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à une horizontale donnée bb'. Le centre étant rabattu en </\ en opérant comme ci-dessus, on décrira le cercle, dont il sera facile d'obtenir les projections en ramenant les rayons, ou d'autres lignes passant par les points que Ton veut ramener ; les opérations n'ont été conservées que pour le point œ^'xx^ et pour la tangente qui lui correspond.

162. Sur la figure 4 le plan P est rabattu en tournant autour de sa trace horizontale. Il suffit, dans'ce cas, de rabattre un point quelconque ua' de la trace verticale.

Enfin, sur la figure 5, le plan P est rabattu sur le plan vertical de projection.

Voici encore quelques exercices sur les rabattements.

153. Plan oblique de projection. Fig. 6. Un point étant donné par ses deux projections a et a', on se propose de construire la projection a''' de ce point sur un plan P, puis de rabattre ce dernier plan sur l'épure.

Première méthode (140). On introduira un plan auxiliaire de projection Y'A'Z' perpendiculaire à la trace horizontale du plan P, et par conséquent perpendiculaire à ce plan.

On rabattra le plan Y' AT, en le faisant tourner autour de sa trace horizontale A'Z'. Par ce mouvement, la verticale A'Y' viendra se placer en A'Y'', et si Ton fait AW égale à A'n/, la droite ^''n" sera la troisième trace du plan P : car il ne faut pas oublier qu'un plan doit avoir autant de traces qu'il y a de plans de projection.

L'épure étant disposée comme nous venons de le dire, on construira la troisième projection a'' du point donné aa\

Cette projection sera déterminée en abaissant du point a une perpendiculaire sur A'Z' et portant sur cette perpendiculaire une quantité c'V égale c'a', qui exprime la distance du point donné au plan horizontal de projection-.

La perpendiculaire abaissée du point aa^^ sur le plan P per cera ce plan en un point projeté par t" sur le plan auxiliaire Y"A'Z", et lorsque Ton rabat le plan P en le faisant tourner autour de sa trace horizontale w". Le pied de la perpendiculaire abaissée du point aa" décrit un arc de cercle qui a le point z pour centre.

Cet arc, parallèle au plan auxiliaire de projection Y'A'Z', se projette sur ce plan par i*'i"^' et la drbite i'"a"\ perpendiculaire sur A'Z', détermine sur le prolongement de az le point a''' qui est la projection du point aa' sur le plan P rabattu. . En opérant de la même manière, 6n 'pourra projeter sur le plan P tout autre point ou ligne de l'espace. '

Ainsi, les points ^w^ uu' étant projetés d'abord ea v" et u" sur le plan auxiliaire Y'^AT, on en déduira facilement les projections v^'' et u'" des mêmes points sur le plan P ; de sorte que la droite v^'u'" sera la projection de la droite vu, t^u' sur le plan P rabattu.

On pourra également, comme exercice ou comme vérification, obtenir sur le. plan P la projection e'" du point e, suivant lequel la droite vu, v'u' percerait le plan horizontal ' de projection ou le point r''\ projection du point r^', suivant lequel la même droite est coupée par le plan P.

Les arcs de cercle décrits du point A' comme centre ont pour but de rappeler que les projections d'un même point doivent être à la même hauteur sur les deux plans verticaux Y'A'Z', Y^'A'Z' ; mais il faut bien remarquer que ces arcs ne . représentent pas le chemin parcouru dans l'espace par cTiacun des points de la droite AT lorsque l'on rabat cette ligne en A'Y'^ : car il est évident, par exemple, que le point n' ne peut venir se placer en n" qu'en décrivant deux arcs de cercle dont le premier, perpendiculaire à la ligne A'Z, et projeté par AV sur le plan vertical Y' A'Z, apour but de ramener le point n à la place qu'il occuperait dans- l'espace si le plan Y'AZ était revenu à sa position perpendiculaire au plan horizontal de projection, tandis que si Ton rabat le plan Y' A'Z', le point n/i' décrit un second arc perpendiculaire sur A'Z' et projeté sur l'épure par A'/i".

154.. Deuxième méthode. On peut rabattre le plan P en opérant comme nous l'avons dit au n*» 152.

Cela étant fait, supposons que nous voulons obtenir la projection a'" du point aa\ nous remarquons que la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan P est l'intersection des deux plans projetants P^ et Pa-

Or, le premier de ces plans étant perpendiculaire à la trace

horizontale ss^\ coupe le plan P suivant une ligne a^ qui, dans le rabattement, se confond avec la trace -horizontale du planP^.

Ensuite le plan Pa perpendiculaire sur la trace verticale ^n' du plan P, coupe ce plan suivant la droite aV qui devient x'"a''' perpendiculaire sur la trace sx'^' du plan P rabattu. On fera donc sx^^' égal à sœf; de sorte que les deux droites aa'^' perpendiculaire sur ss^^ et x'"a'" perpendiculaire sur sx^'* se couperont suivant le point a'^' qui sera la projection du point aa' sur le plan P rabattu.

En opérant de la même manière, on déterminera les points \jJ^\ v"\ et par conséquent la droite b'" qui est la projection de la ligne bV sur le plan P rabattu.

155. Comme application du principe précédent nous reprendrons le problème que nous avons déjà résolu de plusieurs manières aux numéros 120, 138 et 140.

Les droites dont on veut obtenir le distance étant èô' et dd\

figr. 1, pi. 18,

1** On construira le plan P perpendiculaire à Tune des droites données dd' par exemple ;

2» On rabattra le plan P en opérant comme nous l'avons dit aun® 152;

3° On ramènera le point u' en u" par un arc de cercle décritdu point .ç comme centre,. ou, ce qui revient au même, on fera su^ égal ksu' \ \ '

4° On tracera u"d" perpendiculaire sur la trace so" du plan P rabattu, et l'intersection de la droite u"n" avec la droite d donnera lé point d'^ pour la projection de la droite D sur le plan P rabattu (154) ;

5° On choisira sur la droite bV deux points quelconques aa' et ce", puis, en opérant comme nousT^ivons dit au n° 152, on obtiendra les projections a" et c" de ces deux points sur le plan P rabattu ; cette opération déterminera b" projection de la droite B sur le plan P ;

6° La droite d'W, perpendiculaire sur b"^ sera la projection de la perpendiculaire commune aux droites données BetD;

T La droite MN de l'espace, étant perpendiculaire sur la

droite D sera parallèle au plan P, d où il résulte que sa projection d"m" ou n"m" sera la distance des deux droites donne^es;

8*^ Si Ion vçut obtenir les projections verticale et horizontale de la droite MN, on ramènera d*abord le point 9n/^en m par la droite m"m^ perpendiculaire à la trace horizontale du plan P ;

9** On ne pourra pas employer le ijiême moyen pour obtenir le point n sur la projection horizontale de la droite d.

Mais, si dans le plan P rabattu on construit la droite vV parallèle à u"s, qui dans le rabattement représente la trace verticale du point P, il est évident qu'en ramenant ce plan à la place qu'il doit occuper dans l'espace, la droite v"r i3aralièle à la trace verticale u"s du plan P aura pour projection horizontale la droite ru, parallèle à la ligne AZ ; de sorte que la droite ve sera l'intersection du plan P par le plan qui contient la droite D, et la perpendiculaire commune MN.

Or cette dernière ligne, parallèle au plan P, sera par conséquent parallèle à la droite ve ; de sorte qu'en traçant mn parallèle à ev, on déterminera le point n sur la projection horizontale de la droite D. .

10« La projection verticale m^n' se déduira, facilement de da projeclion horizontale mn.

156. J'ai recommencé la construction précédente sur la figure 2, avec- cette seule différence, qu'au lieu de projeter les droites données sur un plan perpendiculaire à celle que nous avions nommée B dans l'exemple précédent, je les ai projetées toutes deux sur un plan perpendiculaire à la seconde droite.

Mais, pour ne pas répéter l'analyse du problème et pour que l'explication précédente puisse convenir à la figure 2, j'ai désigné par bb' la droite qui avait été nommée D, et par c/d' celle que nous avions nommée B.

Par ce moyen, la figure 2 peut être considérée comme une traduction mo^ à mot de la figure 1, dont elle ne diffère que par la disposition des lignes d'opérations, et si Ton exécute sur la figure 2 tout ce que nous avons dit de la figure 1, on pourra reconnaître que, malgré la différence apparente .des

deux épures, les opérations nécessaires pour arriver au résultat sont exactement les mêmes et doivent être exécutées dans le même .ordre.

1 Dans cette seconde épure on a changé la position de la ligne AZ, ce qui revient à faire mouvoir les plans de projection parallèlement à eux-mêmes ; or, tant que Ton conserve la position relative des données, il ne doit y avoir rien de changé dans le résultat (26).