CHAPITRE Y

Polyêdrea.

274. Projection des polyèdres. On sait {Géom.) que les polyèdjes sont des corps terminés par des faces planes. II résulte de là que les dimensions d'un polyèdre seront parfaitement connues dès que Ton connaîtra la position relative de ses sommets ; car la position des sommets déterminera celle des arêtes, et les arêtes détermineront les faces.

On voit donc que pour projeter un polyèdre il suffira de projeter tous ses sommets. Mais comme, en représentant sur une épure toutes les dimensions d'un corps que l'on se propose d'exécuter, on doit prévqir le" moment où il faudra obtenir d'après le dessin les véritables grandeurs des diverses parties de ce corps pour les transporter sur les matériaux dont il doit être composé, on doit, autant qu'on le peut, choisir le système du plan de projection le plus propre à atteindre ce but. Ainsi, par exemple, s*il s*agit d'un prisme, on placera, flg:. 146, pi. 32, une de ses bases abcde dans le plan horizontal et l'on prendra pour second plan de projection un plan vertical parallèle aux arêtes ; puis, après avoir construit la projection horizontale de la base supérieure, on élèvera, par tous les sommets de cette projection, des perpendiculaires jusqu à ce qu'elles rencontrent le plan horizon-

tal p, dont la position est déterminée par la hauteur que Ton veut donner au prisme que Ton projette.

On voit qu'au moyen de la précautioa que l'on a prise de placer les bases du prisme horizontalement, et les arêtes parallèles au plan vertical de projection, toutes les arêtes de ce corps sont projetées sur l'un ou l'autre plan de projection dans leur véritable grandeur.

275. Les figures obtenues par la méthode des projections diffèrent essentiellement des formes apparentes sous lesquelles les corps se présentent ordinairement à nos yeux. Nous verrons la raison de cette différence lorsque nous nous occuperons de la perspective. Cependant, pour rendre plus faciles à concevoir les projections des corps solides, on est convenu que Ton regarderait certaines lignes comme vues, et d'autres comme étant cachées, et que pour les distinguer on tracerait en plein les lignes vues, et que l'on ponctuerait les lignes cachées. Pour cela on suppose, lorsqu'on regarde la projection horizontale d'un corps, que l'œil est placé au dessus d^ ce corps à une distance infiniment grande, et lorsqu'on regarde la projection verticale, on est censé être placé devant le plan vertical, et infiniment loin de ce plan. Cette supposition d'une distance infinie est nécessaire ; car sans" cela, comme nous le verrons plus tard, la forme apparente d'un corps ne serait pas la môme que sa projection.

Cette convention une fois adoptée, nous dirons qu'uneî ligne est vue, lorsqu'un point quelconque partant de cqtte ligne peut s'éloigner infiniment du plan de projection, et suivant une perpendiculaire à ce plan, sans rencontrer la masse tf aucun corps solide, et dans le cas contraire la ligne est cachée.

Ainsi, par exemple, si les deux lignes {aa\ bb'), tlg. 147, étaient deux arêtes du même polyèdre, la première serait cachée sur la projection horizontale. En effet, si on trace la verticale du poink m, il est évident qu'elle coupera les deux droites données aux points m'm^'. Or, le dernier de ces deux points appartenant à la droite bb\ on en conclut que cette ligne passe au dessus de aa', et que, par conséquent, la projection horizontale de cette dernière droite doit être

tracée en points. Par un raisonnement analogue, on reconnaîtra que la projection verticale de la ligne bV doit être ponctuée.

276. Si Ton voulait projeter une pyramide, flg. 148, on placerait la base dans le plan horizontal, puis on construi-^ rait en s la projection horizontale du sommet dont la projection verticale s! serait déterminée par la hauteur que l'on veut donner à la pyramide.

On conçoit qu'ici on ne peut placer qu'une ou quelquefois deux des arêtes obliques, parallèlement au plan vertical.

277. Nous avons supposé jusqu'ici que l'on projetait un polyèdre dans l'intention de l'exécuter ensuite ; mais assez souvent le corps existe déjà lorsqu'on se propose d'en obtenir les projections.

Ainsi, par exemple, s'il s'agissait de dessiner les projections d'un monument ou d'une machine, on commencerait par mesurer toutes les dimensions des lignes horizontales et verticales, que l'on reporterait ensuite sur l'épure, soit dans leur grandeur véritable, soit réduites d'après un rapport donné ; puis au moyen ^'un (il à plomb ou d'une équerre placée verticalement, on déterminerait les pieds des perpendiculaires abaissées des points qu'il serait essentiel de projeter ; et, mesurant les hauteurs de ces points au dessus duplan horizontal, il serait facile de construire la projection verticale du solide.

Mais on conçoit que l'exactitude du résultat dépendra du plus ou moins de soin avec lequel on aura pris toutes les mesures, ou de la perfection des instruments que Ton aura employés. Aussi ne devrâ-t-on prendre sur le corps même que le moins démesures possible, et déduire, autant que l'on pourra, la grandeur de toutes les autres parties de ce corps, de sa définition géométrique. Ainsi, î)ar exemple, s'il s'agit d'un prisme droit à base carrée, on ne mesurera que le côté de la base et la hauteur du prisme ; lorsque plusieurs points seront dans un même plan horizontal, il suffira de connaître la hauteur de l'un d'eux.

PL. 32, POLYÈDRES. i^i

Nous allons faire Tapplication de ces principes à la projeclion des cinq polyèdres réguliers.

278. Projection du tétraèdre régulier. Oii construira d'abord, flfiT. 149, un triangle équilatéral ahc-; puis, joignant les trois sommets de ce triangle avec le centre d, on aura la projection horizontale du tétraèdre. Pour obtenir la projection verticale, on projettera les sommets a, b, c sur la ligne AZ ; et si l'on a eu soin de placer Tune des arêtes ad, a'd* parallèle au plan vertical, elle doit se projeter sur ce plan dans sa véritable longueur ; de sorte qu'il suffira de décrire du point a', comme centre, avec un rayon égal à l'un des côtés de la base, un arc od* dont Tinlersection avec la verticale dd\ donnera en d' la projection verticale du sommet.

279. Projection du cube ou hexaèdre régulier. On construira deux carrés égaux et disposés comme ^on le voit, ilg. 150, l'un sera la projection horizontale, et Vinire sera la projection verticale.

280. Projection de l'octaèdre régulier. Deux carrés disposés comme dans la flg. 151 représenteront les projections »de Toctaèdre régulier. Des douze arêtes de ce solide, il y en a quatre parallèles au plan horizontal, et.quatre parallèles au plan vertical.

281 . 'Projection du -^iodécaèdre régulier. La projection horizontale de ce solide, flg. 152, se composera d'abord de deux pentagones réguliers égaux à l'une des faces, et inscrits dans le même cercle, de manière que les sommets de l'un soient au milieu des arcs sous-tendus par les côtés de l'autre, et d'un décagone régulier inscrit dans un cercle d'un plus grand rayon, et tel que l'on ait cd = ab.

Pour construire la projection verticale, on remarquera que l'arête eh, e'h' étant parallèle au plan vertical, doit se projeter sur ce plan suivant sa véritable grandeur, et que par la même raison x/u' doit être égal à la hauteur d'une face.