Si l'on voulait copier une courbe ou la réduire^ il

PL. 41. LIGNES COUBBES. . 179

faudrait copier ou réduire, d'après un rapport donné, les . abscisses et ordonnées de chacun de ses points. Ainsi la courbe a'b'dd'e'f représente la courbe àbcde réduite à une dimension moitié.

Pour rectifier la courbe ahcdef, c'est-à-dire pour avoir sa longueur absolue, on portera les arcs ab, hc\ cd à la suite les uns des autres, ce qui donnera a"¥o"d"e"f' ; il est bien entendu que les points a, h, c..., etc., doivent être assez rapprochés les uns des autres pour que Ton puisse, sans erreur sensible, prendre la distance de deux {Joints consécutifs pour la grandeur de Tare qui les joint.

Quelquefois, 'pour définir une courbCy on énonce les relations qui doivent exister entre les abscisses et les ordonnées de ses points.

Ainsi, par exemple, si Ton demandait une courbe telle que pour chaque unité d'augmentation de l'abscisse, l'ordonnée dût augmenter de la moitié de l'ordonnée précédente, on construirait les points mnkpq à égale distance les uns des autres ; et en supposant que le point a soit donné sur la ligne AY, on construira ma, qui, par son prolongement, donnera le point b;nb donnerait le point c\kc donnerait le point d, et ainsi de suite, en sorte que abcd .». o serait la courbe demandée. En effet, on aura :

y cqidr^ kq:kr=^2:3\ donc,

2dr = 3cq et par conséquent dr=si-^=:cq-^ -^ •

On voit que dans cette courbe les abscisses étant en progression par différence, les ordonnées correspondantes forment une progression par quotient. Cette propriété a fait donner à ces sortes de courbes le nom de logarithmiques.

350. Cycloïdes. Si l'on fait rouler la circonférence A, flg. 217, pi. 41, sur la droite 1-1^ chacun des points de cette circonférence décrira une cycloïde.

Pour tracer la courbe parcourue par le point 1, on partagera la circonférence du cercle mobile en parties égales, que

^80 CYCLOÏDES. PL. 41.

Ton portera sur la droite directrice 1-1^, qui, par conséquent, sera égale au* développement de la circonférence du cercle A.

Cela étant fait, si nous supposons que le point 5 de la circonférence mobile soit arrivé au point 5', le point 1, généra- , leur de la courbe, se sera élevé jusqu'à la hauteur à laquelle se trouvait le point 5,[avant le commencement du mouvement. De sorte que le point V sera déterminé par l'intersection de l'horizontale 5-1' avec la circonférence qui touche la directrice au point' 5\

Par la même raison, le point 1'^ sera délermin'é par Tintersection de l'horizontale du point 6 avec la circonférence qui touche la directrice au point 5', etc.

Les points t et 1^ sont deux points de rebroussement à droite et à. gauche desquels le point 1 engendrera d'autres branches de cycloïdes égales à la première.

La courbe mm^'m^ est une cycloïde rallongée. Elle représente le chemin parcouru par l,e point m situé sur le prolongement du rayon o-l qui passe par le point générateur de la cycloïde principale.

La courbe nn^'n^ est une cycloïde raccourcie engendrée par le mouvement du point n.

Les trois courbes i-r^'-i^, mm"'rrc^, nn"'n^ peuvent se construire en môme tqmps. Ainsi, lorsque le centre du cercle mobile sera parvenu au point o'', on tracera le rayon o^'-l^' sur lequel on portera V'-m" égal à 1-m, et V'-n/' égal à 1-n. Le point m" apparlient^à la cycloïde rallongée et le point n" à la cycloïde raccourcie.

351. Tangentes à la cycloïde. Lorsque le cercle mobile devient tangent au point 12', le point générateur 1'^ so meut pendant un instant infiniment petit, comme s'il tournai.t autour du point 12', d'où il résulte que la droite ac perpendiculaire au rayon 12'-!'^ sera tangente à la cycloïde.

Les mêmes relisons permettront de construire les deux droites aV, aV tangentes aux cycloïdes rallongées -et raccourcies, parce que le point 12' peut être considéré comme le centre de trois arcs de cercle infiniment petits, tangents aux trois courbes 1-1'"-!^, wm^'m^, nn'^'ny.

PL. 4l. CYCLOÏDES. 181

Il ne faufrpas conclure de ce qui précède que la droite I2'-P^ soit le rayon de courbure de la cycloïde au point 1^^. Le cercle ij-liv-u est tangent à la courbe, mais il ne faut pas le confondre avec le cercle osculateur, qui doit avoir un rayon double de 12'-liv. En effet, décrivons la circonférence A^' égale au cercle A générateur de la cycloïde, prolongeons li^-12' jusqu'au point 17, et traçons la corde 18-17, l'angle 12'-17-18 sera droit.

Or, si nous supposons que Ton fasse rouler le cercle A'' sur la droite 18-19 parallèle à r-16', le point 17 engendrera une cycloïde égale à celle qui était engendrée par le point 1 du cercle A. Il y aura seulement cette différence que le point de rebroussement de la cycloïde 19-1^ sefa sur la perpendiculaire élevée au milieu de l'-l^.

L'angle 12'-17-i8 ^lant droit, puisqu'il est inscrit dans une demi-circonrérence, la droite 1*^-17, normale à la cycloïde Ijïv.iv, sera tangente à la cycloïde 19-17-n, et par consé- ' quent la seconde de ces deux courbes sera la développée de la première (322), la droite 1^^.17^ double de li^-12', sera le rayon de courbure au point P^, et le point 17 sera le centre du cercle osculateur.

On peut encore conclure de ce qui précède que là droite 19-1'''' est égale au développement de l'arc 19-1^ de sorle qu'en doublant cette droite 19-1^^', on aurait la longueur, totale de Tare l-l^'^-l^, qui, par conséquent, est exactement égal à quatre fois le diamètre du cercle mobile A. ' Pour mener une tangente à la cycloïde par un point extérieur ou parallèlement à une droite donnée, on peut employer les moyens indiqués aux n*»' 339, 343 ; ce qui sera d'autant plus exact, que la construction ci-dessus détermine les normales auxiliaires avec la plus grande précision.

On peut aussi opérer de là manière suivante.

On remarquera d'abord que l'angle 12'-l»^-20 étant droit, ses deux côté^i doivent passer par les extréiiiités du diamètre ' 12'-20. D'après cela,

Sur le diamètre 6^-24 perpendiculaire à l'-l^,' on construira le triangle rejctangle 6'-24-22, dont un côté 24-22 passerait par lé* point donné j).

On recommencerait cette construction pour trois positions

iH2 ÉPICYCLOÏDES. PL. 41.

du cercle mol)ile*A, et la courbe zx, qui contient les sommets de tous ces triangles rectangles, rencontrera la cy- 'clûï(}e en un point l^^, qui sera le point de tangehce demandé. . .

Pour construire une tangente parallèle à une droite donnée kh, on construira la corde 21-23 parallèle à la droite hk, et l'on fera glisser le cercle A' parallèlement à lui-même, jusqu'à ce que le point 2:^ soit arrivé sur la cycloïde. La droite horizontale 23-1'^ remplace la courbe zx employée dans le problème précédent.

352. Épicydoïdes. Si, au lieu de faire rouler le cercle mobile A sur une ligwe droite, on le faisait rouler sur la circonférence d'un autre cercle B, .flg. 218, la courbe engendrée i'i'-V^-V se nommerait une épicycloïde.

Cette courbe se tracerait par des moyens analogues à ceux que nous avons employés pour la cycloïde. Il suffirait de remarquer que les lignes qui, dans l'exemple précédent; étaient droites et parallèles à la ligne i-1^, sont ici remplacées par des cercles concentl'iques,

Ainsi, quand on aura fait l'arc 1-2' du cercle directeur B égala l'arc 1-2 du cercle mobile A, le point V de l'épicycloïde demandée sera déterminé par Tintersection do l'arc de cercle 2-1' et de la circonférence 2'-l' qui touche au point 2' le cercle directeur.

y La courbe m'm'-m"-m"' est une épicycloïde rallongée engendrée par le point m situé sur le prolongement du rayon 0-1, et la courbe n-n'-n'^-n^'^' est une épicycloïde raccourcie engendrée par le point n.

Les tangentes à lépicycloïde se construiront comme celles de la cycloïde. Ainsi, par exemple, lorsque le centre du cercle mobile sera parvenu au proint o'\ les points générateurs des trois courbes auront pris les positions n"\ \."^ m"\ en joignant ces points avec 2'^ on aura les trois normales %"-m"y <i"-i", 2"'n"^ et par suite les trois tangentes a V, ac, dd,

La courbe 1-1'- 1'^, flg. 219, est uÀe épicycloïde intérieure. Elle est engendrée par le mouvement du point 1, lorsque le petit cercle A roule dans l'intérieur dn cercle B. Le rapport des deux cercles étant ici comme l : 3, il en résulte que,

fL. 41. ÉPICYCLOÏDES. 183

si on conlinue le mouvement, les points, de rebrousseraent seront toujours situés à la même place, ce qui n'aurait pas lieu dans l'exemple précédent/

Les deux courbes mm'm^y nn^n" sont engendrées par les points m et n.

La courbe M^-'p serait engendrée par le point 1'', si on faisait rouler le plus grand cercle B sur le petit cercle A'.

Enfin, on peut encore regarder comme un cas particulier <les épicycloïdes la courbe vu engendrée par l'extrémité de la droite z\) qui roulerait sur la circonférence B. Nous avons va (322) que cette courbe était la développante du cercle.

Lorsque le rayon du cercle ifiobile est exactement la moitié du rayon du cercle directeur, l'épicycioïde intérieure devient un diamètre de ce dernier cercle.

En effet, nommons R le rayon du cercle directeur B, tig. 221, r le rayon du cercle mobile Â, et supposons que ce dernier cercle soit parvenu en A', on aura ^

Mais

de plus,

arc aC : 27rR = angle a : 4 angles droits, arc ac : 2nr = angle af : 4 angles droits.

Par conséquent,

On aura donc

fiei là on tire

2jrR = 4irr.

aC : 47rr = « : 4, ac : 2itr = 2a : 4.

4aC = 47rra, 4ac = 47rr«.

Donc

arc aC = arc ac,

Ainsi, quand le cercle mobile touchera le cercle directeur