PL. 41. , SPIRALES

le prolongement d'un élément infiniment petit de la courbe, sera Thypoténuse d'un triangle rectangle mni/, dont la base mn doit être à la hauteur nu coname le développement' du cercle, qui contient le point de tangence m, est à la quantité hk ; ou comme telle partie que Ton voudra du cercle mm' est à une partie correspondante dé la droite hk.

Ainsi, par exemple, si on. fait mn égale à 4 de la circonférence mm\ il faudra faire nu égal à -f de hk.

Si on fait le triangle- rectangle, mcœ semblable au triangle mnu, la droite xm sera normale au point m.,

Enfin, en construisant plusieurs normales et opérant, comme nous l'avons dit aux n°* 339, 343, on pourra toujours construire des tangentes par un point extérieur ou parallèlement à telle ligne donnée que l'on voudra.

354. Courbes du deuxième degré. On nomme courbe du second degré celle dont toutes les propriétés peuvent être exprimées par une équation du second, degré.

Les conslruclions que nous allons indiquer sont les conséquences de ces propriétés, qu'il faut étudier dans les traites d'Algèbre appliquée.

Les courbes du second degré sont au nombre de trois, sa- Yofr : l'ellipse, la parabole, Thyperbole.

355. Ellipse. L'ellipse est une courbe telle que la somme d^s distances de chacun de ses points à deux points fixes pris dans son plan^ el que l'on nomm^ foyers, est une quantité constante.

On exprime ordinairement cette quantité par 2a.

356. Construction de l'ellipse. De la propriété que nous venons d'énoncer, et que l'on peut regarder comme la définition de l'ellipse, il résulte deux moyens de construire cette, courbe.

Soient, flg. 205, pi. 42, F el F' leâ deux foyers, on prendra le point F pour centre, et avec un rayon quelconque Fo, on décrira un premier arc de cercle ; puis du point F' comme centre avec un rayon F'o = 2a — Fo, on décrira un second

kJ

arc. Le point où ces deux arcs se couperont doit appartenir à Tellipse, car il est évident que la somme de ses distances aux deux foyers sera égale à ?a. En décrivant les arcs au dessus et au dessous de la ligne qui joint les deux foyers, on peut obtenir en même temps quatre points de la courbe.

357. Le point A, milieu de FF', se nomme le centre de Veliipse ; toute ligne droite passant par ce point est un diamètre, et se trouve partagée par le centre en deux parties égales.

Le plus grand de tous les diamètres est celui qui contient les foyers ; on lui donne lé nom de grand axe. Le plus petit, que Ton nomme petit axe, est toujours perpendiculaire au grand. •

Il est facile devoir que le grand axe est égal à 2a^ car pour le point X, extrémité de ce grand axe, on doit avoir, comme pour tout autre, point de la courbe, XF + IF' = 2a, mais comme XF = X'F', il en résulte X'F' + F'X = 2a, ou enfin XX^= 2a.

Les dislances Fw, F't/, d'un point de la courbe aux foyers, se nomment rayons vecteurs, et la distance ku se nomme simplement rayon. On voit que dans l'ellipse tous les rayons nesond. pas égaux. Le plus grand est AX, moitié du grand axe, et le plus petit rayon AY est la moitié du petit axe.

358. Le cercle est une ellipse dont les deux axes sont égaux et dans laquelle le centre et les foyers se confondent en un seul point.

359. Le second moyen de construire l'ellipse consiste à placer deux épingles aux foyers F jet F' ; puis, après avoir noué par les deux bouts un fil dont la longueur totale soit égale à 2a plus FF', on tendra ce fil de manière qu'il prenne la forme du triangle FF'u, dans lequel les sommets F et F' seront occupés par les deux épingles, et le point u par un crayon que Ton fera glisser en tendant toujours le fil. Il est évident que le contour du triangle étant représenté par la Ion-

PL. 42. COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. iSl

gueur du fil, que nous avons faite égale à 2a plus FF' ; et la base FF' de ce triangle ne changeant pas, il restera toujours 2a pour la somme des deux côtés variables, quelle que soit, du reste, la place où l'on conduira le crayoa qui occupe le sommet u de ce triangle.

360. Une ellipse étant construite, on peut se proposer de retrouver son centre, ses axes et ses foyers. Pour cela, on mènera deux cordes parallèles vs, pq, et la droite passant par les milieux de ces cordes sera un diamètre. Le milieu A de ce diamètre sera le centre de la courbe. Du point A, comme centre, on décrira un cercle de manière à couper la courbe en quatre points qui seront toujours symétriquement placés; puis, abaissant du centre des perpendiculaires sur les cordes qui joignent ces points deux à deux, on aura lès axes de Tellipse. Enfin, du point Y, comme centre, avec un rayon égal à la moitié du grand axe, on décrira un arc de cercle F/cF', qui par son intersection avec lé grand axe déterminera les deux foyers.

381. En combinant les propriétés du cercle avec celles de l'ellipse, on en déduit (Algèbre appL) que si un cercle et une ellipse' flg. 206, ont un axe commun X'X, et que Ton prenne sur cet axe une abscisse kp (348), on aura toujours : l'ordonnée du cercle est à l'ordonnée correspondante de l'ellîpse comme le grand axe est au petit axe.

De là résultent plusieurs moyens de construire l'ellipse lorsque l'on connaît les deux axes.

362. Du centre de l'ellipse avec des rayons égaux chacun à la moitié d'un axe, on décrira deux cercles concentriques ; on construira par le centre un rayon quelconque Am, qui coupera le plus petit cercle au point n ; puis construisant mo parallèle au petit axe, et no parallèle au grand, Tintersection dé ces deux lignes donnera en o un point de la courbe. En effet, on aura

mp : op = Am : kn = a : ù ; ce qui est conforme au principe que nous venons de citer.

188 COURBÉS DU DEUXIÈME t)EGRÊ. PL. 42.

363. Mais de tous les moyens de construire les ellipses, le plus commode est celui que nous allons indiquer.

Après avoir Iracé les deux axes AX = a, AY = 6, flg. 207, on prend un morceau de carte que Ton taille bien droit en forme de petite règle; puis, après avoir marqué sur cette carte et à partir de l'extrémité o, deux grandeurs om = a, 071 = b, on la fait mouvoir de pianière que le ,point m ne quitte pas Taxe AY, et que le point n ne.quitte pas l'axe AX. Dans ce mouvement, le point o décrira l'ellipse, de sorte qu'il suffira de marquer avec un crayon un certain nombre des points successivement occupés par le point o.

Cette manière de décrire l'ellipse résulte encore du principe énoncé (361) ; carsidu point m, comme centre, avec un rayon mo, on décrivait un cercle, en prenant pour abscisse mp = AS, on pourrait considérer op comme l'ordonnée du* cercle, et oS comme celle de l'ellipse, d'où l'on aurait encore :

op : oS =^ om : on = a : b.

364. Enfin, au lieu de prendre mn égale à la dilTérence des demi-axes, on pourrai* le faire égal à leur somme, et le point 0 placé entre les points m et n décrirait encore l'ellipse. ^ '

365. Étant donnés un des axes et un seul point, on peut construire l'ellipse.

Soit donné, par exemple, AX égal à la moitié du grand axe, et le point o appartenant à la courbe, on construira AY perpendiculaire sur AX. On prendra une ouverture de compas égale à AX, et du point p, commp centre, on décrira l'arc es, dont l'intersection avec AY donnera le point m; en joignant om, le point n sera déterminé, et la construction se fera comnoe précédemment'.

366. Diamètres copjugniés. Lorsque deux diamètres, XX' YY', flg. 208, §ont tels que les tangentes aux extrémités de Tun d'eux sont parallèles à l'autre, on les nomme diamètres conjugués ; et si on les prend pour axes des abscisses

et ordonnées, on dit* que l'ellipse est rapportée à ses dia- • mètres conjugués. *

367. Construire une ellipse connaissant ses diamètres conjugués.

Sur l'un d'eux, comme diamètre, on décrira la circonférence XmX', et l'on construira le triangle AmY dont les éléments sont donnés ; puis, sur une ordonnée quelconque du cercle, on fera un triangle npq semblable et parallèle à mAY: le point <7 appartiendra à l'ellipse. En recommençant, on obtiendra autant de points de la courbe que l'on voudra. Cette construction provient de ce que la propriété énoncf^e au numéro 361 convient aussi^ à l'ellipse construite sur ses diamètres conjugués.

Pour obtenir le grand axe, on joindra le centre avec le milieu de TarccX.

368. Tangentes à l'ellipse. Pour construire une tangente à l'ellipse, on pourrait opérer comme nous l'avons indiqué (318) ; mais la définition de la courbe et les propriétés qui en sont la conséquence fournissent des moyens plus rigoureux de résoudre ce problème.

369. Construire une tangente à V ellipse par un point donné sur la courbe.

Le point m étant donné sur la courbe, fig. 209, on décrira du point A, comme centre, avec un rayon AX' égal à la moitié du grand axe, l'arc de cercle X'n, qui coupera en n l'ordonnée passant par le point m; on construira ((7^om.) la droite pn tangente à cet arc en n ; et le point p, où cette tangente ira rencontrer le prolongement du diamètre XX', appartiendra à la droite pm, qui est la tangente demandée. Cette construction vient de ce que si plusieurs ellipses ont un axe commun, et que par*tous les points situés sur la même ordonnée on construise des tangentes, toutes ces lignes doivent concourir en un même point sur le prolongement de Taxe commun. Or, le cercle pouvant être considéré comme une ellipse, la

laDgente au cercle délermine le poiirt où doit aboutir celle de Tellipse.

870. Une autre propriété de Teilipse nous fournit un se- -cond moyen de construire la tangente.

Si par un point c de la courbe on mène des droites cX, cX^ aux extrémités d'un diamètre, ces droites se nomment cordes supplémentaires, parce qu'à elles deux elles sous-lendent la demi-conférence de l'ellipse. Or, on sait que si par le point A on construit un rayon km' parallèle à la corde cX', la tangente au point m' sera parallèle à la corde cX ; de là résulte cette construction.

Le point m' étant donné, on le joindra avec le centre par le rayon Am'; on construira la corde cX' parallèle au rayon Am'. Enfln, la oorde supplémentaire cX donnera la direction de la tangente cherchée ; et comme on a déjà un point m' de cette tangente, il sera facile de la construire.

371. Enfln, un troisième moyen de solution résulte de cette propriété, que si en un point m'^ de la courbe on mène une tangente et les deux rayons vecteurs (357), la tangente fera des angles égaux avec les rayons vecteurs, d'où résulte cette construction.

Après avoir déterminé les foyers F, F', on construira les deux rayons vecteurs Fm^', F'm'' ; on partagera l'angle F'm''F en deux parties égales, ce qui donnera la normale km^\ Enfin, la ligne qm^\ perpendiculaire à la normale, sera la tangente demandée.

372. Construire une tangente à V ellipse parallèlement à une droite donnée.

Soit os la droite donnée. On mènera d'abord la corde cX parallèle à la droite os, puis le rayon km/ passant le milieu de la corde cX déterminera le point* de tangence, et par conséquent la tangente, qu'il sera facile de construire, puisque sa direction est donnée. ..

En prolongeant le rayon km' on obtiendra sur la courbe un second point de tangence.

373. Construire une tangente à l'ellipse par un point donné en dehors de cette courbe. '

Soit 0 le point donné, flg. 210. De ce point, comme centre, et prenant pour rayon sa dislance à l'un des foyers, on décrira un premier arcèF'c ; de l'autre foyer F, comme centre, avec un rayon égal au grand axe de l'ellipse, on di^crîra un second arc qui coupera le premier en deux points s, u. On joindra cçs points avec le centre du second arc par d-eux droites dont les intersections avec la courbe seront les points de tangence.

En effet, le rayon- du second arc étant égal au grand axe, on aura

sm^ + m'F = 2a ; mais par la propriété de l'ellipse '(355), on a

Fin' + ?7i'F = 2a ; donc,

sm^z=im'W,

Ainsi, le triangle im'F' est isocèle ; mais le point o, centre du premier arc, est à égale distance des points s, F'. Donc la droite om' est perpendiculaire à ^F', et partage l'angle snJY, en deux parties égales. Donc enfin l'angle om'F' = pm'Y' et la droite op faisant dès angles égaux avec les rayons vecteurs est une tangente (371). Il en est de même de la droite oq.

374. Parabole. La 'parabole est une courbe telle que pour chacun de ses points la distance à une droite nommée directrice est égale à la distance à un point que Von appelle foyer.

Construction de la parabole. Soit, flg. 211, co la directrice, et le foyer F. Pour construire la parabole, on abaissera la perpendiculaire FD, et le point A, milieu de cette perpendiculaire, sera un point de la courbe. Pour en obtenir d'autres, on construira en un point p quelconque une perpendiculaire pm, et du point F, comme centre, avec un rayon

égsl à pD, on décrira un arc de cercle qui coupera la perpendiculaire mp en deux points tn, m', appartenant à la parabole. On recommencera jusqu'à ce que l'on ait un assez grand nombre de points pour construire la courbe.

375. On pourrait aussi construire la parabole par un mouvement continu.

Pour cela, on- placerait une règle coïncidant avec la directrice co, et prenant une équerre cab, on attacherait au point b et au foyer F de la parabole un fil dont la longueur totale

.. serait égale au côté ab. Or, il est évident que si Ton pousse réquerre avec un crayon dont la pointe serait placée au sommet de Tangle u, afin de maintenir contre Téquerre l'une des parties èwdufil, l'autre partie t/F de ce ûl, qui représente la distance au foyer, sera toujours égale à la distance ua du

' point lA à la directrice ; ce qui est conforme à la définition de la parabole (374).

La droite AX, qui passe par le foyer et qui est perpendiculaire à la directrice, se. nomme le grand axe.

Une parabole peut être considérée comme une ellipse dont la distance des foyers serait infinie, la distance AE étant finie. Il est évident, d'après cela, que le centre est aussi à l'infini, ainsi que le second foyer.

376. Une parabole étant donnée, on peut se proposer de retrouver son grand axe.

On construira deux cordes parallèles, et la droite qs passant par les milieux de ces cordes sera un diamètre ; construisant w,m' perpendiculaire sur qs, on en prendra le milieu p, ce qui donnera un point du grand axe que Ton mènera parallèlement à qs.

Cela vient de ce que dans la parabole tous les diamètres sont parallèles.

377. Tangente à la parabole. Si le point de tangence >est donné sur la courbe, on construira, fîg. 212, l'ordonnance mj) passant par ce point ; puis, portant Âp de A en ç, ce dernier point appartiendra à la tangente.

Celle conslruclion résulte de ce que, dans toute parabole, la distance qp, que l'on nomme la sous-tangeyite^ est toujours double de V abscisse du point de tangence,

378. Si par le point v^ milieu de qm^ on mène une perpendiculaire à la tangente, le point F, où cette perpendiculaire rencontrera l'axe AX, sera le foyer de la parabole. Enfln, portant AF de A en D, et construisant la perpendiculaire cO, on aura retrouvé la directrice.

379. On peut encore, pour construire la tangente, opérer comme il suit :

On joindra le foyer F avec le point de tangence, par la . droite Fm, et après avoir mené mF' parallèle au grand axe AX. on partagera l'angle FwF' en deux parties égales par la droite ms qui sera sa normale ; il ne restera plus qu'à mener au point m une perpendiculaire sur sm>.

Dans cette construction, mW remplace le rayon vecteur allant aboutir au second foyer, situé à l'infini, comme nous l'avons dit plus haut.

380. Si Ton voulait mener une tangente parallèle à une ligne donnée bc, on construirait la corde kd parallèle à cette ligne, et la droite um', menée par le milieu de M parallèlement à Taxe AX, déterminerait en 77i' le point de tangence; ce qui suffit, puisque la direction de la tangente est donnée.

Z%1. Construire une tangente à la parabole, par un point situé en dehors de la courbe.

Soit 0, fig. 23, le point donne. On décrira de ce point, comme centre, et passant par le foyer, un arc de cercle uFs qui coupera la directrice aux deux points u, s ; on mènera par ces deux points et parallèlement à l'axe AX les droites 5m', um^\ dont les intersections avec la courbe seront les points de tangence.

Cette construction est analogue à celle que nous avons

194 COURBES DU DEUXIÈME 0EGIIÉ. PL. 42c

donnée (373); la directrice rempls^ce le cercle décrit du second foyer comme centre.

382. Hyperbole. L'hyperbole ne diffère de relli|)se qu'en ce qu'au lieu de la somme, c'est la différence des rayons vecteurs qui est égale à une quantité constante que Ton nomme 2a.