ANGLES DES LIGNES ET DES PLANS

162. Construire l'angle qu'une droite fait avec un plan. On sait {Géom,) que l'angle d'une droite avec un plan se

mesure par l'angle que cette droite fait avec sa projection sur ce plan.

Ainsi l'angle que la droite SC, fig. 115, fait avec le plan P aurait pour mesure SCB ou son égal CSD ; mais pour .éviter la construction de la ligne CB, on remarquera que l'angle demandé CSD est le complément de l'angle que la ligne donnée ferait avec la ligne SB perpendiculaire au plan P, d'où résulte la construction qui suit : l°on prendra, fig. 115, 116, sur la droite donnée un point quelconque S ; on abaissera

de ce point la ligne SB perpendiculaire au plan donné ; 3*» on rabattra Tangle BSG que ces droites font entre elles ; 4« on en prendra le complément.

163. Construire les angles qu'une droite fait avec les plans de projection.

Soit la droite donnée {nb, a*V), fig. 117 ; Tangleque cette droite fait avec le plan horizontal est situé dans le plan vertical qui contient cette droite et sa projection. Prenant pour axe la verticale aV, on fera tourner ce plan jusqu'à ce que le sommet {hV) de l'angle cherché ^soit projeté au point h". Alors cet angle étant parallèle au plan vertical, sera projeté en a'b"u\ selon sa véritable grandeur.

Le plan de l'angle formé par la droite avec le plan vertical, contenant celte droite et sa projection verticale a'b'^ on le fera tourner autour de l'horizontale bv, jusqu'à ce que le sommet {aa^) soit venu se projeter en a" ; ce qui donnera ba"v pour la véritable grandeur de l'angle que la droite donnée fait avec le plan vertical.

164. Si la droite donnée (aô, a'6')» ^S- ^^S, était perpendiculaire à la ligne AZ, un même plan contiendrait les deux angles que cette droite ferait avec les plans de projection, et le rabattement de ce plan sur le plan vertical donnerait en même temps ces deux angles, dont l'un aurait le sommet en a' et l'autre en ¥,.

On pourrait aussi les rabattre sur le plan horizontal.

±6S. Construire une dmite qui fasse des angles donnés avec les plans de projection.

Représentons, fîgr. 119, part; l'angle que la droite demandée doit faire avec le plan vertical, et par h l'angle de cette même droite av^c le plan horizontal. On construira en a l'angle h au-dessus de la ligne AZ, et l'angle v au-dessous, puis on prendra deux distances égales ac', ad.

Supposons que ac' soit la ligne demandf'e rabattue sur le plan vertical ; si nous ramenons cette droite à la place qu'elle doit occuper dans l'espace, en la faisant tourner autour de la verticale du point a, de manière qu'elle fasse toujours le

môme angle avec le plan horizontal, le point co' décrira un •cercle horizontal (c6, c'6'). Si, de plus, nous regardons ad comme le rabattement de la même droite sur le plan horizontal, en ramenant cette ligne à sa place, le point dd/ d(^- -crira un cercle {db, d^b') parallèle au plan vertical. Or, les points ce' et dd\ qui appartiennent tous deux à la droite demandée, étant à égale distance du point a, ne doivent faire <]\i'un seul et même point, et comme ce point doit se trouver en même temps sur les deux cercles dont nous venons 4iej)arler, il sera au point bV où ces deux cercles se coupent, de sorte que [ab, a'V) sont les deux projections de la droite cherchée.

On est assuré que les cercles se coupent, parce que les points 2^ et V sont sur une même perpendiculaire à la ligne ÂZ.

Si la somme des deux angles donnés était égale à un angle droit, les deux cercles se toucheraient au lieu de se couper, et la droite demandée serait perpendiculaire à la ligne AZ.

Enfin, si la somme de ces angles était plus grande qu'un angle droit, les d^ux cercles n'auraient pas de point commun, et le problème ser^iit impossible. En effet, si Ton place une droite quelconque dans le plan vertical, et si, en partant de cette position, on la fait tourner de manière qu'elle fasse toujours le même angle avec le plan horizontal, on conçoit que l'angle avec le plan vertical, qui d'abord était nul, augmentera jusqu'à ce que la droite soit venue se placer dans un plan perpendiculaire à la ligne AZ. Alors la somme des deux angles vaudra un angle droit et aura atteint son maximum; car il est évident que si l'on continue à faire tourner la droite, l'angle avec le plan vertical diminuera de nouveau, jusqu'à ce qu'il devienne nul comme il Tétait avant que l'on eût commencé à faire mouvoir la droite.

Si l'on prolongeait les projections verticales et horizontales des deux cercles, on aurait un second point d'intersection, et par suite une seconde position de la droite demandée. Nommons (ac, a'd] les projections de .celte seconde droite, et supposons, pour mieux fiier les idées, que l'on ait transporté le point a hors de la ligne AZ, comme on le voit, flg. 120 ; il sera facile de s'assurer que les quatre droites (ac, aV), {acr^ aV), {ab.a'b'), (a6'% aV), satisfont toutes les quatre aux con-

8â LES ANGLES. PL. 20,

ditions demandées. Ces droites sont les arêtes d'une pyramide quËdrangulaire qui aurait pour base le rectangle co"V'h^ et pour sommet le point ad .

Si l'on demandait que la droite passât par un point donné, on ferait à ce point toutes les opérations qui ont été faites au point a de la ligne ÂZ.