CHAPITRE IV

lL.ef» fftnsles.

ANGLES DES LIGNEES.

157. Étant donné, fig. 111, pi. 19, les projections de deux droites (aa' bb'), on demande de construire r angle que ces deux droites font entre elles.

On cherchera d'abord les points (ce', dd') où les droites données vont percer le plan horizontal ; puis, prenant la droite cd pour axe, on fera tourner le plan des deux droites données autour de cette ligne, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan horizontal de 'projection. Dans ce mouvement, le sommet de l'angle que les droites font entre elles décrira un cercle dont le centre sera placé en uu' sur Taxe de rabattement. Le plan de ce cercle étant vertical, il aura pour projection horizontale la droite uss'^\ et pour rayon la véritable grandeur de la droite su^ s'u'. On cherchera (52) cette longueur représentée sur l'épure par la ligne us'\ et on la portera de u en s"^ ; ce qui donnera la position que le sommet de l'angle viendra prendre sur le plan horizontal. Enfln, si l'on joint le, points''' avec cetd, on aura l'angle demandé cs'"d rabattu sur le pian horizontal.

La construction précédente nous a donné l'angle aigu que les deux droites font entre elles ; si l'on Voulait avoir l'angle obtus, il suffirait de prolonger un des côtés de J.'angle obtenu.

Si les points c, d, étaient hors des limites de Tépure, on pourrait faire le rabattement autour de toute autre ligne horizontale, telle que eo, eV, située dans le plan de deux lignes données.

On pourrait encore, si cela était plus commode, prendre pour axe du rabattement .une ligne parallèle au plan vertical ; dans ce cas, on ferait tourner le plan de l'angle jusqu'à ce quil soit parallèle au plan vertical de projection.

158. Dans la figura 112, on a cherché l'angle formé par les lignes aa' et bh' ; mais comme la première de ces lignes était parallèle au plan horizontal, il était naturel de la prendre pour axe du rabattement. On a pris sur la droite bV un point quelconque mn' ; puis, après avoir cherché laC véritable distance tim" de ce point à la droite sa^ on a porté cette distance de w en m"\ ce qui a donné la position du point m rabattu sur le plan horizontal qui contient la ligne O'O'' ; joignant enfin m^" avec 5, on a obtenu m"'su pour la grandeur de Tangle cherché.

159. Dans la figure 113, Tun des côtés de Tangle cherché est vertical. Prenant ce côté aa^ pour axe, on a fait tourner le plan des deux droites jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans sa position au. Alors l'angle est projeté en a'^V selon sa véritable grandeur.

160. Dans les exemples précédents, nous avons supposé que les droites données se coupaient ; mais dans la Géométrie descriptive comme dans l'analyse a|gébrique, on considère rinclinaison de deux droites indépendamment de leur intersection. D'après cela, si l'on demandait de construire' l'angle que font entre elles deux droites qui ne se coupent pas, on prendrait un point quelconque sur, Tune d'elles ; puis, après avoir mené par ce point une parallèle à l'autre ligne, l'angle que l'on formerait par ce moyen représenterait rinclinaison des deux lignes données ; on chercherait sa grandeur par la construction précédente.

PL. i9. LES ANGLES. 79

161. Partager en deux parties égales l'angle que deux droites font entre elles.

Soit, fîg. Ii4, les deux droites (aa', bV) ; on prendra la droite {cd^ c'd') pour axe, et l'on fera tourner Tangle jusqu'à ce qu'il soit rabattu dans le plan horizontal en cs"d. Dans cette position qui donne la véritable grandeur, on le parlagéra en deux parties égales [Gèom.) par la droite s"v ; mais cette ligne, qui doit être dans le plan de l'angle, est encore rabattue sur le plan horizontal, il peste donc à la ramener à sa place. Or, le point v où cette droite coupe Taxe du rabattement ne devant pas bouger, il suffira de concevoir le point s'^ revenu à sa position Si ce qui donnera sv pour la projection horizontale de la droite demandée. Le point v appartenant à la droite cd fait partie du plan horizontal, et, par conséquent, se projettera en v' sur la ligne AZ ; menant s'Vy on aura la projection verticale de la même ligne.

Nous avons partagé en deux parties égales Tangle aigu formé par les deux droites données. On trouverait de la même manière les projections {su, s^u') de la droite qui partagerait l'angle obtus.

On conçoit qu'il faudrait opérer de la même manière si, au lieu de partager l'angle donné en parties égales, on voulait le partager dans un autre rapport ;.ou bien encore si Ton ^ voulait, dans un plan donné, construire une droite faisant un angle donné avec une autre ligne de ce plan.