POLYÈDRES. V PL

une ligne droite a'd', et pour en avoir la projection horizontale, il suffirait d'abaisser par les points a'Vh'c'efd' des perpendiculaires à la ligne AZ, jusqu'à la rencontre des projections horizontales des arêtes. La figure {a"h"o"d"e"h") représente la section rabattue dans sa véritable grandeur sur le plan vertical qui contient l'arête Au, h'u' ; on suppose qu'avant de la rabattre, on Ta fait avancer parallèlement à elle-même jusqu'à ce qu'elle soit venue se projeter en (mn).

La véritable grandeur de la section étant obtenue, on a porté tous ses côtés à la suite les uns des autres, et dans le prolongement de la trace verticale du plan p, ce qui a donné la ligne [a^"h'"d" ,,.) pour la section rectifiée^ puis, ayant meqé par tous ces points, et perpendiculairement à a"'m"\ des lignes parallèles et égales aux arêtes du prisme, on a obtenu le développement de ce solide. Nous emploierons souvent, par la suite, ce moyen de développer la surface convexe d'un prisme ; il est plus commode et plus exact que la décomposition des faces en triangles.

284. La section perpendiculaire aux arêtes d'un prisme se nomme la section droite.

285. Trouver les points oii une ligne droite perce la surface d^un polyèdre^ pi. 36.

On fera passer par la droite un plan quelconque ; on cherchera la section du polyèdre par ce plan, et les points où la droite donnée rencontrera cette section seront les points demandés

En faisant usage d'un plan perpendiculaire à l'un de& plans de projection, il est évident que la construction de la section du polyèdre par ce plan sera plus facile à'Dbtenir.

Dans la figure 170, pi. 26 (a, a'), est la droite donnée. Si Ton mène par cette droite un plan vertical/?, et que Ton construise la projection verticale de la section quiien résulte^ les points (m, m')^ (rt, n') où cette section est rencontrée par la ligne aa', seront les deux points demandés. En construisant le plan p' perpendiculaire au plan vertical, et la projec-

lion horizontale de la section qui en provient, on aurait obtenu le même résultat.

296. Étant donnée la projection verticale a d'un point que Von sait appartenir à la surface d'un polyèdre^ trouver la projection horizontale de ce même point.

Cela revient à trouver l'intersection du polyèdre par la droite cd, fig. 171, menée par le point a perpendiculairement au plan vertical. Pour cela, menons par cette droite le plan, horizontal p, et construisons la section du polyèdre par ce plan, nous obtiendrons pour cette section un polygone horizontal coupé par la droite cd en deux points a', a'\ qui sont les projections horizontales des deux points appartenant à la surface du polyèdre, et ayant la même projection verticale a.

Si Ton donnait la projection horizontale h\ et qu'il fallût trouver la projection verticale, on construirait un plan // perpendiculaire au plan horizontal de projection, et la section du polyèdre par ce plan serait rencontrée par la verticale eh en deux points V^ 6'^ qui seraient les projections des deux points de la surface du jTolyèdre qui se projettent horizontalement en b,

297. Pénétration des polyèdres. Toutes les fois que l'on coupe un polyèdre par un plan, la section est une figure plane ; mais lorsque deux polyèdres se pénètrent, il en résulte une figure rectiligne dont les côtés peuvent être dirigés dans toutes sortes de directions.

Pour obtenir les difl'érents côtés qui composent cette figure, on cherchera les intersections de chacune des faces du premier polyèdre avec les différentes faces du second, et Tensemble de ces intersections •formera la figure demandée. Pour obtenir l'intersection des plans qui les contiennent chercher les traces de l'intersection de ces faces deux à deux^ ou bien encore chercherles intersections des arêtes de Tune d'elles avec le plan qui contient l'autre ; mais il sera presque toujours plus simple d'opérer comme il suit :