Projection de l'icosaèdre régulier. Après avoir con

siruit la projeclion horizontale, comme on le voit, flg. 153» on .fera a'V égale à une arête, et ddf égale à la hauteur de Tune des faces.

283. Projection oblique des polyèdres. Il arrive quelquefois dans l'architecture, et souvent dans les dessins des machines, que l'ofn a besoin de projeter un corps solide dans une position inclinée par rapport aux plans de projection. On pourrait placer d'abord le corps dans cette position, et chercher ensuite à construire la projection par les moyens que nous avons indiqués plus haut ; mais il est presque toujours plus fapile d'opérer comme il suit.

On placera d'abord le corps dans la position la plus simple et la plus favorable à la construction de ses projections ; puis, par deux mouvements parallèles aux plans de projection, on l'amènera dans telle position inclinée que l'on voudra. *

Soit,ipar exemple, fig. 155, pi. 33, une droite {pb, a'f) perpendiculaire au plan horizontal de projection.

Si Ton suppose que cette droite tourne autour de l'horizontale projetante du point {aa') en restant parallèle au plan vertical, on pourra l'incliner de manière qu'elle fasse tel angle que l'on voudra avec le plan horizontal ; dans ce premier mouvement, le point [bb') décrira un arc de cercle (6c, b'c'). Faisant ensuite parcourir.au point [c&) l'arc hori- . zontal \cd, c'd'), l'angle avec le plan horizontal n'aura pas changé, et, par ce double mouvement, on pourra faire prendre à la droite telle position inclinée que Ton voudra.

284. C'est par ces moyens que Ton a construit, fig. 154» les projections d'un parqllélipipède rectangle incliné par rapport aux plans de projection.

Après avoir construit les projections verticale et horizontale, que je désignerai seulement par les lettres {ab, à'6'), placées aux extrémités de l'une des diagonales du solide, oa a supposé que ce corps tournait autour dé l'horizontale projetante du point a et parallèlement au plan vertical, jusqu'à ce qu'il soit venu prendre la position inclinée dV. Par ce

premier mouvement, le point m' est venu se placer en n', et le corps étant resté parallèle au plan vertical, sa projection sur ce plan n'a fait que changer de position; de sorte que, pour avoir sa nouvelle projection verticale, il a suffi de construire sur a'n' un rectangle a'n'&q' = a^m/Vp'. Les cercles décrits par chacun des sommets étant parallèles au plan vertical, ie projettent horizontalement par des droites parallèles à la ligne AZ ; les intersections de ces droites avec les perpendiculaires abaissées de la projection verticale a'Wc'q^ sont lès sommets de la nouvelle projection horizontale du soUde. ,

Supposons actuellement que nous faisons tourner le corps autour de la verticale du point {aa'), le point nn' décrira . Tare horizontal [no, n'o'). Ce second mouvement se faisant parallèlement au plan horizontal, la position du corps, relativement à ce plan, est toujours Ja même, de sorte que la projection horizontale ne fait que changer de place, et pour l'obtenir il suffit de construire de nouveau cette projection, de manière seulement que la Jigne an soit dans la position ao. Quant à la projection verticale correspondante, on l'obtient en élevant de tous les points de la nouvelle projection horizontale des perpendiculaires jusqu'à la rencontre des arcs horizontaux parcourus par les sommets du solide dans le second mouvement, et représentés par les lignes horizontales passant par les sommets de la projection a'n^dq',

285. On peut encore arriver au même but par un autre moyen. Nous avons, dans l'exemple précédent, changé la position du corps par rapport aux plans de projection : on préfère souvent, au contraire, changer la position du plan de projection par rapport à celle du corps. Soit a, a\ flg. 158, les deux projections d'un point donné. On veut avoir la projection de ce point sur le plan vertical p. On abaissera du point donné une perpendiculaire sur le plan p, et le pied de cette perpendiculaire sera la projection demandée^ Ce point se projettera horizontalement en h. Il est inutile de construire la projection verticale 6', qui ne servirait à rien ; mais pour mieux apprécier sa position sur le plan vertical p, on supposera que ce pian tourne autour de

154 POLYÉDHES» PL. 33.

sa irace verticale comme charpière, pour se rabattre sur l'épure. Dans ce mouvement, le point 6, V décrira un arc horizontal, et viendra prendre Isb position b" ; on pourrait aussi rabattre le plan p sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour.de sa trace horizontale; alors le point bV viendrait se placer en b"\ que l'on obtiendrait en faisant bV'l égal à la hauteur du point donné au dessus du plan horizontal.

286. Dans les figures 156, 157, 15^, on s*est proposé de construire les deux projections d'une croix inclinée par rapport aux plans de projection.

Après avoir obtenu la projection inclinée abcd^ on a construit les traces du plan vertical sur lequel on s'est proposé d*ol?tenir la nouvelle projection ; puis, après avoir abaissé de tous les angles du solide des perpendiculaires à ce plan,' on Ta fait tourner autour de Tune de ses traces, pour le rabattre sur l'un ou sur l'autre des deux premiers plans de projection. La figure 157 représente la nouvelle projection rabattue sur le plan vertical, et dans la figure 159, elle est rabattue sur le plan horizontal.

287. Il arrive assez souvent, surtout, comme je l'ai dit plus haut, dans les projections des machines, que l'on soit conduit à projeter quelques-unes de leurs pièces dans une position inclinée, afin de faire mieux concevoir comment ces pièces agissent les unes sur les autres, par suite du mouvement qui leur est communiqué ; mais il arrive encore plus souvent que les mêmes procédés soient employés pour résoudre le problème inverse, c'est-à-dire qu'étant données deux projections d'un corps incliné dans l'espace, on remplace les plans coordonnés primitifs par d'autres sur lesquels les projections de ce même corps sont plus simples, et par conséquent plus commodes pour la solution des questions subséquentes. Ce cas se présentera souvent par, la suite; mais, les moyens qu'il faut employer ne difiérant pas de ceux que nous venons d'indiquer, nous ne nous y arrêterons pas pour le moment.

288. Développement. Développer la surface d'un polyèdre! On dit qu'une surface est développable^ lorsque toutes les parties de cette surface peuvent s'éteudre sur un plan sans déchirement. D'après cela, les surfaces de tous les polyèdres peuvent se développer.

Soient, t\g, 160, pi. 34, les deux projections d'une pyramide quadrangulaire ; on construira (52) la véritable longueur de chacune des arète^, ce qui donnera le moyen de construire, fig. 161, les faces triangulaires bad, bde,becj bca ; quant à la surface quadrangulaire a^ed^ on la partagera en triangles par la diagonale ae, puis on construira les deux triangles ace, aed, qui composent cette face. On agirait de la môme manière quel que soit le nombre des côtés.

289. Lorsqu'on disposera les données de cette épure, il ne faudra pas placer au hasard les quatre sommets du quadrilatère aced, a'c'efd'^ parce qu'en agissant de la sorte il esÇ probable que ces sommets ne seraient pas dans, un même plan. Pour satisfaire à cette condition, il faudra construire les deux diagonales et s'assurer qu'elles se coupent (59).

La même remarque doit s'appliquer aux projections d'un polygone quelconque.

290. Lorsqu'il y a dans le polyèdre que l'on se propose de développer quelques relations de régularité ou de symétrie, on doit en profiter pour donner au développement plus d'exactitude et de simplicité. Les développements des po* lyèdres réguliers ofl'rent un exemple de ce que je viens de dire. La figure 163, qui représente le développement d'un tétraèdre régulier, n'est autre chose qu'un triangle équilatéraldont chaque côté est partagé en deux parties égales. Le développement de l'octaèdre régulier est inscrit, flg. 164, dans un parallélogramme composé de deux triangles équila-

, téraux, et dont les côtés sont partagés en trois parties égales; et celui de licosaèdrCf fig. 165, est inscrit dans un parallélogramme dont les côtés sont partagés en cinq parties égales. Le développement du cube ou hexaèdre régulier est inscrit

«'dans un rectangle dont la base est à la hauteur comme 4 est

j56 POLYÈDRES. PL. 35»

à 3. Enfin, pour obtenir le développement du dodécaèdre régulier, on construira deux grands pentagones réguliers égaux el disposés comme on le voit dans la figure 167; puis, en menant toutes les diagonales de ces pentagones, on obtiendra, par leur intersection, deux autres petits pentagones placés au centre des premiers, et dont les diagonales prolongées détermineront toutes les faces du dodécaèdre.

Chaque côté de l'un des deux grands pentagones doit être égal à deux fois Tarête du dodécaèdre que Ton veut développer, plus le .grand segment de cette arête partagée en moyenne et extrême.

291. Étant données les deux projections d'un polyèdre y construire les traces des plans qui contiennent les faces de ce polyèdre.

On choisit dans chaque face trois sommets ou deux arêtes, çt la question revient à chercher les traces d'un plan passant par trois points, ou par deux lignes droites qui se coupent (69, 70). C'est ainsi que Ton a obtenu, tig. 162, les traces des douze plans qui contiennent les faces d'un dodécaèdre régulier.

292. Section des polyèdres. Construire la section d'une pyramide par un plan.

On pourrait, comme nous l'avons dit (291), construire sur les plans de projection les traces des plans qui contiendraient les faces du polyèdre ; alors la question reviendrait à chercher l'intersection de ces plans par le plan donné ; mais il est presque toujours plus simple de chercher les points où le plan donné coupe les arêtes du polyèdre. Par exemple, soit, flg. 168, pi. 35, une pyramide pentagonale dont on demande la section par le plan p ; on fera pour chacunç des cinq arêtes la construction indiquée (87) et l'on obtiendra les projections verticales et horizontales des cinq points suivant lesquels ces arêtes sont coupées par le plan donné. Joignant ces points par des droites, on aura les projections verticale et horizontale de la section demandée.

Si l'on voulait obtenir cette section dans sa véritable

PL. 35. POLYÎÈDRES. *57

grandeur, on pourrait supposer que le plan qui la contient tourne autour de sa trace, pour venir se rabattre sur le plan horizontal. Dans ce mouvement, chaque point de la section décrirait un arc de cercle perpendiculaire à la trace horizontale du plan donné, et représenté en projectioa horizontale par une perpendiculaire à cette trace ; de sorte que pour savoir où chacun d'eux viendrait se placer dans le rabattement, il suffirait de chercher sa distance à la ligne qui a été prise pour axe de rabattement. Ainsi, par exemple, pour le point dd', on chercherait la véritable longueur de la ligne od, o'd\ei celle longueur od'' donnerait la position du point dd' dans le rabattement de la section.

Si l'on voulait construire cette section dan& le développement de la pyramide, on construirait d'abord ce développement commQ nous l'avons dit (28S) ; puis, cherchant la véritable distance de chaque sommet de la section au sommet correspondant de la base ou au sommet de la pyramide, il serait facile de placer chacun de ses points sur la droite qui, dans le développement, représente Parête qui le contient. Dans la flgtire 168, l'arête {sm, sW) étant parallèle au plan vertical, se projette sur ce plan dans sa véritable longueur ; mais pour construire le développement, il a fallu chercher la véritable longueur de chacune des autres arêtes.

Enfin, si le corps dont on a les projections était déjà exécuté, on pourrait se proposer de tracer sur ce corps le polygone résultant de sa sec.tion par lé plan p. Pour cela, on prendrait la distance de chacun des sommets de cette section au sommet de la pyramide ou aux angles de sa base, et il serait facile, en reportant ces longueurs sur les arêtes du polyèdre, d'y déterminer exactement la position des angles de la section.

293. Section perpendiculaire au plan de projection, La disposition des données permet presque toujours de simplifier les opérations. Si, par exemple, il s'agissait d'obtenir la sefction d'un prisme par un plan perpendiculaire aux arêtes, on placerait ce prisme parallèlement au plan vertical de projection, auquel le plan coupant se trouverait alors perpendiculaire ; la section se projetterait verticalement par