Deuxième problème sur l'angle trlèdre. Étant
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donnés deux angles plans ou faceSy et V angle dièdre compris^ -trouver la troisième, face et les deux angles dièdres.
Solution. Pour obtenir un moyen de Vérification, nous allons résoudre les six problèmes de l'angle dièdre avec les mêmes données, de sorte qu'en considérant comme quantités connues trois quelconques des six angles A, B, C, a, 6, c de la figure 2, on doit toujours retrouver les trois autres pour la valeur des inconnues.
Par conséquent, si nous prenons pour données dans le problème actuel les faces a et b\ et l'angle dièdre C de la figure 2, nous devons retrouver les angles désignés sur la même figure par c, A et B.
!• Pour y parvenir, on placera d'abord les deux faces ou angles plans donnés aeibh côté Tun de l'autre, comme on le voit sur la flgA-e 2, puis on prendra le point m' à volonté, sur le côté extérieur de la face a ;
2'* La perpendiculaire abaissée da point m' sur l'arête SN, donnera en u le sommet de l'angle C, et puisque la valeur de cet angle est donnée par la question, que de plus on sait que um'!' doi l être égal à um\ on décrira Tare de cercle m' m'", el l'on construira le triangle rectangle m'"um, ce qui déterminera le point m \
3* On abaissera de ce point la droite mv perpendiculaire sur l'arête SO, et l'arc de cercle ir/rm^^ déterminera le point m^\ sur le prolongement de la droite mv, de sorte qu'en joi ignant m'' avec le point S, la face c sera connue.
4*» Les angles A et B s'obtiendront comme dans le problème précédent qui ne dllfère du problème actuel que par l'ordre des opérations.
192. Troisième problème sur Pangle trlèdre. Étant donnés deux faces et l'angle (^ièdre opposé à l'une d'elleSy trouver la troisième face, et les deux autres angles dièdres.
Solution, flg. 1, pi. 25. Les données étant a, c et C, on construira :
I* La face ou angle plan a, sur l'un des côtés duquel on prendra le poinL W à volonté ;
2*^ La perpendiculaire m't^, abaissée du point m' sur le second côté SN de la face v, déterminera le point Uy sonimet de Tangle donné G ;
à* On construira l'angle mum"' égal à l'angle donné G, et l'on fera le côté nm'" égal à um' ;
4® La droite m'"m^ perpendiculaire sur le prolongement dé m'Uy déterminera le point m, projection du point M sur le plan de la face 6 ;
5* On tracera la droite Sm, et prenant cette droite comnie diamètre, on décrira la circonférence qui doit contenir le point V, sommet de l'angle A ;
6° Pour déterminer le point v, on construira le trîahgle rectangle m'SV, dont on connaît l'hypoténuse Sm' et Faille aigu m'SV égal à l'angle plan c, qui est doliné par te question ;
T Du point S comme centre et du rayon SV; ondécriia un arc de cercle qui déterminera le point v, sommet dé Tàng^le A sur la circonférence qui a pour dianiètre Sm ;
8» On joindra le point v avec S, et l'angle vSw sera égal à la face b cherchée ;
9° On prolongera la droite* mt;, et du point S comme centre, on décrira Tare de cercle m'rm\ ce qui déterminera le point -m'' ;
10* On joindra m" avec le point S, et si Ton a bien opéré» Tangle m"^v doit être égal à Tangle donné c ;
11*» Les trois faces ou angles plans, a» 6, c, étant alors connus et disposés comme dans les épures précédentes, le reste n'offrira plus aucune difficulté.
il est évident que l'angle v^m" est égal à l'angle VSm', par conséquent à la face o, que Ton avait portée à gauche de la face a, en attendant que la face b soit déterminée.
On pourt-ait môme, si l'on avait peu de place, construire partout ailleurs le triangle YSm', qui n'a pas d'autre but que de faire connaître SV, c'est-à-dire la distance du point S au point V de la circonférence Sumt\
• 193. Remarque. La circonférence qui a pour diamètre la
JfU 28. AKGLB TKlàlIBB. 99
droite Stn est coupée en deux points t; et â? par Tare de cerde Yvx.
Il résulte de là que Tod pourrait prendre le point x pour sommet de l'angle dièdre cherché A, que nous désignerons ici par A^^et qui serait alors obtus au lieu d'être aigu, comme cela aurait lieu si Ton prenait sqn sommet au point v.
Ainsi, les données admises, a, o et G conviennent à deux angles trièdres différents ; et le problème actuel correspond au cas de géométrie plane où l'on donne deux côtés (a, c) d'un triangle, et l'angle C opposé à l'un d'eux, fl^. 2.
Pour distinguer les parties des depx angles trièdres qui sa* tisfont à la question, je me^rai deux accents à la droile de celles des parties du second angle qui diffèrent par leur grandeur, ou par leur position, des parties correspondantes du premier. Ainsi, eii réservant la lettre A pour l'angle qui a son sommet en v, nous désignerons par A^ celui qui a son som*» met en x, et nous remarquerons que ces deux angles diffèrent par leur position et par leur grandeur, puisque l'un d'eux est aigu et l'autre obtus.
Le premier, rabattu sur l'épure, devient mvm'", tandis que le second est rabattu en ni'^œl.
Dans l'angle trièdre pour lequel le point v serait le sommet de l'angle dièdre A, la face ou angle plan b sera wSv, et la ikce c projetée sur le plan de la face b par le triangle vSm sera rabattue en vSm".
Tandis que si l'on choisit le point x pour sommet de l'angle dièdre A", la face c remplacée par c'' sera projetée sur le plan' de la face b par le triangle x%m et rabattue en rrSm", les deux faces c" et c sont égales et ne diffèrent que par leur position.
Dans ce dernier cas, l'angle plan ou face b du premier angle trièdre sera remplacé par l'angle NSO' que je nommerai 6'' et l'angle dièdre B, ou, ce qui est la même chose, Nm'^O deviendra Nm^O', qui est désigné sur l'épure par B'^.
Le plan qui contient ce dernier angle, ainsi que l'angle B, coupera les trois faces du second angle trièdre, suivant les droites m'N, NO' et Q'rrC^, qui sont les trois côtés du triangle NO'm'', au sommet rri' duquel se trouve l'angle B'' cherché.
100 ANGLE TRIÈDRB. PL. 24.
Ainsi, les six pariies du premier angle trièd^ seront a, &, c, A, B, C, tandis que les parties du second seront
La face a et l'angle dièdre C sont les sçulôs parties communes aux deux angles trièdres.
La face c^^ du second est égale à la face o du premier, et ces quantités ne diffèrent entre elles que par leur position.
L'angle dièdre A du premier est le supplément de l'angle A'-^ du second.
Les angles b^^ et B^^ du second angle trièdre sont situés dans les mêmes plans que les face? 6 et B du premier, et ces quantités ne diffèrent entre elles que par leurs grandeurs.
194. Angle trièdre supplémentaire. Avant de passer à la solution des trois problèmes qui nous restent à résoudre. Je rappellerai quelques théorèmes de géométrie élémentaire qui se rapportent aux propriétés de l'angle trièdre.
I«, fîg. 5, pi. 24. Si par un point A pris à volonté dans l'espace, on conçoit les droites AB, AG perpendiculaires sur les plans P et P^ l'angle BAC que les deux droites font entre elles sera supplément de Vangle dièdre GOB formé par les deux plans, et réciproquement, Vangle dièdre formé par les plans P et Vi^ sera le supplément de Cangle plan formé par les deux dioUes AB, AC.
2®, flg. 8. Si par un point S' pris à volonté dans Tespace, on abaisse une perpendiculaire sur chacune des trois faces SMN, SMO, SON d'un angle trièdre S, on pourra considélrer ces trois droites SO', S^', .s .\r comme les ar'* o<5 d'un second angle trièdre S' dont les faces S'M'iY,,S'0'N^ S'N'O' seront perpendiculaires aux trois arêtes SN, SM, SO du premier ; d'où il résulte par le théorème cité précédemment, que les angles plans ou faces deTun de ces angles trièdres seront les suppléments des angles dièdres coiTespondants du second^ et que les faces ou angles, plans du second serorit les suppléments des angles dièdres du premier. Ainsi, en exprimant par A, B, C, a, 6, c, les six éléments de l'angle trièdre qui a son sommet en S et par A', B', C', a^h'^c' les six éléments du second angle trièdre, on aura toujours les équations
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Pour rappeler cette propriété, on dit en géométrie que les deux angles Irièdres S et S' sont supplémentaires l'un de l'autre.
195. Si les trois sommets A, B, C d'un triangle sphérique, flg. 6, sont les pôles de trois côtés d*un second triangle tracé sur la nième sphère, on sait {Géom.) que les. sommets du second triangle seront les pôles des côtés qui leur sont opposés dans le premier, et qu'en outre les côtés de l'un quelconque de ces deux triangles seront les suppléments des angles qui leur sont opposés dans le second^ de sorte que les six équations ci-dessus auront encore lieu entre les sir parties A, B,X, a, b, c du premier triangle et les six parties A^B^ C, a',ft', c^dusecond.
La coïncidence qui existe, entre les deux théorèmes que nous venons de citer, provient de ce que, si le triangle ABC de la figure 6 était la base d'une pyramide triangulaire qui aurait son sommet au centre de la sphère, le triangle A'B'C serait la base d'une seconde pyramide qui aurait lé même sommet que la première, mais dont les arêtes seraient perpendiculaires sur les plans des grands cercles qui forment les côtés du triangle ABC : de sorte que le troisième théorème ne différerait pas du second, si Ton faisait coïncider le point SMe la figure 8 avec le point S, et si l'on remplaçait les trois arêtes S'O', S'M', S'N' par leurs prolongements com(ne on le voitsur la figure 11.
Les deux triangles sphériques de la figure 6 résulteraient alors des intersections de la surface d'une sphère qui aurait pour centre le sommet commun aux deux angles trièdres, par les six plans qui en forment les faces.
La figure 9 de la planche 24 est le développement de l'angle trièdre supplémentaire de celui qui avait été choisi pour sujet de la figure 2, de sorte que tous les^angles de la figure 9 sont remplaças sur la figure 9 par leurs suppléinents.
