CHAPITRE PREMIER

EAgnem courbes.

307. L'idée la plus simple que Ton puisse se former d'une ligne courbe, c'est de la considérer comme engendrée par le mouvement d'un point qui se détournerait infiniment peu à chaque pas.

308. Pour définir une courbe, il faut énoncer les conditions de sa génération. Ainsi, par exemple, une circonférence de cercle est une courbe engendrée par un point assujetti à se mouvoir dans un plan, de manière à rester toujours à égale distance d'un autre point de ce plan que Ton nomme centre.

309. Si toutes les positions du point générateur d*une courbe sont dans un même plan, on dit que cette coui'be est

'plane : dans le cas contraire, on la nomme courbe à double courbure. Nous verrons bientôt d\où vient cette dénomination.

310. Le nombre des positions successivement occupées par le point générateur étant infini, il est impossible de les Construire toutes. Dans ce cas, on construit un certain liombre de ces points, très-rapprochés les uns des autres, et les joignant entre eux, on obtient une ligne qui diflêre peu de la courbe que l'on se proposait de construire.

Il est évident que cela revient à considérer la courbe comme un polygone d'une infinité de côtés ; chacun de ces côtés, ^ cause de sa pelttesse, peut être regardé comme élément droit de la courbe. Si on le prolonge, on a une ligne droite qui, en deçà et au delà, s'écarte du cours de la courbe, et ne se confond avec elle que suivant ce même élément. Cette Jigne droite se nommé tangente, etTélément infiniment petit qui lui est commun avec la courbe se nomme point de tangence ou de contact.

311. Il ne faut pas attacher à ce mot de tangente le même sens qu'en Géométrie : on voit, par ce qui précède, qu'une ligne telle que afe, fig. 179, pi. 39, qui toucherait une courbe au point a, pourrait la couper ailleurs. La ligne ac, menée par le point a perpendic^lairement à la tangente, se nomme une normale.

312. Le point de tangence possède une propriété géométrique qui n'appartient pas rfu point de section. En effet, si on conçoit qu une sécante quelconque ao tourne autour du point a dans le sens indiqué par la flèche, il est évident que le point 0 se rapprochera du point a, et lorsque ces deux points seront réunis, la droite que Ton aura fait tourner sera tangen te. .

11 résulte de là que le point de tangence est un point double, puisqu'il provient du rapprochement de deux points de section. C'est pourquoi il détermine complètement la direction de la tangente, par suite de ce principe de Gçométrie, que par deux points on ne peut faire passer qu'une ligne droite, même lorsque ces deux points sont infiniment rapprochés.

Il n'en est pas de même du point de section 6, qui, étant un point simple, ne suffit pas pour déterminer la direction de la sécante bu.

313. Cercle osculateur, rayon de courbure. Soit, flg. 180, une courbure man, la tangente ac, et la normale àb. Supposons qu'avec des rayons de différentes grandeurs on ' décrive plusieurs cercles passant parle point a et ayant leurs

ceruressur la normale. Tous ces cercles toucheront au point rrlacoarbe man et sa tangente àc, de. sorte que les uns seront en dedans de la courbe, les autres passeront entre la courbe et la tangente ; mçiis il est évident que, parmi tous les cercles possibles, il y en aura un qui s'approchera plus de la courbe qu'aucun des autres ; on le nomme cercle osculateur. Sa courbure présente celle de la courbe au point a, et son rayon se nomme le rayon de courbure,

314. Si tous les pbints de la courbe n'étaient pas dans un même plan, on pourrait toujours concevoir trois points de celte courbe infiniment près les uns des autres. Ces trois points ■ détermineraient le centre et le rayon du cercle osculateur, et le plan de ce cercle se nommerait plan ,osculateur. II contiendrait l'arc extrêmement petit passant par les trois points qui déterminent sa position, et s'éftirterait de la courbe en deçà et au delà de cet arc. '

, 315. Quelquefois la courbure d'une courbe est constante comme dans la circonférence du cercle ; souvent elle est variable : tantôt le centre de courbure passe d'un côté à l'autre de la courbe ; alors de convexe qu'elle était, elle devient concave, comme on le voit en a, fig. 181 ; dans ce cas lé point a se nomme un point d'inflexion : ailleurs le point générateur, après avoir parcouru un arc «6, s'arrête brusquement pour se diriger suivant un autre arc tel que bc. Alors le point b se nomme tin point de rebroussement. On pourrait bien -regarder les deux arcs ab, bc, comme appartenant à deux courbes différentes qui aboutissent à un même point ; mais s'ils résultent tous deux des conditions qui déterminent le mouvement du point générateur, il vaut mieux les considérer comme les deux branches d'une même courbe.

Au reste, c'est dans les traités d'analyse qu'il faut étudier les propriétés des courbes. On y verra comment toutes les sinuosités et accidents de leurs cours sont représentés par les notions algébriques. Nous nous bornerons ici à l'exposé des -constructions graphiques dont nous devons faire Tapplicatioâ plus tard.

«fL. 39. Ï.IGNES COURBES. 167

316. Construction du rayon de courbure^ de la normale et de la tangente. Le calcul algébrique, en permettant d'admettre dans toute sa rigueur l'hypoltièse d*un nombre infini de côtés, fait connaître avec la plus grande exactitude la position des centres et des rayons de courbure, des normales et tangentes ; mais on peut, dans beaucoup de circonstances; se contenter des moyens que nous allons indiquer.

317. Soit flg. 182, la courbe abcde ; si Ton prend trois points by c, d, très-rapprochés les uns des autres, le centre et le rayon du cercle passant par ces trois points pourront être pris pour le centre et le rayon du cercle osculateur en c, et cette hypothèse sera d'autant plus exacte, que les arcs 6c, cd, seront plus petits. Il ne faudrait cependant pas, si Ton voulait obtenir ce centre par le moyen connu en Géométrie, prendre les points 6, o, d trop près l'un de' l'autre, car on perdrait, par la difficulté de la construction, l'exactitude <iue Ton aurait gagnée en se rapprochant de la vérité dn principe. ^

318. Il résulte de ce que nous venons de dire que si, en un point c d'une courbe quelconque, on veut construire une langente à cette courbe, dn prendra deux points 6, rf, trèsprès et à égale distance du point c ; puis ayant joint b avec d par une ligne droite, Usera facile de construire la normale €0, perpendiculaire sur bd, et la tangente cm perpendiculaire à l'extrémité de co.

319. Développantes et développées. Si par chacun des points a, 6, c, d, e-^ ûg. 183, pris sur une courbe quelconque, on conçoit une normale à cette courbe, chaque normale sera coupée par celle qui suit en un point; la ligne qui passera par les points d'intersection de toutes ces normales contiendra tous les centres de courbure d^ la courbe donnée. En effet, on pourra considérer ab comme un petit arc de cercle dont m serait le centre, bc comme un second arc de cercle qui aurait son centre enn ; de sorte

168 LIGNES COURBES. PL. 39w

que l'ensemble de ces petits arcs de cercle formera ane courbe continue et sans cassure; car il est évidéni que si à l'extrémité de l'une des normales on mène une tangente à la courbe, cette tangente sera touchée en même temps par Tare qui suit : d'où il résulte que ces deux arcs se loucheroQt et se raccorderont parfaitement.

On dit que deilx arcs se raccordent, lorsqu'ils paraissent être le prolongement l'un de l'autre et ne former qu'une même courbe.

Celte manière d'envisager une courbe n'est rigoureusement exacte qu'autant que l'on suppose les arcs a6, bc, cd infiniment petits ; car sans cela, ce serait plutôt une suite de petits arcs de cercle qui ne satisferait qu'approximativement à la définition géométrique de la courbe.

320. Si l'on imagine un fil attaché en s, et courbé suivant le contour de la ligne zonm ; en faisant mouvoir le point a suivant la courbe abcde, il est facile de voir que le fil se développera, que le point m décrira la courbe msu^ et que le rayon de courbure s'accroîtra, à chaque instant, de la difiérence des deux normales passant par les extrémités de l'arc parcouru par le point a ; de sorte que la partie uz du dernier rayon pourra être regardée comme le développement de la courbe zonm. C'est cette propriété qui a fait donner à la courbe ahcde le nom de développante^ par rapport à la courbe zonm qui contient les centres de courbure, et que l'oa nomme sa développée,

321. En regardant une courbe comme une suite de petits arcs de cercle, hypothèse sufiisamment exacte pour un grand nombre d'applications, nous allons voir quel parti on peut

*,tirer des principes précédents pour la construction de& courbes.

322. Étant donnée une ligne courbe^ construire sa déve-^ loppante.

On placera sur la courbe donnée un certain nombre de points très-^rapprochés les uns des autres ; puis, après avoir mené une tangente par chacun d'eux^ on prendra ce point

PL. 39. UGMES COURBES. 169

pour centre, et la tangente pour rayon de courbure de l'arc correspondant de la développante.

Ainsi, par^xemple, étant donnée la courbe mnozag. 183, on construira les tangentes ma, hb ; puis du point m comme centre, avec le rayon ma, on décrira Tare ab ; le point n sera le centre de Tare bc, et ainsi de suite. Les coi^rbes abc^ a^Vo\ flff. 184, sont les développantes du cercle. On aurait pu en construire une pour chaque point du cercle, et Ton peut voir'qu'en général une courbe a une infinité de développantes. La ligne a"b"d\ est la développante de a'Vd , .

323. La courbe aè, obtenue par le moyen que nous venons d'indiquer, n'est pas rigoureusement égale à la déve- / lôppante du cercle, puisque la définition de celte ligne sup- ,pose la construction d'un nombre. in/îni de tangentes.

Pour obtenir plus de précision dans le tracé de la courbe, on mesurera le rayon en le portant avec le compas sur une échelle divisée avec le plus grand soin. Puis on calculera la circonférence au naoyen de la formule 27rR, ce qui donnera la longeur de la 16^ tangente. On partagera cette longueur en 16 parties égales, et l'on portera 15 de ces parties sur la . 15e tangente, 14 sur la 14® tangente, 13 sur la 13% et ainsi de suite. Après quoi on tracera la courbe à la main, ou en cherchant les centres comme nous le dirons bientôt.

324. Etant donnée une ligne courbe^ construire sa développée.

Il faudra mener, flff. 183, à la ligne proposée un certain nombre de normales très -près les unes des autres, puis on fera passer une courbe par 'les points d'intersection de ces normales consécutives.

La développée du cercle se réduit à un point;

11 ne semble pas que ces principes puissent être d'une grande utilité dans les applications, puisque la développante ne peut se construire qu'à l'aide de la développée, et que, réciproquement, on ne peut obtenir la développée que lorsqu'on a déjà la développante. Mais nous allons voir que l'on peut souvent éluder cette difficulté.

170 UGRES COURBES. PL, 39.

825. Lorsqu'une courbe provient, comme abcde^ fig. 183, <le la construclion d'arcs de cercle successifs, on lui donne, ^dans les applications, le nom de courbe à plusieurs centres. On voit que ces sortes dq courbes ne sont pas soumises dans toute l'étendue de leur cours à la même loi de continuité, c'est-à-dire que les conditions qui déterminent le mouvement du point générateur ne sont pas identiquement les mêmes depuis le commencement de la courbe jusqu'à son extrémitô. Mais la facilité avec laquelle on peut construire, à ^ l'aide d'un compas, ces imitations de courbe, les fait souvent préférer, dans les àpplicatioiis, aux courbes continues que l'on ne peut tracer qu'à la main.

326. Des courbes à plusieurs centres. La construction des courbes à plusieurs centres dépend de ce principe de géométrie, que si deux cercles ont une tangente commune en un point de leur circonférence, ils se toucheront en ce point. ^

327. Soit, par exemple, fig. 185, un arc de .cercle ab ayant pour centre le point c ; il est évident que tout autre arc de cercle passant par le point b et qui aura son centre sur le rayon c6 ou sur son prolongement, sera touché en b par ie premier arc et se raccordera parfaitement avec lui.

On peut proposer deux questions principales sur les courbes à plusieurs centres.

32tf. l'* Question. Faire passer une hgne courbe par plusieurs /joints donnés.

Soient trois points a, b, c, tig. 187, on, mènera les cordes ab, bc, et les ligfles dm, /m," perpendiculaires sur les milieux de ces cordes; puis du point m, pris où l'on .voudra, sur dm, on décrira un premier arc ab. Quant au second arc bc, il doit avoir son centre sur la ligne /m perpendiculaire au milieu de bc ; mais pour qu'il se raccorde avea le premier arc, il faut qu'ils aient la même tçingente au point b. Il faut donc que le centre du second arc soit sur le rayon bm. 11 sera donc au point n, où les deux lignes bm, hn se rencontrent.

PL. 39. UaNES COURBES. 171

On voit que la question proposée est indéterminée, et que par trois points donnés on peut faire passer une infinité, de . courbes à deux centres, dont la forme dépend du centre que Ton choisit pour décrire le premier arc. Si l'on prenait le point 0 pour centre, les deux arcs n'en feraient qu'un ; si l'on décrivait le premier arc du point p sur la ligne bp perpendiculaire à te, le rayon de courbure du second arc serait infini, et cet art se confondrait avec la corde bo, qui deviendrait tangente au premier arc.

329. On peut appliquer ces principes à la coustruction d'une courbe passant par tant de points.que Ton voudra, et Ton reconnaîtra encore que la forme de la courbe dépend du centre du premier arc. Ainsi, flg. 186, en prenant ce centre en t, on a la courbe abcde, tandis que si l'on prend le point 0 pour premier centre, on obtient la courbe ab'o'd/e,

330. Pour obvier à l'inconvénient qui résulterait de cette indétermination, on tracera d'abord, flg. 188, au crayon et avec beaucoup de soin la courbe que l'on se proposera de construire ; puis après l'avoir partagée en parties égales par les points a, 6, c, d^ e, on fera passer par b une perpendiculaire sur ac, parc une perpendiculaire sur M, et ainsi de suite. Toutes ces lignes pourront être considérées comme des normales à la courbe, et leurs intersections successives donneront les centres de courbure.

331. 2* Question. Construire une courbe à pfUsieurs centres tangente à des droites données.

Soient, flg. 189, les deux droites aè, ac ; on veut décrire une courbe qui les touche en b et en c. Pour cela, on construira d'aborij bo, ci^ perpendiculaires aux deux tangentes données, puis onjlécrira un premier arc 6d, en prenant pour centre un point o situé où l'on voudra sur la droite bo, de manière, toutefois, que l'arc bd ne touche pas la tangente ac. Portant le rayon bo de c en /i, on joindra le point o avec le point h par la droite o/i, sur le milieu de laquelle on élèvera la perpendiculaire si^ dont la rencontre avec la ligne ci donnera en i le centre du second arc. En effet, on aura ih=^i0y

172 LIGNES. COUBBES. PL. 39.

et par conséquent ih -\- Jw = io -{' od, puisque od = lo =hc. Donc le second arc tangent en c passera par le point d ; de plus, il se raccordera avec le premier arc, puisque si au point ^d on menait une perpendiculaire. à od, elle le serait aussi au rayon id du second arc, d'où il suit que les deux arcs aiiraient une tangente commune en d, et se toucheraient en ce point. ; ,

Si le centre du premier arc était situé sur la ligne qui partagerait l'angle bac en deux parties égales, cet arc toucherait aussi la ligne ac au point u, éloigné du point a d'une quantité au = ab, et la partie droite eu remplacerait le ' second arc dont le rayon serait alors infini.

332. Si les deux tangentes étaient parallèles,- on opérerait de la même manière. Enfin, si la courbe devait être assujettie à passer par un point donné, le problème serait déterminé.

Soient, par exemple, flg. 190, les deux droites aô, cd. On veut décrira une courbe qui touchoices deux lignes en b et en c, et qui passe par le point h. On construira 60, ci, perpendicula^ires sur les deux tangentes ; on mènera de plus la corde 6/1, sur laquelle on élèvera la perpendiculaire vo. Le centre du premier arc sera déterminé par l'intersection de bo avec la perpendiculaire sur le milieu de bh; on fera ensuite eu = bo, et le centre du second arc sera donné par Tintersection de ci avec la perpendiculaire sur le milieu de ou. Le point de raccordement m sera sur le prolongement de io.

333^. Si l'on veut construire une courbe .tangente aux divers côtés d'un polygone quelconque, fig. 191, on commencera par l'indiquer au crayon avec le plus de régularité possible ; puis après avoir bien arrêté les points où Ton veut que la courbe touche le polygone, on joindra ces points deux à deux par des courbes à deux centres, du genre de celle que nous avons construite (331).

334« Lieux géométriques. Nous avons précédemment regardé une courbe comme représentant le chemin parcouru par un point qui se meut suivant une certaine loi; mais

souvent on considère nne ligne courbe "comme étant le lieu où se trouvent réunis un nombre infini de points qui satisfont tous à certaines conditions données. Dans ce cas, la courbe prend le nom de lieu géométrique ; ainsi, la circonférence d'un cercle est le lieu de tous les points qui, dans un même plan, sont à égale dislance d'un point donné que Ton nomme centre.

La droite qui partage un angle en d'eux parties égales est le lieu de tous les points également éloignés des côtés de cet angle.

Nous allons donnerune idée de la construction de quelques lieux géométriques et de leur usage.

335*. Étant donnés un cercle et une droite, construire le lieu de tous les points à égale distance de la droite et de la circonférence du cercle.

Soit fîg. 129, pi. 40, la droite ap et le cercle qui a son <^ntre en c. On abaissera de ce point une perpendiculaire sur la droite ap; et l'on prendra le milieu de la partie de cette . perpendiculaire comprise entre la droite et la circonféi:ence du cercle, ce qui donnera en o un point de la courbe cherchée. Pour en construire d'autres, faisons od = o/?; menons au point 7i une ligne hu parallèle A ap, et décrivons du point <?, comme centre, l'arc du. L'intersection de cet arc et de la droite hu donnera en u un second point de la courbe. Eu effet, on a 2u = ph = di = us. Donc,

zu=us. ^

On construira de cette manière autant de points que 1 on voudra.

Tout cercle qui, ayant son centre sur cette courbe, toucherait la droite donnée, serait aussi tangent au cercle donné.

336. Si Ton voulait construire le lieu, de tous les' pointsr à égale distance des deux cercles o, e, on joindrait les centres par la droite ce, et le point x, milieu de nm, appartiendrait au lieu cherché. Prenant ensuite 5?î; = frj;, et dé- ' crivant vy,* yk, des points c, e, comme centres, on aura en y un second point de la courbe cherchée. En répétant cette

côtistrucfcion, on aura autant de points que Ton voudra, ce qui déterminera la courbe iœ.

Tout cercle ayant son centre sur cette courbe, et qui toucherait le cercle c, serait aussi tangent au cercle e.

C'est par une construction analogue que l'on a obtenu la courbe pq, qui contient les centres de tous les cercles qui sont touchés intérieurement par le cercle c, et extérieurement par le cercle e.

337. Étant donnés trois cercles, que je désignerai par a, b, c, flg. 193, construire un cercle qui les touche tous les trois.

On construira d'abord le lieu mn, qui contient les centres des cercles tangents aux cercles a et b. On construira, de même le lieu contenant les centres des cercles 'tangents aux cercles a et c, et Tintersection des courbes mn, pq donnera en œ le centre d'un cercle qui touchera les trois cercles donnés.

En construisant le lieu des centres des cercle^qui touchent b et c, on obtiendrait une troisième courbe rs qui passerait^ encore par le point x, ce qui vérifierait les constructions.

On obtiendrait de la même manière les centres des cerclés qui toucheraient extérieurement quelques-uns des cercles donnés, ou tous les trois. Dans le cas général, il y a huit cercles tangents à trois cercles donnés.

Je n'ai donné cette construction que comme un exemple d'application des lieux géométriques que nous emploierons par la shite dans plusieurs occasions ; mais on trouvera, dans les Traités de Géométrie ordinaire, d'autres moyens de résoudre les problèmes relatifs au contact des cercles.

33Ô. Étant donnés, flg. 194, un cercle dont le centre est en a, et un ^oint b hors de ce cercle, construire le lieu contenant les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées du point b sur les tangentes au cercle.

On construira les tangentes cd, eh, vo, etc., et du point b on abaissera les perpendiculaires bd, bh, bo, ce qui donnera la courbe mdhbosubkm. * *

Voici encore quelques applications des lieux géométriques.

339. Courbes d'essai. Soient donnés la courbe bxc et le point a, fig. 195 ; on demande de faire passer par ce point une tangente à là courbe.

On construira un certain nombre de normales (318), puis abaissant du point donné une perpendiculaire sur chacune de ces normales, on aura le lieu dœh, qui contiendra les pieds de ces perpendiculaires, et le pointa?, provenant de l'intersection de cette ligne avec la courbe proposée, sera le point de langence ; car il est évident que si, par ce point, on construit une normale œo, la droite ax sera perpendiculaire ti cette normale, et par conséquent tangente à la courbe.

Pour ne pas faire de travail inutile, on commence par reconnaître quelle doit être à peu près la position du point de tangence, et Ton construit deux ou trois normales en deçà, et autant au delà de ce point.

340. Cette manière d'employer les lieux géométriques leur fait quelquefois donner le nom de courbes d'essai:

341. Tous les géomètres ont attaché une grande impor-' lance à la détermination rigoureuse des tangentes et des points de tangence : or, dans les applications, quelle que soit Texactitude du principe dont on fait usage, on conçoit qu'il y aura toujours quelque erreur, que Ton pourra, dans le calcul, rendre aussi petite que l'on voudra, mais qui, dans les constructions graphiques, sera toujours dépendante de la perfection des instruments, ou de Thabileté de celui qui les emploie. Ainsi, par exemple, lorsqu'on veut faire passer une droite par un point, il est certain que Terreur que l'on commet dépend' du plus ou moins de finesse dans la pointe du crayon avec lequel on aura tracé cette droite.

Nous conclurons de là que, pour construire, par un pointa, fig. 196, une tangente à la courbe bxd, on peut se contenter d'approcher une règle de manière que la ligne 4racée par le point donné paraisse passer sur la courbe, sans augmenter la largeur du trait. Il est évident que la tangente sera, par ce moyen, aussi bien déterminée que si l'on avait obtenu d'abord le point 'de tangence; puisque,, dans l'un comme dans l'autre cas, la plus grande erreur ne pourra excéder la

176 IJGNES GOUHBES. PL. 40.

largeur de la ligne tracée ; raais^on^ conçoit que ce dernier moyen de construire une tangente laisse de l'incertitude sur la véritable place du point de tangènce, et si Ton voulait déterminer ce point, on construirait plusieurs cordes parallèles à la tangente, et la courbe yx, contenant les milieux de toutes ces cordes, viendrait aboutir au point de tangènce, et le déterminerait avec une exactitude suffisante pour la plupart des applications.

. / 342. Ce moyen de construire une tangente ne peut être

employé avec succès que lorsque la direction de la tangente est déterminée par un point extérieur ou par quelque autre condition. Si le point donné, par exemple, était sur la courbe, il est évident que la plus petite erreur, à droite ou à gauche de ce point, pourrait influer beaucoup sur la direction de la tangente, et par conséquent sur la position de tous les points qui dépendraient de la direction de cette ligne.

Dans ce cas, il serait indispensable de commencer par déterminer la normale, soi l par la construction indiquée (318), soit par tout autre moyen résultant de la définition de la courbe.

343.' Construire une tangente à une cownbe cyd, parallè^ lement à une ligne donnée ab.

On construira, fig. 197, quelques normales, et d'un point a pris où l'on voudra sur la droite donnée, on abaissera une perpendiculaire sur chacune de ces normales. La courbe aœz^ qui passera par les pieds de toutes ces perpendiculaires, coupera ia droite ab en un point x. Or si, par ce point, on construit la normale xo, elle sera évidemment perpendiculaire à ia ligne ab, et son intersection avec la courbe donnée déterminera le point de tangènce y et la tangente pq, qui sera parallèle à ab, comme on le demandait.

Pour mener par le point œ la normale xo, on prolongera les normales que l'on avait, construites pour obtenir le lieii axz. Les intersections successives de ces normales donneront un arc 60 appartenant à la développée de cyd, et menant par le point X une tangente à la courbe eo, on 'obtiendra la normale ox.

îPL. 40. LIGNES COURBES. 177

-. On pourrait, flg. 198, pour construire la tangente demandée, se contenter d'approcher la' règle parallèlement à la ligne donnée ab^ et l'on tracerait la ligne pq de manière qu'elle passât sur la courbe sans augmenter la largeur du trait; puis on construirait quelques cordes parallèles à la ligne donnée, et la courbe zx^ passant par les milieux de ces cordes, viendrait aboutir au point de tangence et le déterminerait avec une exactitude suffisante.

>. Construire une tangente à deux courbes données. On approchera, flg. 199, une rtgle de ces deux courbes, -ce qui déterminera la tangente pq avec une exactitude suffisante. (Juant aux points de tangence, on mènera deux ou trois cordes parallèles à pq, et prenant les milieux des cordes tracées dans la courbe czd, on construira le lieu uz^ qui déterminera lô point z; on obtiendra de la même manière le point X.

346. Partager un cercle en autant de parties égales que Von voudra, v

Soit, par exemple, flg. 200, un cercle que Ton veut partager en sept parties égales.

On construira un rayon va et une ligne 6c, perpendiculaire en un point quelconque pris sur le prolongement de ce rayon; puis ouvrant le compas d'une quantité que Ton jugera peu différente de la septième partie du cercle, on portera cette ouverture à partir du point a, en ayant soin de marquer sur la circonférence le sixième et le huitième point de division ; faisant ensuite bd = dc, on joindra le point b avec le point 8, et le point c avec le point 6, par deux droites qui se couperont en o. Or, si le point o était sur la ligne dv, il est évident que les points 6 et 8 seraient symétriquement placés par rapport à cette droite, et que le septième point de division coïnciderait avec le point a; tandis que si le point o est au-dessus ou au-dessous de la ligne d", on peut en conclure que Ton a pris une ouverture de compas trop grande ou trop petite.

Après trois ou quatre essais de ce genre, en diminuant ou augmentant un peu l'ouverture du compas, on obtiendra une

courbe qui coupera la ligne dv en un point œ, et joignant ce point avec fe, on déterminera Textrémité de la septième partie de la circonférence.

Les points b, c, pouvant être pris à volonté, il faut le» choisir de manière que la position du point o soit bien déterminée. Si Ton prenait ces points trop près du point d, les lignes 60, co se couperaient trop loin et suivant un angle ' trop aigu ; la courbe d'essai pourrait même se trouver à droite du point rf, ce qui serait moins commode que dans • l'exemple proposé.

347. La construction précédente a été employée, flg. 202, pour déterminer le tiers de Tare ab.

Ce problème est connu sous le nom de trisection de l'angle ou de l'arc. J'en ai donné une solution plus simple au n® 431 du Traité de Géométrie,

348. De la manière de représenter les courbes planes. Soient deux droites AX, AY, que l'on supposera, pour plus de simplicité, rectangulaires entre elles ; I» première se ïïommeXaœe des abscisses^ la seconde est Yaxe des ordonn^e^; lorsqu'on parle de ces deux droites, on les nomme axes coordonnés ; le point A se nomme l'origine.

Si l'on conçoit un point m dans le plan YAX, et que, par ce point, on construise mp parallèle à la ligne AY, et mq parallèle à la ligne AX; mp se nommerai V or donnée, et misera l'abscisse du point m ; de sorte que la position du point m, par rapport aux axes AY, AX, sera déterminée lorsque l'on donnera son abscisse et son ordonnée.

Presque toujours on prend pour Vabscisse la partie kp de la droite AX comprise entre le point A et le pied de l'ordonnée.

Une coi4rbe étant connue, lorsque l'on connaît la position de tous ses points, on peut faire pour cbapun d'eux les constructions que nous venons d'indiquer. Ainsi, pour construire la courbe abcdef^ flg. 203, il suffira de construire l'abscisse et Vordonnée correspondant à chacun de ses points.