Sixième problème ramené au premier par les suppléments

Étant donnés les trois angles dièdres A, B et C, trouver les trois angles plans ou faces a, b, c.

Solution. On* construira, flg. 15, 16 et 17, pi. 24 :

io 180*» — A=a^•

La question se trouve alors ramenée au premier problème, pour lequel on connaissait les trois faces a, b, c.

Ainsi, en exécutant sur la figure 9 avec les nouvelles données a\ b\ c', toutes les opérations indiquées au nunjéro 188, pour les données a, 6, c, on obtiendra les trois triangle» dièdres A', B', C, dont les suppléments a, 6, c seront les quantités demandées.

201. Deuxième solution du sixième problème. Concevons, fig. 8, pi. 26, un cône circulaire dont la gêné-

if)^ ANGLE TRlÈpRE. PL. 26.

ralrjce OA îeml, avec le plan P, un angle V ; il est évident [Géom.) que tout plan, tel que P^, qui serait tangent au cône, ferait .également un angle V avec le plan P. D'après cela, étant donnés les trois angles dièdres A^ B et C :

l* Concevons, flg. 1, un plan de projection perpendiculaire à la droite, suivant laquelle se coupent les plans P et P^ qui contiennent les deux faces a et c que Ton veut obtenir. L'angle donné B sera projeté sur ce plan dans sa grandeur réelle ;

2** Si par un point 0, pris à volonté dans Tintérieur de l'angle msn, on conçoit la droite Ou, faisant avec le plan P Tangle G donné, cette droite Ou, tournant autour de Oq perpendiculaire au plan P, engendrera un cône circulaire Otz^ et tout plan tangent à ce cône fera avec le plan P, par conséquent avec la face a, un angle dièdre égal à l'angle C donné ;

3** Si par le point 0 on conçoit une seconde droite Oy, faisant avec le plan P^ Tangle A donné par la question, cette droite Ov tournant autour de Og, perpendiculaire au plan P^ engendrera un second cône circulaire Oie, et tout plan tangent â ce dernier cône fera avec le plan P^, et par conséquent avec la face a, un angle di^èdre égal à l'angle A donné ;

4** Il est donc évident que tout plan qui sera tangent aux deux cônes 0^2 et Oie contiendra la face &, puisqu'il coupera le plan P ou la face a, suivant l'angle 0 et le plan P, ou la face c, suivant l'angle A.

5^ Pourconstruire un plan tangentaux deux cônes 0^2 et Oie, il faudra se rappeler un théorème connu dont voici l'énoncé:

Si l'on Conçoit, fig. 9, qu'une sphère soit pénétrée par un cône, de manière que l'une des courbes de pénétration TZ soit un cercle, la seconde courbe lE sera pareillement circulaire [2m).

Réciproqqement, si deux cercles TZ, lE sont situés sur la même sphère, on pourra toujours concevoir une surface co-nique qui les contiendra tous deux (207) ;

&> Ce qui précède étant admis, si l'on trace sur la figure première les deux droites (i et ze, le point x, suivant lequel ces deux droites se rencontreront, sera le sommet d'un cône qui contiendra les deux cercles tz et ie, de sorte que si l'on joint le point x avec le point 0, sommet commun des deux

premiers cônes, la droite ^0 sera l'iatersection de deux plans qoi toucheront en même temps les teois cônes, et qui pourront être pris, l'un ou Tautre, pour la face b demandée, puisqu'ils couperont le plan P ou la face a suivant Tangle donné C .et le plan P, ou la face c suivant l'angle donné A ;

7o De ce que, par la droite Qx, on peut mener deux plans tangents aux trois cônes, il semblerait qu'il peut exister deux angles dièdres satisfaisant aux conditions données : mais ces deux angles étant placés symétriquement par rapport au plan de projection que Ton a choisi, et les parties symétriquement placées étant égales chacune à chacune, nous ne considérerons pas ces deux angles trièdres comme deux solutions différentes, et nous ne prendrons que les parties de l'angle trièdre situé au-dessus du plan de projection qui contient le point 0 ;

8** Pour obtenir les faces a, b, c, nous supposerons que les plans Pet P^ qui contiennent ces faces se renversent l'un à g;auche et l'autre à droite de l'épure, tandis que le plan tangent aux trois cônes se rabsit autour de la droite mn^ qui contient les sommets x eib \

9*» Dans ce mouvement, les points w et n ne changeront pas de place; la circonférence décrite du point q, comme centre,^ sera l'intersection du côneOte, par le plan P et la tangente ms', sera l'intersection du plan P, qui contient la face a\ par le plan q^ui est tangent aux trois cônes, et qui contient la face b ;

10* La circonférence décrite du point g comme centre est l'intersection du cône Oie par le plan P^ et la tangente ns" est la droite suivant laquelle le plan P^ qui contient la face c, est coupé par le plan de la face b ;

1 1° Les droites 5/ et w" perpendiculaires, la première sur ms et la seconde sur n$, doivent être égales entre elles^ puisque chacune d'elles représente la perpendiculaire abaissée du point S de l'espace sur le plan de la projection B.

Cette perpendiculaire est l'intersection des deux plans P et P| ;

1-2» Enfin, les droites /m, mnetm''' sont les trois côtés du triangle, au sommet duquel se trouve l'angle m^'"n égal à la face demandée 6, que l'on suppose ici rabattue sur l'épure en tournant autour de la droite mn\

10^ AKGLÊ TRIÈDRE. PL. 26.

13** Dans ce mouvement, le points de l'espace décrit un arc de cercle projeté sur le plan de l'épure, par la droite ss^^\ qui par conséquent doit être perpendiculaire sur mn.

Remarque. Si le point x était trop éloigné, ou si les deux droites tielze se coupaient trop obliquement, on tracerait :

1** La droite t'z' parallèle klz ; 2« La droitei t'o' parallèle à iO ; 3** Là droite z'o' parallèle à zO.

On déterminerait ainsi le point o' homologue du point 0,^ et la droite Oo' passerait par le point x qui est le centre de similitude des deux triangles tzO, H'o' (Géom.).