Supposons, flg. 172, que le triangle {abc, db'd

460 POLTÈDBES. PL. 36.

appai tienne à Tun des deux polyèdres proposés, et que le quadrilatère {mnqs, m'n'q's') soit une des faces du second (289) ; en prolongeant les lignes [ab, a'V) [bc, ftV) jusqu'à leur rencontre avec le plan horizontal, on obtiendra la ligne vu qui représente la trace horizontale du plan qui contient le triangle. On cherchera de la même manière la trace si du plan qui contient le quadrilatère, et le point hh' où ces deux traces se rencontrent fera partie de l'intersection des deux faces proposées. Pour obtenir un second point de cette intersection on pourrait avoir recours aux traces verticales des mêmes plans ; mais comme il arrive souvent que ces traces sont situées hors de Tépure, il faudra opérer comme nous l'avons dit (77). On construira un plan horizontal p, qui couperales plans du triangle et du quadrilatère suivant les deux droites œy, rz^ dont le point de rencontre /cfc' sera un second point de l'intersection cherchée, de sorte que les projections de cette ligne seront (ft/i, AW). Quand on aura obtenu cette infersection, on en retranchera tout ce qui serait en dehors des faces données, et tout ce qui appartiendrait à Tune d'elles sans faire^partie de 1 autre; de sorte que l'on ne conservera que la partie {eo, e'o') commune aux deux faces données ; on passeca ensuite à Tintersection de deux autres faces.

299.* Il faudra opérer avec beaucoup d'ordre et de précision. Soit, flg. 173, un angle trièdre composé du pentagone ^, du triangle 6, et du quadrilatère c ; on veut avoir toutes les lignes provenant de sa pénétration dans un angle polyèdre composé des deux triangles 6' et (/, et des deux quadrilatères a' et d'. On cherchera d'abord, par l'un des moyens indiqués plus haut, l'intersection des faces a et a\ et l'on ne conservera de cette intersection que la partie mn commune à ces deux faces ; et comme le point n fait encore partie de la face a', on cherchera l'intersection de cette face avec 6, ce qui donnera a'6, dont on ne conservera que la partie no. Arrivé là, il faut sortir de la face a ; mais comme le point 0 est dans Tintérieur de la face 6, on cherchera l'intersection de cette face ft' adjacente à a' ; ce qui donnera bb'^ dont on ne conservera que la partie 09, commune aux

deux faces ^^et b'. On continuera à tourner de cette manière, jusqu'à ce que Ton soit revenu au point m, d'où l'on était parti ; ce qui formera le polygone provenant de la pénétralion des deux polyèdres.

300. On remarquera qu'à chaque opération, l'extrémité du dernier côté obtenu devant faire partie de celui qui doit suivre, il suffira d'obtenir un point pour déterminer ce côté. Il n'y a donc que pour le premier côté qu'il faudra obtenir deux points ; le dernier ♦sera déterminé par l'extrémité de celui qui précède, et par le point d'où Ton est parti ; de sorte que si Ton cherche un point du dernier côté, ce ne peut être que pour vérifier les constructions.

301. L'épure de la planche 37 a été construite d'après ces principes : on s'est proposé d'obtenir toutes les lignes provenant' de Vintersection d'un tétraèdre avec un prisme "quadr angulaire.

Je désignerai chacune des faces obliques par les deux lettres placées aux exlrémit(^s du côté suivant lequel cette face rencontre le plan horizohtal. Ainsi :

Les trois faces obliques du tétraèdre seront ab, bc, ca.

Les quatre faces du prisme seront de, em, mn, nd. .

En opérant comme il a été dit (298), l'intersection des faces

ab avec de, donne ou,

ab ... em ut,

bc . . . em, .... tx,

ca . . '. em, , . . . œs,

ca . , , dey . . . • so;

d'où résulte le polygone {outTs).

Ce polygone,' que nous venons d'obtenir, est celui par lequel le sommet du tétraèdre pénétrerait dans le prisme, quadrangulaire. En opérant de la même manière, on trouvera un secopd polygone (lA/^r), par lequel le sommet du tétraèdre sort du^prisme.

^ * Il

Voici Tordre (les opérations pour obtenir le second polygone ; rintersection de

ab avec nd, donne t/c,

bc . . , nd^' .... klf

bc . . . mn, .... tg^

ca . . . mn, , . . , gr^

ca . . , nd, .... ri.

302. Dans l'exemple que je viejjs de proposer, les deux polygones d'entrée et de sortie sont entièrement séparés l'un de l'autre, et dans ce cas on leur donne le nom de pénétration ; mais il pourrait se faire, si le tétraèdre était un peu reculé dans un sens ou dans l'autre, qu'il ne fût pas entièrement engagé dans le prisme ; alors les deux figures se mêleraient et n'en feraient qu'une seule, à laquelle, dans ce cas, on donnerait le nom à' arrachement.

303. Quand on a obtenu toutes les lignes provenant de la pénétration de deux corps, il reste à reporter ces lignes sur la surface même de ces corps ; ce qui peut se faire de deux manières.