite d^^ pour la proj< ction de la droite D sur le plan YAT et la troisième trace du plan P sera perpendiculaire sur d^\

4** On rabattra le plan P sur Tépure en le faisant tourner autour de sa trace horizontale, et Ton obtiendra le point c^'" pour la projection de la droite D sur le plan P.

5' On choisira sur la droite B deux points quelconques t/w', ' vv\ et Ion construira les projections. w'^ et v^^ de ces deux points sur le plan YAT.

6* On construira les projections u'" et v"' des mêmes points ^ sur le plan P rabattu.

7* La droite n'"m'", perpendicîulaire sur 6'^', sera la véritable longueur de la perpendiculaire commune aux deux droites données B et D.

8* Si Ton veut retrouver lès projections de la perpendiculaire obtenue, on ramènera le point m'" en m^^ et Ton construira la droite rn^^n^^ parallèle à la troisième trace du plan P et par conséquent parallèle à ce plan.

9* La projection horizontale mn se déduira facilement des deux projections auxiliaires m'^i'^, m"^n"\

10" Enfln, la projection verticale mV s'obtiendra en- élevant des perpendiculaires par les points m et n de la projection horizontale, et Ton fera bien de s'assurer que les hauteurs sont tes mêmes sur les deux plans verticaux de projection YA'Z et YA'Z'.

141. La disposition d'épuré quç nous venons d'employer étant celle qui convient le mieux pour les grandes applications pratiques, j'indiquerai encore quelques exemples de cette méthode.

142. Une droite a'c', flg. 109., pi. 16, étant donnée dans vn plan oblique p, construire un carré qui aurait pour côté la droite donnée et qui serait situé dans le plan p.

Cette question est évideniment du genre de celles dont nous avons parlé au n« 127. Ainsi :

1" opération,.On rabattra le plan donné en le faisant -tourner autour de sa trace horizontale.

Par suite de ce mouvement, la droite donnée deviendra a V-

2* On construira un carré qui ait pour côté cette droite.

3** On ramènera le plan p à sa place, ce qui donnera acœz pour la. projection horizontale du carré demandé.

4* On déduira la projection verticale en employant le principe du n° 57.

Les constructions seront simplifiées en prenant comme ci-^ - dessus un plan auxiliaire de projection YA'Z' perpendiculaire à la trace horizontale du plan donné, parce qu'alors les arcs de cerclés parcourus par les différents points du plan p, lorsque l'on rabat ce plan ou qu'on le ramène à sa place, se ^ projetteront par des arcs de cercles sur le plan auxiliaire YA'Z'(13:2). • ^

On fera bien aussi, comme étude, de vérifier les points où ^ les côtés prolongés du carré rencontreront le plan horizontal, le plan vertical, ou le plan auxiliaire de projection.

143. Dans la figure 107 on s'est proposé de construire les deux projections d'un cercle situé dans un plan parallèle à la droite AZ.

Pour y parvenir, on a d'abord rabattu le plan donné, on a décrit le cercle, et l'on a ensuite ramené le tout à sa place.

Les arcs de cercles parcourus dans ces différentes opérations sont projetés par des arcs de cercles sur le plan auxiliaire p'.

La tangente a été construite dans le rabattement, d'où on l'a ensuite ramenée à sa place.

144. Dans la pratique, les rabattements des plans .ne se font pas autour de leurs traces, qui ne sont presque jamais situées dans les limites des épures. Pour avoir une figure plane en vraie grandeur, il suffit de la faire tourner jusqu'à

-ce qu'elle soit parallèle à l'un des plans de projection, et dans ce cas, on pourra toujours prendre pour axe de rabattement une droite quelconque, située dans le plan que Von veut rabattre, et parallèle au plan de projection sur lequel on veut projeter la figure rabattue.

145. Supposons, par exemple, que Ton veut construire les deux projections d'un cercle passant par trois points donnés -ao;', c&, oq\ fig. 106, on tracera les droites {ac, a'c') [ao.a'o') (co, &o') que Ton coupera par un plan horizontal quelconque K'H'. La droite um que l'on obtiendra sera horizontale et située dans le plan qui contient les trois points donnés.

On projettera ces points en o", a" et c" sur le plan verli^ •cal KH perpendiculaire à la droite um.

On fera tourner ensuite le plan des trois points donnés autour de Thorizontale um^ u^m\ ce qui donnera a^^\ o"' et c"' par lesquels on fera passer une circonférence de cercle dont on ramènera tous les points en les projetant successivement sur les droites DK et DS, d'où il sera facile de déduire leurs projections horizontales et verticales.

La hauteur de chacun des points de la projection verticale au dessus de K'H' sera égale à la hauteur du point correspondant de DS au dessus de la droite KH. On peut vérifier les projections de chaque point en ramenant le rayon c )rrespon - ^ant comme cel^ est indiqué pour les points oo'xoc',

146. Avant de tracer les projections du cercle on fera bien -Ae construire un certain nombre de tangentes. Ainsi, par exemple, pour obtenir la tangente au point aa\ on la construira d'abord au point a'" sur la figure rabattue, ce qui déterminera le point e sur la charnière de rabattement, puis on tracera la tangente ea et sa projection verticale e'a'.

Si l'on n'a pas sur l'épure le point suivant lequel la tangente rencontre 1 axe de rabattement, on ramènera tout autre point ; ainsi, pour la (angente au point xx^^ on a ramené le point v"' suivant lequel elle coupe le prolongement du diamètre horizontal du cercle.

On pourra aussi ramener le point r"' suivant lequel la tangente du point a."' est occupée par celle du point x^[\ etc.

En exécutant cette épure sur une grande échelle, on pourra, comme exercices, construire un grand nombre de^ vérifications qui n'ont pas été conservées.

147. Si les points donnés étaient situés dans un plan vertical P, fig. 110, l'opération serait encore plus simple et le rabattement se ferait autour d'une verticale quelconque située dans le piai}. qui contient les points donnés.

146. Sur la figure 108 le plan du cercle est perpendiculaire à la ligne AZ.

149. Pour ne rien laisser à désirer sur la question importante des rabattements, j'indiquerai une dernière méthode qui est en grande faveur daDS les écoles et dans les examens^ quoiqu'elfe soit peu commode, et par conséquent très-rarement employée dans la pratique ; lorsqu'il s'agit surtout de rabattre un grand nombre de points.

Soit, fig. 1, pi! 17, le point aa' que l'on veut faire tourner autour de la droite horizontale oo'^ jusqu'à ce que le plan qui contient le point et la droite soit venu prendre une projection horizontale P.

On tracera la droite ao, a'& parallèle au plan vertical de projection, ce qui déterminera le . triangje awo , rectangie efi Xi. Or, dans ce triangle, on connaît le coté horizontal ou qui appartient à la charnière de rabattement cc'^ et l'hypo^ ténuse aV, qui est projetée en vraie grandeur sur le plan vertical de projection, puisqu'elle est parallèle à ce plan. Il sera donc facile de construire le triangle rabattu oua"^ ea décrivant l'arc de cercle mn avec une ouverture de compas oa" = o'a'.

150. La figure 2 contient le rabattement du point aa^^ que Ton a fait tourner autour de la droite ee', parallèle au plan vertical de projection.

151. Sur la figure 3 on s'est proposé de construire un cercle ayant pour centre un point donné cd et qui soit tangent