ASGi.e THièQiii:. pl- 2Li

Il résulte de là que les six parties de l'angle trièdrî, flg. 2, étant aiguës, leurs suppléments, ftg. 9, sont obtus ; mais cela ne change rien à la manière de résoudre le' problème ; les opérations sont absolument les mômes et doivent être exécutées dans le même ordre, la position des points ou des lignes obtenues fait toute la différence des deux épures. J'engagerai donc le lecteur a exécuter sur la figure 9 toutes les opérations qui ont été indiquées au n» 188 pour la figure 2.

Pour rendre ce travaiil plujs facile, j'ai désigné par tes mêmes lettres tous les points et lignes correspondant» des deux figures. .

On remarquera cependant que les six parties de ce nouvel angle trièdre sont désignées par des lettres accentuées. De sorte que, pour reconnaître sur la figure 9, toutes les opérations qui ont été indiquées plus haut pour la figure 2, il suffira de remplacer les quantités a, b, c, A, B, C, par u\ h\ c'. A'» B', C. •

Toutes les vérifications qui ont été indiquées au n' 190, pour la figure jlS, auront également lieu sur la figure actuelle.

Ainsi la circonférence qui a Sm pour diamètre contiendra ' les points ?/ et v.

Les points m^'' et ^n'^ seront situés sur un.même arc de cercle décrit du point m comme centre.

L'angle m"'mm^^ sera égal à l'angle plan ou face 6'.

La droite iNO sera perpendiculaire à Sm. Et cette dernière droite contiendra le point rrC qui est le sommet de l'angle dièdre B'. . >

196. Quatrième problème ramené au second par les suppléments. Les principes rappelés au n* 194 permettront de ramener la solution des trois derniers problèmes à celle des trois premiers ; en effet, supposons pour le quatrième problème que les données soient les deux angles dièdres A, B et la face c, qui leur est commune, on construfra, fig. 15, 16 et 14 :

9h. 24. ANGLE TRIÈDRE. 103

Il est évident, alors, que la question est ramenée au deuxième problème, pour lequel on connaissait les deux feces a, bel l'angle dièdre compris C, de sorte qu'il ne reste plus -qu'à exécuter mot à mot, avec les nouvelles données, toutes les constructions indiquées au numéro t&i pour les données <z, 6 et G.

Puis, lorsqu'on aura obtenu c' A' et B', on aura

Ainsi, étant données A, B et c, on aura trouvé C, a et b.

Je ferai seulement remarquer que si les angles donnés A, B, c sont aigus, leur supplément a% f, et G' seront obtus, ce •qui donnera la figure 9 au lieu de la figura 2 que Ton avait obtenue pour la solution du deuxième problème ; mais cela ne changera rien à Tordre des opérations.

197. Deuxième solution du quatrième problème ^ePangrletrièdre. Étant donnés deux angles dièdres et la /ace qui leur est commune, trouver les deux autres faces et le troisième angle dièdre.

Lesdorinées étant i, A et C, tïg. 2, on construira :

!•» L'angle w^'^^mm^v ég^l à l'angle plan donné b (190);

2** Le triangle rectangle mm"'u pour lequel on connaît un ^té mm*" dont la grandeur peut être prise à volonté, et J'angle donné G ;

3° Le tnaqgle FBetj^agle mnk^v dQpt on connaît le cOté mm^^ égal à mm et l'angle donné A ;

4* Les deux droites Sw et Sv parallèles aux côtés mm^^' et .mm^ de l'angle m"'mm^ détermineront le point S et Taqgle ifSt; égal à 6.

Gela étant fait, il ne restera plus aucune difficulté ; aû|si :

5* Le triangle rectangle Si^m', dont on connaît le côté Su •et le côté tim' = um/", déterminera Tangle plan ou face a ;

6« Le triangle rectangle svm*" dont on connaît Su, et le côté vm" = vmiv déterminera l'angle plan o.

d04 ANftLE TRIÊDRE. PL. 25^

70 Enfin l'angle B se construira comme dans les premier et deuxième problèmes.

198. Cinquième problème ramené au troisième par les suppléments.

Les données étant A, Ç et c, on construira, flg. 15, IT et 14 :

et la question sera évidemment ramenée au troisième pro* Wème, pour lequel les données étaient les faces â, c, et. l'angle dièdre C opposé à l'une d'elles.

11 ne restera donc plus qu'à exécuter avec les nouvelles, données a', d et C toutes les opérations indiquées au n© i92„ pour les données a, c et C ; puis, lorsqu'on aura obtenu y k^ et B^ on aura

Ainsi, connaissant A, C et c, on aura trouvé B, a et ft.

Je n'ai pas tracé, sur la figure 9, les constructions indi^ quées au numéro 192, parce que la solution que nous allons, donner est beaucoup plus simple.

199. Deuxième solution du cinquième problème de l^angrle trièdre. Étant donnés deux angles dièdres et laface opposée à lun d*eux, trouver les deux autres faces et le troisième angle dièdre.

Les quantités données étant A, C et a, on construira, pi. 26, fig. 3 :

!• L'angle donné a sur l'un des côtés duquel on prendra, un point quelconque m' ;

2? La perpendiculaire abaissée de ce point m\ sur le second côté SN de l'angle a, déterminera le point m, sommet de l'angle donné C ; ^ v

3** On construira le triangle rectangle mum''^, dont on connaît l'angle C, et Thypoténuse um^'^ égale à um' ;

40 On tracera la droite mS, et sur cette droite, comme diamètre, on décrira la circonférence qui doit contenir le point V, sommet de Tangle A donné ;

5° Pour déterminer la place du point v sur la circonférence qui a &m pour diamètre, on construira le triangle rectangle m\m''\ dont on connaît le côté mm'" de Tangle droit, et l'angle mym/'' égal à l'angle donné A* ;

6° Du point m comme centre, avec une ouverture de compas égale à mV, on décrira l'arc de cercle Vv, ce qui déterminera la position du point v sur la circonférence qui a Sm pour diamètre ;

?• On joindra le point v avec S, et Tangle wSu sera la face' ou angle plan b ;

8** Dès que la face b sera connue, on déterminera Tépure en opérant comme pour le deuxième problème.