Construire l'angle que^ deux plans font entre eux

On sait (Géom,) que pour avoir l'angle de deux plans il faut mesurer l'angle que font entre elles deux droites, menées dans chacun de ses plans perpendiculairement à un môme point de leur intersection.

Soient, ûg. 121, pi. 20, les deux plans p et p' ; on construira (73) la projection horizontale vh de l'intersection de ces ^eux pians, puis on mènera p rpendiculairementà cette ligne la droite p^^ qui représentera la trace horizontale du plan dans lequel'se trouve l'angle que l'on cherche. Si l'on fait tourner ce plan autour de sa trace p^^ pour le rabattre sur le plan horizontal, le sommet deVangle faisant partie de l'intersection des deux plans se meut dans le plan vertical v'vh, et ne peut, par conséquent, serabattrequesur laligne vhAlne reste donc plus qu'à connaître sa distance à la ligne p^^ que Ton prend ici pour axe du rabattement : pour cela, faisons tourner le plan v'vh autour de sa trace verticale vv\ L'intersection des deux plans donnés viendra prendre, dans le plan vertical, la position vW ; le point!*, qui représente le pieA delà perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle demandée sur la lignep'^ se rabattra en u', et abaissant du point u^ une perpendiculaire sur v'/i', cette ' perpendiculaire u^s^ représentera le plan de l'angle cherché et donnera en même temps la distance du sommet de cet angle à la lignep^'';de sorte qu'en portant cette longueur s^u de u en ^, on aura asb pour l'angle demandé rabattu sur le plan horizontal. •

Par cette construction, nous avons évité de construire la projection de Tangle cherché dont on ne demandait que la véritable grandeur.

167. On pourrait rabattre le plan vertical v'vh sur le plan horizontal. Dans ce cas, Tintersection des deux plans serait représentée par v"h, et le sommet de l'angle cherché par s'\

On pourrait encore, si cela était plus commode, faire sur le plan vertical toutes les constructions que nous avons faites sur le plan horizontal.

168. Dans la figure 122, les traces horizontales des plans donnés se coupent derrière le plan vertical ; cela ne change rien à Tordre des constructions, qui sont seulement disposées dans un autre sens. L'intersection des deux plans est rabattue sur le plan horizontal en v^^h.

169. Dans la figure 123, l'un des plans est parallèle à la ligne AZ.

170. Dans la figure 124, les deux plans donnés, et par conséquent leur intersection, sont parallèles à la ligne AZ ; l'angle demandé est compris dans un plan p'' perpendiculaire aux deux plans de projection, et se trouve rabattu en s^^ Suivant sa véritable grandeur.

171. Dans la figure 125, l'intersection des plans donnée est parallèle au plan horizontal, mais cela ne change rien à la manière d'opérer.

172. On peut encore trouver l'angle de deux plans d'une autre manière.

Il est démontré en Géométrie que deux plans étant donnés, si, d'un point pris oii Von voudra dans l'espace^ on abaisse des perpendiculaires sur ces plans, l'angle que ces perpendiculaires feront entre elles sera le même que l'angle des deux plans. D'après cela, étant donnés les deux plans p et p\ flg. 1?6, on prendra un point quelconque s^\ puis après avoir mené (103) par ce point des perpendiculaires {aa'^ bV) aux deux plans donnés, on cherchera (157) l'angle que ces deux droites feront entre elles.

84 LES ANGLES. PL. ii.

173. Le point ss' peut être pri^ partout où l'on voudra; ce qui permet de rejeter cette opération dans un coin et même en dehors du cadre, si la place manquait dans les limites de répure. "

174. Construire l'angle qu'un plan donné fait avec les plans de projection,

L*angle que le plan p, flg. 127, pi. 21, fait avec le plan horizontal, étant situé dans le plan vertical p', on fera tourner ce plan autour de sa trace verticale jusqu'à ce que le point s, sommet de l'angle cherché, soit venu se placer en / sur la ligne AZ ; ce qui donnera Tangle .A pour l'inclinaison avec le plan horizontal.

De même, Tangle que le plan donné fait avec le plan vertical étant situé dans le plan p'\ son sommet u se rabattra en u\ et l'angle v représentera Tinclinaison avec le plan vertical.

175. Construire un plan faisant des angles donnés avec les plans de projection.

. On sait [Géom.) que si une droite et un plan sont perpendiculaires l'un à l'autre, les angles que cette droite et ce plan . feront avec un autre plan sont compléments l'un de l'autre ; d'apyès cela, si Ton voulait construire un plan faisant avec les plana de projection des angles représentés, fig. 129, par h et par v, on construirait d'abord (165) la droite (aa') faisant avec les plans de projection des angles h' et v\ compléments des angles donnés, puis on mènerait, flg. 130, un plan p perpendiculaire sur celle droite.

Si le r lan devait être assujetti à passer par un point donné (m, m'), on emploierait la construction (113).

Nous avons vu (165) que par un point donné on pouvait faire passer quatre droites faisant, avec les plans de projection, des angles donnés ; il en résulte que Ton pourra pareillement faire passer par un point quatre plans faisant, avec les plans de projection, des angles donnés (A, v). Ces plans sont représentés, flg. 130, par p, p', p'^.p"' ; ils forment les quatre faces d'une pyramide quadrangulaire jlont la section horizontale serait le losange abcd.

PL. âl. LES AKGLES. 8S

176. Nous avons VU encore (165) que là somme des angles qu'une droite fait aivec les plans de projection ne peut jamais être plus grande qu'un angle droit. Ainsi, dans l'exemple présent, v' + h' ne pouvant pas valoir plus d'un angle droit, la somme de leurs compléments v -{- h ne peut pas être plus petite qu'un angle droit. Donc, pour que le problème que nous venons de résoudre soit possible, il faut que la somme des angles donnés soit plus grande, ou au moins égale à un angle droit : dans ce dernier cas, le plan cherché serait parallèle à la ligne AZ.

177. Construire un plan passant par VintersecHon de deux plans donnés^ et qui partage V angle qu'ils font entra eux en^parties égales.

Le plan demandé devant contenir la 'ligne (vA, v'h')f flg. 131, 134, qui représente l'intersection de deux plans donnés, sa ^race horizontale doit passer par A, et sa trace verticale par v' (66) . 11 ne reste donc qu'à trouver un second point de J'une de ces traces : pour cela, on rabattra sur le plan horizonts^l l'angle asb que les deux plans donnés font entre eux^et l'on construira la droite su qui partage cet angle en deux parties égales. Le point u où cette droite perce le plan horizontal appartiendra à la trace horizontale du plan cherché. Après avoir construit cette trace /iw, on fera passer la trace verticale par le point r/, et Ton aura satisfait à la question.

En effet, les trois droites sa^ su^ sb, étant situées dans le plan p'' perpendiculaire à l'intersection commune des trois plans p, p\ p''', les angles que ces lignes font entre elles mesurent les inclinaisons de, ces trois plans (166) ; et puisque su partage l'angle asb en deux parties égales, le plan /?'", qui contient suy partagera l'angle des deux autres plans aussi en parties égales.

U est bon de remarquer que l'on n'a pas ramené la ligne su èiSdi place, parce qu'il suffisait (66) d'avoir le point où cette ligne perce le plan horizontal.

Nous avons partagé en deux parties égales l'angle obtus formé par les deux plans donnés ; on opérerait de la même

manière pour obtenir le plan p'^, qui partage l'angle aigu en deux parties égales.

178. Les mêmes moyens seraient employés si Ton voulait partager l'angle de deux plans suivant tout autre rapport.

179. Étant donnés un plan et une droite située dans ce planj on veut faire passer par cette droite un second plan faisant avec le premier un angle donné.

Soit, flg. 132, le plan donné p, la droite donnée (vA, v'K) et l'angle donné A.

Le plan demandé devant contenir la droite. (vA, v'h'), sa trace verticale passera par le point v' et sa trace horizontale par h. Pour avoir un autre point de cette dernière trace, on construira le plan p" perpendiculaire sur la ligne donnée, qui doit être l'intersection du plan donné avec celui que Fon cherche, et après avoir rabattu sur le plan horizontal la ligne ^a provenant de l'intersection du plan donné par le plan p'', on construira l'angle asu ôgal à Tangle donné A, et le point u sera un point de la trace horizontale du plan cherché. En effet, si Ton compare cette construction avec celle indiquée (166), il est facile de reconnaître que Tangle asu est égal à l'angle A, qui mesure l'inclinaison des plans p et p'. -

En construisant l'angle aso, on obtiendrait en o un point de la trace horizotitale d'un plan qui satisferait pareillement aux conditions demandées.'

180. Dans la figure 133, le plan p' partage en deux parjties égales l'angle que le planp fait avec le plan horizontal.

181. Trouver le centre et le rayon d'une sphère dont la sv/rface serait tangente à quatre plans donnés.

Il est évident que cela revient à trouver un point également éloigné de ces quatre plans. Or, si par l'intersection de deux plans on en mène un troisième qui partage l'angle des deux premiers en parties égales, il -est certain [Géom.) que tous les points de ce plan seront à égale distance des deux premiers, d'où résulte la construction suivante.

Soitp, p\ p^\p.^'\ flg. 136, pi. 22, les quatre plans donirés. On construira un plan p'"" qui partage en deux parties égales Tangle des plans p et p' (177). Ce plan contiendra le centre de la sphère cherchée ; on construira de la même manière le plan p" qui partage en deux parties égales Tangle des plans p' et p^^. Enfin le plan p^\ qui partage en deux parties égales l'angle.des plans p'' etp''', contiendra encore le point cherché <iue Ton obtiendra en cherchant l'intersection des trois plans p*^, p"", ;jp'' (79) ; quand on aura obtenu en {mm') le centre de la sphère, on abaissera de ce point une perpendiculaire sur l'un des plans donnés, et après avoir obtenu le pied de cet le perpendiculaire, on en mesurera la longueur (105, 134) ; ce qui donnera le rayon avec lequel, des points (m, m') comme centres, on décrira deux cercles qui seront les projections verticale et horizontale de la sphère demandée.

En combinant les quatre plans donnés deux à deux de toutes les manières possibles, on obtient six combinaisons pp', pp'\ pp"\ p'p"^ p'p"\ p"p". Si l'on partage en parties égales les angles formés par chacunç de ces combinaisons, on aura six plans qui contiendront le plan cherché, et l'on choisira parmi <îes six plans les trois qui donneront les constructions les plus simples.

182. Les qqatre plans donnés forment, dans l'espace, une pyramide triangulaire ou tétraèdre. Or si l'on veut reconnaître parmi le^ plans qui partagent en parties égales les angles des plans donnés, quels sont ceux qui sont dirigés dans l'iniérieur de la pyramide, on pourra opérer de la manière suivante. ~ '

On déterminera (79) flg. 137 :

l<» Le point A provenant de l'intersection des trois plans p,

2? Le point B, intersection des trois plans p, p', p"' ;

3» Le point C, intersection des trois plans p, p", p'^' ;

4* Enfin, le'point D, intersection des trois plans p', p^', p'^.

Or, il est évident que le plan qui partage en deux parties égales l'angle des faces ABD, ABC, sera dirigé dans l'intérieur

du tétraèdre, s'il coupe l'arête CD entre les deux points C et D^ Dans le cas contraire, il passera en dehors.

183. La question que nous venons de résoudre étant proposée ici comme sujet d'exercice, j'ai cru devoir supposer les* plans donnés dans une position quelconque ; mais on pourrait, par un choix convenable de plans coordonnés, en rendre la solution plus simple.

En effet, plaçons horizontalement, flg. 138, pi. 23, Tua des quatre plans donnés, le plan p, par exemple, et prenons pour plan vertical de projection un plan perpendiculaire au plan p'\ les lignes y'^ et jo'" étant les traces horizontales desdeux autres plans donnés, et le point s^s' étant le sommet de la pyramide formée par les quatre plans, p^ sera le plan qui partage en deux parties égales l'angle deç plans p et p', et sa trace verticale contiendra la projection verticale du centre de la sphère demandée. L'angle des plans p etp^, situé "dansle plan vertical sv, se rabattra en v'\ et la ligne v^'o'y qui partage cet angle en deux parties égales, rencontrera en o'' la ligne verticale qui contient le point s, s'. L'angle des plans p et p"\ projeté suivant su, se rabattra en u^^ et sera partagéen deux parties égales par u''h\ qui rencontrera en h' la même verticale s, s\ Concevons maintenant (77) un plan auxiliaire q, parallèle au plan vertical de projection: ce plan contiendra en a' et o' deux points du plan p^, qui partage en deux, parties égales l'angle des deux plans p et p'^ ; de sorte qu'il coupera ce plan suivant la droite a'o\ Par la même raison il coupera suivant b'h' le plan p""* qui partage l'angle des plans^ pp'^' en parties égales ; de sorte qu'en joignant le point n, ouïes deux lignes aV et fc'A' se coupent, avec le point c\ intersection des traces horizontales des plans p'" et p''',!qui sont lesmêmes que celles des plans p"" et p^\ on aura Tinterseclion de ces deux derniers plans ; et le point (m, m'), où. cetteintersection percera le plan p'^, sera le centre de la sphère cherchée. Quant au rayon, il sera projeté en m'd suivant sa véritable grandeur.

184. En partageant les angles dont l'ouverture est dirigée dans l'intérieur de la pyramide, nous avons obtenu la sphèra-

PL. 23. . Les angles. 89

inscrite ; mais si nous aviens partagé les angles extérieurs en parties égales par des plaus, les intersections de ces plans auraient encore donné quatre points que l'on pourrait prendre pour les centres d'autant de sphères tangentes aux plans donnés, chacune de ces sphères toucherait en dehors l'une des faces de la pyramide, et les prolongements des trois antres faces. Les figures 139 et 142 contiennent les projections des cinq sphères tangentes intérieurement et extérieurement aux quatre faces d'un tétraèdre réguliei:.

185. Enfin il existe encore dans l'espace trois sphères qui satisfont à la question proposée. En efifet, supposons, fig. 143» que ABCD soit le tétraèdre formé par les plans donnés. Si nous prolongeons les quatre faces au delà de l'arête AB, et si, pour pi us de clarté, nous faisons abstraction des prolongements au delà de EF6H, nous aurons formé une espèce de coin ou auge' dont le fond sera remplacé par Tarête AB, et qui aura pour faces :

1® Le quadrilatère ABFE prolongement du triangle» ABD ;

2» Le triangle 6BF prolongement de BCD ;

3° Le quadrilatère GBAp prolongement de BCA ;

4** Le triangle HAE prolongement de ACD.

Les plans bissecteurs BFO, BGO se couperont suivant une ligne BO, qui contiendra les, centres de toutes les sphères tangentes aux trois plans ABFE, FB6, GBAH.

Les plans bissecteurs AEV, AflV se couperont suivant la droite AV qui contient les centres de toutes les sphères tangentes aux trois plans ABFE, EAH, HABG.

Les deux lignes BO et AV se rencontreront puisqu'elles sont situées dans le plan bissecteur de l'angle dièdre formé par les faces ABFE, ABGH ; et le point d'intersection de ces deux droites sera évidemment à égale distance des quatre faces du coin ABFEHG.

Or ce que nous avons dit pour l'arête AB pouvant s'appliquer à chacune des six arêtes du tétraèdre, cela semblerait indiquer qu'il existe encore six nouvelles sphères tangentes aux quatre plans donnés : mais ces six sphères se réduisent ^ à troiSy parce quejes plans bissecteurs des six angles dièdres

formés par les faces de Vauga ou coin correspondant à l'arête AB, sont les mêmes que les plans bissecteurs des angles du coin correspondant à l'arête opposée DC ; et ces six plans passant tous par un même point, il en résulte que s'il y a une sphère tangente dans le premier coin, il n'y en aura pas dans le second et réciproquement. Ainsi, en résumant, la question admet huit /solutions ; savoir :

1 sphère inscrite dans le tétraèdre ;

4 sphères inscrites dans les pyramides tronquées, formées par les prolongements des plans au delà des faces ;

3 sphères inscrites dans les coins formés par les prolongements des plans au delà des arêtes. Si le tétraèdre était ^ régulier ces dernières sphères auraient leurs centres à l'infini.

Les relations précédentes étant plus curieuses que véritablement utiles, je me contenterai de les indiquer comme étude.

186. Par une droite donnée faire passer douze plans faisant entre eux des angles égaux.

Représentons la ligne donnée par (a, a'), ûg. 14J, 141. On sait déjà (63) que les traces des douze plans demandés doivent passer par les traces de la droite donn(^e ; il ne reste donc plus qu'à déterminer un point de chacun de ces plans. Pour y parvenir, on construira un plan p'' perpendiculaire sur la ligne donne e (a, a') qui doit être l'intersection commune de tous ces plans ; puis, au moyen de la construction indiquée (167), on rabattra sur le plan horizontal le point o, provenant de l'intersection de la ligne donnée par le plan p^^. On mènera par le point o, ainsi rabattu sur le plan horizontal, douze lignes faisant entre elles des angles égaux, et le point où chacune de ces lignes ira couper la trace horizontale du plan p'^ appartiendra à la trace horizontale de l'un des plans que l'on cherche ; car il est évident, flg. 141, que ces douzes lignes passant -par le point o dans le plan p^\ sont perpendiculaires à la ligne donnée ; de sorte que les angles que ces lignes font entre elles mesurent les inclinaisons des douze plans qui les contiennent. On n'a pas cherché quelles seraient les projections de ces douze-droites si on les ramenait à leur véritable position dans l'espace, parce qu'il

PL. 24. ÀKGLE TRIÉDRE. 91

suflBsait (63) d'avoir les points où chacune de ces droites va percer le plan horizontal.

On n'a dû partager en douze parties égales que la moitié de la circonférence, parce que les prolongements des rayons auraient déterminé les mêmes plans.

ANGLE TR1ÉDRE.

187. On donne en général le nom d'angle trièdre à l'espace compris entre trois plans.

Lorsque trois plans P P^ P„ ûg. 10, pL 24, se coupent dans l'espace, ils forment huit angles trièdres^ qui ont tous le point S pour sommet.

Quatre de ces angles sont situés au-dessus du plan P, et les quatre autres sont situés au-dessous.

Pour simplifier la question, nous ne considérerons qu'un seul de ces huit angles trièdres.

Ainsi, par exemple, les droites SM, SN et SO qui aboutissent au point S, étant les intersections des trois plans P P^ et Pî, nous pourrons négliger les sept angles trièdres formés par les prolongements de ces plans, et transporter, fig. 7, l'angle trièdre que nous nous proposons d'étudier.

Lorsque l'on considère ainsi un angle trièdre, indépendamment de ceux qui seraient formés par les prolongements des trois plans P P< et Pt, on donne le nom d'arêtes aux droites SM, SN, SO, suivant lesquelles ces plans se coupent.

On peut également, pour simplifier le langage, donner le nom de faces aux trois angles plans MSN, NSO, MSO, formés par les arêtes SM, SN, SO, le point S sera le sommet de l'angle trièdre.

La combinaison des faces avec les arêtes de l'angle trièdre donne lieu à neuf angles de trois espèces différentes, savoir :

1» Les trois faces ou angles plans MSN, iNSO, MSO, formés par les arêtes, et qui ont le point S pour sommet commun ;

2* Les trois angles dièdres que les faces font entre elles ;

3® Les trois angles que chacune des arêtes fait avec la face qui lui est opposée.

Il existe entre les six premiers de ces neuf angles des relations telles, que toutes les fois que Ton connaît trois quel* conques d'entre eux, on peut toujours trouver les trois autres. C'est la solution de cette question qui va nous occuper.

La recherche du problème proposé, par le calcul, forme ce que Ton appelle la trigonométrie sphérique.

En effet, on sait (Géom.) que l'angle dièdre formé par deux plans P et P<, flg. l, a pour mesure l'angle plan BAC formé par deux droites AB, AC tracées par un même point A dans chacun des plans donnés, et perpendiculaires à leur intersection SM.

Or, si l'on conçoit sur une sphère D, flg. 3, deux arcs de grands cercles AK, AH, on sait {Géom.) que Tangle formé par ces arcs est égal à l'angle formé par leurs tangentes AB, AC, Or, ces deux dernières lignes étant perpendiculaires à l'extrémité du rayon qui aboutit au point A, il s'ensuit que l'angle BAC sera la mesure de l'angle dièdre formé par les plans P et P< qui contiennent les deux arcs AK et AH, d'où il suit que l'angle formé par deuw arcs de grands cercles tra^ ces sur une sphère est toujours égal à l'angle dièdre formé par les plans qui contiennent cestarcs et réciproquement.

Mais, si nous supposons, flg. 4, que du point S comme centre et d'un rayoïl quelconque SA, on ait décrit les trois arcs AB, AC et BC, situés dans les faces de l'angle trièdre S,

Il est évident que ces trois arcs, ayant tous leurs points à égale distance du point S^ seront situés sur la surface de la sphère qui aurait le point S pour centre, et la droite SA pour rayon .

De plus, les plans des trois arcs AB, AC et BC contenant le point S, il s'ensuit que ces arcs appartiennent à des grands cercles de la sphère {Géom.) et que le triangle ABC est ce que Ton appelle un triangle sphérique.

Or, en exprimant les angles de ce triangle 'A, B, C, on sait que les côtés opposés doivent être désignés par les petites lettres correspondantes, de sorte que l'arc BC opposé à l'angle A sera nommé a, l'arc AC sera b et l'arc AB sera c.

Mais il est évident que les arcs AB, AC et BC sont les mesures des angles plansou faces, formés au centre de la sphère, par les trois arêtes de l'angle trièdre ; d'où il résulte

que les côtés a, h, c seront les mesures des trois angles BSG, ASC, ASB.

Siyde plus, on se rappelle ce que nous avons dit plus haut, que l'angle sphérique BAC ou A a la même mesure que Tangle dièdre formé par les plans ou faces ASB, ASC, que l'angle sphérique ABC ou B a la même mesure que l'angle dièdre formé "par les faces ASB et BSG, et qu'enfin il en est de même de l'angle C, on comprendra pourquoi la notation adoptée pour désigner les six parties du triangle sphérique convient également pour désigner les parties correspondantes de l'angle trièdre.

Ainsi les trois lettres a, b, c exprimeront indifféremment les trois angles plans ou faces BSC, ASC, ASB, ou les trois côtés BC, AG et AB du triangle sphérique ABC. f

Et les trois lettres A, B, C désigneront les trois angles dièdres formés par les faces a, 6, c ou les trois angles correspondants du triangle sphérique.

Les considérations précédentes étant admises, nous rappellerons qu'il s*agit de résoudre graphiquement ce problème général.

Étant données trois quelconques des six quantités A, B, C, a, b, c, d'un angle trièdre^ trouver les trois autres.

Cette question principale peut se décomposer en six questions particulières, suivant que les quantités données seront:

!• Les trois faces ou angles plans ;

2* Deux faces et V angle dièdre compris ;

3» Deux faces et l'angle dièdre opposé à Vûne délies ;

4® Deux angles dièdres et la face qui leur est commune ;

5» Deux angles dièdres et la face opposée à l'un d'eux ;

6o Les trois angles dièdres.

188. Premier problème sur l'angle dièdre. Étant données les trois faces a, b, c, trouver les angles- dièdres A, BetC.

Solntion, Og. 2, pi. 24 :

1° On placera les angles donnés ou faces m'SN, NSO, OSm'' à côté les unes des autres, comme on le voit sur la figure 2, et Ton prendra une distance quelconque Sm' = Sw' que Ton

portera à droite et à gauche du point S, sur les deux côtés extérieurs des angles plans ou faces a et c.

2* On fera tourner Tangle plan ou face a autour de l'arête SN, pour ramener cette face à la position qu'elle doit occuper dans l'espace. Le point m' décrira un arc de cercle dont le plan sera perpendiculaire à Tarête SN, et dont la projection sur le plan de la^ face b sera m'm .

3o On fera tourner également Tangle plan ou face c autour de l'arête SO et le point m" décrira un arc de cercle qui aura pour projection la droite m'm.

4*» Quand les deux faces a et c seront revenues à la place qu'elles doivent occuper dans l'espace, les deux points m' et m' qui sont à égale distance du point S seront réunis en un seul et même point que nous nommerons M, et ce point devant être situé en même temps dans les deux plans m'm et m"m fera partie de leur intersection, qui, étant perpendiculaire au plan de la face 6, se projettera sur ce plan par le point m.

5« L'angle Irièdre étantreformé, l'angle dièdreC qui exprime rincjinaison des faces a et & aura son sommet au point u sur l'arête SN et sera projeté sur le plan de la face ou angle plan b par la droite um qui sera l'un de ses côtés.

60 Si Ton fait tourner le pian de cet angle G autour du côté wm, la perpendiculaire abaissée du point M de l'espace sur le plan de la face b se rabattra suivant mm'",et le pointM viendra occuper la position m"', que l'on déterminera en écrivant du point u comme centre, l'arc de (jercle m'm'" dont le rayon um'=um"' sera le second côté de l'angle cherché C.

7'> Une construction analogue déterminera l'angle A rabattu sur le même plan dans la position mvm^.

S^'iPour obtenir l'angle B, on concevra, par le point M de l'espace, un plan perpendiculaire à l'arête SM. Ce plan, qui contiendra l'angle B, fîg. 4, coupera la face a suivant une droite perpendiculaire à l'arête SM'et représentée sur la figure 2 par w'N perpendiculaire à S'. Ce même plan qui contient l'angle B coupera la face c suivant la droite m''0 perpendiculaire sur l'arête Sm", et la face b suivant NO; de sorte que les trois droites ^n'N, NO et Om" seront les trois côtés du triangle au sommet duquel se trouve l'angle B, que l'on con-

naîtra en construisant le triangle UOm'', dans lequel on a ^m'^z^m' et Om''=0?n".

189. Remarques. Si l'une des trois faces, la face b, par exemple, était égale à la somme des deux autres, lé point m serait situé sur Tare de cercle m'rm'\ les angles A et jC seraient nuls, l'angle B vaudrait deux angles droits, et les deux faces a et c coïncidant avec le plan 6, l'angle trièdre serait réduit à un plan.

Si c'était la face a qui fût égale à la somme des deux autres, le point m viendrait coïncider avec m", les angles C et B seraient nuls. L'angle A vaudrait deux angles droits, et l'angle trièdre serait réduit encore à un plan.

Enfin, s'il y avait dans les données quelque condition d'impossibilité, elle se manifesterait toujours par la construction de répure.

Ainsi, par exemple, si la face b était plus grande que la somme des deux autres faces a et c, le point m tomberait en dehors de la circonférence m'mt" et le triangle mum"^ deviendrait impossible, puisque le côté mu de l'angle droit serait plus grand que l'hypoténuse um"' = um'.

Il en serait de même du triangle mvmys puisque l'on aurait mv plus grand que vm^f.

L'impossibilité du triangle m NO serait encore mise en évidence, parce que le côté NO serait plus grand que la somme des deux droites Nm' et Qm".

J'indique aux élèves cette discussion comme sujet d'exercices, et je les engage à changer la grandeur des données, afin de reconnaître ce qui doit arriver dans toutes les hypothèses.

190. Vérification. La figure 2 contenant les trois faces et les angles dièdres peut être considérée comme l'expression complète de toutes les relations qui existent entre ces six quantités.

On peut donc comparer cette figure à une formule générale au moyen de laquelle, lorsqu'on connaîtra trois quelconques des six éléments de l'angle trièdre, on pourra toujours retrouver les trois autres.

96 ANGLE TRIËDRE. PL. 24.

Mais avant de passer à la solution de cinq problèmes qui nous restent à résoudre, je ferai quelques remarques importantes.

En examinant avec attention la figure 2, on reconnaîtra cinq vérifications principales :

!• Les angles St/m, Svm étant droits, les sommets ueiv doivent être situés sur la circonférence du cercle qui a pour diamètre Sm, de sorte que le quadrilatère Sumv sera toujours inscriptible dans un cercle (Géom.);

2* Les droites m'^^ et mm^"^ doivent être égales entre elles, puisqu'elles représentent toutes les deux la perpendiculaire abaissée du point M de l'espace sur le plan de la face ft, d'où il résulte que les deux points m'^' et m^^ doivent être situés sur un même arc de cercle m"'my^ décrit du point m comme centre ;

3° Les droites SN et mm'" perpendiculaires toutes deux sur m'm sont parallèles entre elles, et les droites m?n^v, SO sont également parallèles, puisqu'elles sont toutes deux perpendiculaires sur mm'^.

Il résulte de là que l'angle m'"m^ sera égal à l'angle 6, puisque les côtés de ces deux angles sont parallèles chacun â chacun;

4« Si Ton considère la facô h comme un plan de projection, la droite NO sera la trace du plan qui contient l'angle B, et ce plan étant perpendiculaire sur l'arête SM de l'espace, la trace NO sera perpendiculaire sur Sm, qui est la projection de la droite SIM sur la face h ;

5'*Si le triangle m^NO, qui est construit dans sa véritable grandeur, était ramené à la place qu'il doit occuper dans l'espace, la droite NO ne changerait pas de place, et le point /m^, ramené en M sur l'intersection des faces a et c, serait projeté en m sur le plan de la face h\ l'arc de cercle décrit par le point M serait perpendiculaire sur la droite NO, et la projection mm^ de cet arc devrait alors se confondre avec la projection Sm de SM sur le plan de la face h, d'où il résulte que le point m^, qui représente le point M rabattu, doit

toujours être situé sur la droite Sw.