PL; !• NOTIONS PRÉLIMINAIRES

est au-dessous de AZ représente le plan horizontal et la partie inférieure du plan ^vertical de projection.

±^. Supposons actuellement qu*un point s'éloigne ou s'approche du plan horizontal. Il est évident qu'il aura toujours la môme projection horizontale, et que la projection verticale seule s'éloignera ou s'approchera de la ligne AZ. 11 est encore facile de voir que/ltant que le point M, flg.4, sera au-dessus^ du plan horizontal, sa projection verticale m' sera au-dessus de AZ, tandis qu'au contraire, quand ce point sera au-dessous, du plan horizontal, sa projection verticale sera au-dessous de AZ ; et cette môme projection serait sur AZ, si le point que l'on veut projeter était situé dans le plan horizontal môme. Donc, selon qu'un point dans l'espace sera au-dessus du plan horizontal^ dans le plan horizontal ou au-dessous, la projection verticale de ce point sur V épure sera avrdessus, de la ligne AZ, sur la ligne AZ ou au-dessous.

15. De môme, selon qu'un point dans l'espace sera en deçà du plan vertical^ dans le plan vertical ou au delà^ . la projection horizontale de ce point sur l'épure sera au- -dessous de la ligne AZ, sur cette même ligne ou au-dessus.

Car il est évident que, lorsque le point sera en deçà du plan vertical de projection, sa projection horizontale n, fl^. 5, viendra, par le rabattement de Tépure, se placer au dessous de AZ, tandis que si le point N est au delà du plan vertical, sa projection horizontale n étant sur le prolongement du plan horizontal, viendra se placer, par le rabattement, dans la partie supérieure de Tépure.

16. La figure 6 représente Routes les positions d'un point par rapport aux plans de projection,, savoir :

— Au-dessus du plan horizontal et en deçà du plan vertical.

— Au-dessus du plan horizontal et au delà du plan vertical.

— Au-dessous du plan horizontal et en deçà du plan vertical.

6 MOTIONS PRÉLIMINAIRES. PL. i. .

— Au-dessous du plan horizontal et au delà du plan vertical.

— Situé, dans le plan horizontal et en deçà du plan vertical.

— Situé dans le plan horizontal et au delà 4u plan vertical.

— Situé dans le plan vertical et au-dessus du plan horizontal,

— Situé dans le plan vertical et au-dessous du plan horizontal.

— Situé en même temps dans les deux plans de projection,

17. De la ligne droite. Si par tous les points d'une droite HN, fig. 7, on conçoit des perpendiculaires au plan horizontal de projection,

La droite mn^ qui passe par les pieds de toutes ces perpendiculaires, sera la projection horizontale de MN ; le plan qui contient toutes ces perpendiculaires se nomme plan projetant,

La projection verticale de MN est la droite m'n', qui passe par les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées des divers points de MN sur le plan vertical.

Deux points suffisant toujours pour déterminer la position d'une ligne droite, on peut dire que,

La projection d'une droite est la droite qui passe par les projections de dei^x points de la ligne projetée. Si l'on don-, nait les deux projections mn^ m'n\ il est évident que la droite serait déterminée, car devant être en même temps dans les deux plans projetants mn MN, mV, MN, il est évident qu'elle ne peut être que leur intersection.

18. L*épure. 9 représente les diverses positions qu'une droite peut prendre par rapport aux plans de projection^ savoir :

— Oblique aux deux plans de projection,.

— Perpendiculaire au plan horizontal.

— Perpendiculaire au plan vertical.

PI., i.. NOTIONS PRÉLIMINAIRES. "

— Perpendiculaire à la ligne AZ.

— Parallèle au plan horizontal.

— Parallèle au plan vertical.

— Parallèle aux deux, plans de projection,

— Sitiiée dan's le plan horizontal,

— Située dans le plan vertical,

— Située dans les deux plans de projection,

19. Du plan. Si l'on conçoît dans l'espace un plan quelconque pqs, fllg. 10, ce plan coupera les deux plans de projection suivant deux lignes pqy qs. Ce sont ces deux lignes que Ton est convenu d'adopter pour déterminer la position du plan.

On les nomme 4iraces du plan.

La ligne pq est la trace verticale.

la ligne qs est la trace horizontale.

On Voit qu'un plan sera connu et déterminé de position toutes les fois que Ton donnera ses traces : car on sait, en Géométrie, que, par deux lignes qui se coupent, on ne peut faire passer qu'un plan.

20. La figure 12 représente toutes les positions d'un plan par rapport aux plans de projection, savoir :

— Oblique aux deux plans de projection. * -^ Perpendiculaire au plan horizontal,

— Perpendiculaire au plarl vertical.

— Perpendiculaire aux deux plans de projection. -=— Parallèle au plan horizontal.

— Parallèle au plan vertical.

— Parallèle à la ligne kl.

— Contenant la ligne AZ.

21. 11 est quelquefois nécessaire de recourir A un troisième plan de projection. Ainsi, par exemple, lorsqu'une droite est perpendiculaire à AZ, ses deux projections étant toutes deux perpendiculaires à cette môme ligne, n'en faut, sur Tépure, qu'une seule, et la ligne donnée resterait indéterminée. Dans ce cas, il est nécessaire d'ajouter d'autres conditions, comme, par exemple, de déterminer les projections de deux points

8 ^ . NOTATIONS. Pt. 2. ^

de cette ligne, ou de la projeter sur un troisième plan de projection, que Ton prend souvent perpendiculaire aux deux autres, et que l'on rabat comme on fait pour le plan horizontal.

22. La figure 13, pi. 2, représente un point M projeté sur trois plans de projection, et la figure 14 est le développement de répure, m, m', m" sont les trois projections du point M ; pq, pY» PV sont les trois projections d'une mêmedroite, et ks est la trace sur un plan auxiliaire Y'Z' d'un plan passant par la ligne ÂZ. .

23. Notations. Avant de continuer nous allons exposer quelques considérations générales nécessaires pour TintelUgence de ce qui doit suivre.

La Géométrie descriptive peut être considérée comme une langue" au moyen de laquelle on expose les relation^ qui existent entre les différentes parties de Tespace. % '

La Géométrie descriptive est la langue de l'ingénieur, c'est la langue dont il se sert lorsqu'il veut se faire comprendre des ouvriers ; et quoique ces derniers ne soient pas encore assez, éclairés pour apprécier l'exactitude du langage géométrique, ils comprennent parfaitemen t les relations qui sont exprimées^ par une épure ; s'ils ne comprennent pas le langage parlé, s'ils ne comprennent pas le langage écrit, ce qui provient de ce que beaucoup d'entre eux n'ont pas les connaissances géométriques suffisantes, ils comprennent parfaitement en revanche le langage dessiné.

MaiSy pour obtenir ce résultat, il faut apporter beaucoup de soin dans la disposition de l'épure et dans le choix des lignes destinées à relier entre elles toutes les parties du problème, de manière à faire reconnaître autant que possible l'ordre dea opérations par lesquelles les quantités inconnues sont déduites des quantités données.

Je crois que c'est le but que l'on doit chercher à remplir dans un ouvrage destiné à familiariser le lecteur avec la so-^ lution graphique des problèmes, et j'ai toujours pensé que le Traité de Géométrie descriptive le plus parfait serait celui! qui n'aurait pas besoin de texte, ou au moins dont le text6 ^ne remplirait qu'une fonction secondaire.

Excepté pour Texplication des principes, le texte ne devrait être qu'une sorte de légende destinée à faire comprendre la décomposition de la question principale, et Tordre dans lequel il faut exécuter les opérations particulières qui doivent concourir au résultat.

Je sais que cette opinion n'est pas entièrement partagée par quelques professeurs qui, pou.r mieux fixer l'attention des élèves sur les principes généraux, croient devoir écarter de leurs cours toutes les circonstances particulières que l'on rencontre dans la pratique)

Réduisant alors Vépure à sa plus simple expression,, ils ne lui attribuent qu'un rôle analogue à celui que joue la figure dans la ^monstration des théorèmes de la Géométrie élémentaire ; mais les personnes qui ont appliqué la Géométrie descriptive savent très-bien que la disposition de l'épure et le choix des plans des projections est la partie la plus essentielle 'de la solution des problèmes.

. 24. S'il n'est pas possible de faire un traité de Géométrie descriptive sans texte, il faut chercher aii^noins 4 en diminuer l'étendue en faisant concourir tous les moyens à la clarté des épures.

On atteindra en partie le but que je propose, par l'emploi d'une bonne notation, et je crois qu*il ne sera pas sans utilité d'entrer à cet égard dans quelques détails.

25. Intersection des plans de projection. Une épure n'est autre chose que le développement de l'angle dièdre formé parles plans de projection.

On suppose toujours que l'on a fait tourner un de ces deux plans autour de la droite suivant laquelle ils se coupent jusqu'à ce que les deux plans coïncident et ne forment plu» qu'une seule surface sur laquelle on dessine.

Le rabattement dont nous venons de parler se fait donc autour de la droite, intersection des. deux plans de projection j' et Monge, dans son Traité des principes, n'a jamais nommé cette ligne autrement ; mais, pour éviter Id répétition de cette longue phrase, il a constamment désigné la droite dont il s'agit par les deux lettres L et M, et depuis la première page

jusqu'à la dernière^ il n'a jamais parlé de cette ligne aurtrement qu'en la nommant la droite LM.

Hachette,"dans tous ses ouvrages sur la Géométrie descriptive, a toujours dit la droite kB, tandis que Lacroix n*a jamais désigné cette même ligne autrement que par les deux lettres XY.^

Malgré l*es autorités que je viens de nommer, quelques personnes ont cru devoir donner lé nom de ligne de terre à la droite suivant laquelle se coupent les deux plans de projection.

11 est assez probable que cela provient de l'usage dans lequel sont les architectes de considérer la ligne horizon- . taie au dessus de laquelle ils dessinent ce qu'ils flomment une élévation^ comme indiquant la surface du sol ; mais il ^ est évident que ce cas., est beaucoup trop particulier pour, motiver Texpression de ligue de terre comme désignation générale.

Ce qui est vrai pour un dessin représentant l'ensemble d'un monument cesse complètement d'être exact dans les épures de . détail ; et sans sortir des applications à Tarchitecture, je ferai remarquer que dans les épures de coupe de pierres, le plan horizontal deprojection se trouve presque iouioovsà la hauteur, des naissances des voût-es^ tandis que dans les épures de charpente, cette même ligne se trouve à la hdLnieuràes sablières y c'est-à-dire immédijatement au dessous du comble, et par conséquent dans la partie la plus élevée du monument.

Dans la perspective, le plan horizontal de projection est souvent pris au dessus des monuments que l'on dessine.

L'expression dont il s'agit ne peut donc se rapporter avec^ exactitude qu'à un très-petit nombre d'applications particulières, et manque essentiellement du caractère de généralité que l'on doit toujours chercher à introduire dans la démonstration des principes.

Au surplus, j'attacherais fort peu d'importance à cette dénomination si une longue expérience ne m'avait pas fait recoanaitre qu'elle donne des idées fausses aux commençants. Confondant souvent dans leur esprit le plan horizontal avec la^ surface de la terre, ils ont de la peine à considérer les plans de projection d'une manière abstraite et conime des conceptions

PL. 2. NOTA'HPNS. 11

géométriques, qui doivent reste? entièrement au clioix de celui qui opère ; de sorte que, préoccupés àe cette pensée, que l'un des plans coordonnés doit nécessairement coïncider avec la surface du sol, ils comprennent difficilement que le plan horizontal de projection peut être pris à toutes les hauteurs.

L'expression que je critique offre d'ailleurs dans les applications d'autres inconvénients faciles à comprendre.

En effet, dans les grandes épures, il n'y a souvent qu'un seul plan horizontal, mais il y a presque toujours un assez grand nombre de plans verticaux de projection. Or, si dans une question composée il y avait, ce qui arrive fréquemment, cinq, six et quelquefois vingt plans de projection, il faudrait donc dire la premièrey la seconde, la vingtième ligne de terre ^ etc., ce qui jetterait une grande confusion dans le langage, tandis qu'il sera toujours facile de distinguer ces lignes par les expressions AZ, A'Z', A'T^ etc.

Enfin, dans quelques problèmes où aucun des plans de projection n'est horizontal, il est évident qiie l'expression de ligne de terre ne signifierait plus rien.

Au surplus, les réflexions qui précèdent ne sont dictées par aucun désir d'innovation ; ije ne pense pas qu'il soit utile de changer les expressions adoptées par l'usage ou de créer des expressions nouvelles, et pourvu que les définitions soient exactes, j'attache fort peu d'importance jà une exactitude de mots que l'on n'obtiendra jamais. ^

Il y aurait d'ailleurs trop à faire si l'on voulait? que les mots fussent toujours l'expression parfaitement exacte des idées, et dans ce cas il faudrait commencer par changer le nom même de la Géométrie, qui bien certainement n'a pas pour but principal de mesurer la terre, comme sembleraient l'indiquer les deux mots grecs qui composent ce nom.

Le mot de multiplication, appliqué au calcul des fractions, n'est pas plus exact que les mots carré et cube, employés en arithmétique pour exprimer la seconde ou la troisième puissance d'un nombre ; mais il s'agit ici d'expressions consacrées par l'usage universel, tandis que le nom de ligne, de terre n'a jamais été employé que par un petit nombre d'auteurs.

.D'ailleurs, en blâmant l'emploi de cette expression, je ne

prétends pas me mettre hors de cause, et je prendrai à moa compte une partie des critiques précédentes.

En effet, dans la première édition du Traité actuel, j'avais adopté ce même nom de ligne dé terre sans y attacher d'abord une grande importance ; mais lorsque j'ai vu la cotifusion que cela produisait dans l'esprit des commençants et dans Texplication des épures composées, je me suis empressé d'abandonner une expression qui n'a jamais été employée par MoNGE, LAcROix ni Hachette, et suivant leur exemple, j'ai constamment désigné par deux lettres la droite suivant laquelle se cdiïpent les deux plans de projection.

11 serait sans doute à désirer que tout le monde s'accord&t pour désigner cette droite par les mômes lettres ; mais puisqu'elle a successivement été nommée LM par Monge, XY par Lacroix, AB par Hachette et LT par OUivier, il ne peut y avoir aucun inconvénient à la nommer AZ ; et si l'on demandait à un élève ce qu'il, entend par cette expression, il pourrait dire, comme Monge, que c'est VintersecHon des deux plans de 'projection^ tandis que le nom de ligne de terre sera toujours plus difficile à expliquer d'une manière satisfaisante.

Le choix des lettres A et Z est d'ailleurs motivé par la notation adoptée dans les applications de l'algèbre à la géométrie.

En effet, en exprimant par ZX le plan horizontal de projection et par ZY le plan vertical, il sera facile de transporter sur répure les résultats obtenus par le calcul algébrique, et réciproquement.

De plus, tout plan auxiliaire de projection, perpendiculaire à la ligne AZ, pourra être désigné par XY, et si l'on place la lettre A au point d'intersection des trois plans coordonnés, on aura établi une analogie complète entre les notations de la Géométrie descriptive et celle de TAlgèbre appliquée.

26. A toutes les raisons qui précèdent, je crois Revoir ep ajouter une qui me paraît décisive : c'est que la droite, que

certaines personnes désignent par le nom de ligne de terre^ n'indique jamais dans les épures la surface du terrain, mai» la trace du plan vertical de projection. , En effet, les ingénieurs et les architectes, toutes les personnes enfin qui sont familiarisées avec les applications de la

Géométrie descriptive, savent très-bien que dans les études d'un projet il peut y avoir un grand nombre de profils, coupes ou élévations et par conséquent autant de plans verticaux de projections ; mais il n'y aura jamais qu'un seul plan horizontal dt projection^ quelle que soit la hauteur du sol par rapport au projet, ou du projet par rapport au sol. Toutes les coupes horizontales d'un monument ou d'une maison pourront différer entre elles suivant l'étage dont elles expriment là distribution intérieure, mais elles ne dépendront pas de * la hauteur du plan horizontal sur lequel on les aura projetées. »

Il est bien certain que dans les études d'un canal, d'une route ou d'un chemin de fer, dans le profil d'une galerie souterraine, la ligne AZ ne représente pas la surface de la terre, qui n'est presque jamais de niveau, ni dans le projet ni dans le terrain naturel. Je conçois que dans les écoles préparatoires, où Ton fait très-peu d'épurés, les jeunes gens s'habituent ^à regarder le tableau devant lequel ils sont toute la journée conjme \e plan principal de projection ; et, dans ce cas, il est naturel qu'ils cherchent à exprimer sur ce premier plan qu'elle est la hauteur du second : mais s'ils connaissaient le but de la Géométrie descriptive, ils comprendraient que dans une question composée de construction ou d'architecture, tout se rapporte à la projection horizontale ou plan d'ensemble, et que les nombreux profils, coupes ou détails nécessaires pour l'exécution du projet ne sont que des projections secondaires, rabattues en tournant autour de lignes qui sont souvent situées à toutes les hauteurs, et qui, par conséquent, n'ont rien de commun avec la terre.

27. Le mot de ligne de terre conviendrait tout au plus pour désigner la hauteur du sol sur un dessin isolé, qui ne contiendrait que la projection verticale ou élévation d'un monument ou d'une machine ; mais dès que l'on réunit sur une même feuille les deux projections d'un objet, c'est le plan horizontal qui est la projection essentielle, et la ligne AZ est par conséquent la trace horizontale du plan vertical de projection. •

28. Je pense même qu'il serait convenable, dans les grandes épures, de désigner cette droite par k'V. En effet, le planhorizontal étant, comme nous l'avons dit plus haut, le plan principal de projection, on nommerait AT la trace du plan

X vertical sur lequel les projections sont désignées par des primes' ; k"l" serait la trace du plan vertical sur lequel les projections sont accentuées pardes secondes!' \ k!"l'" seyait la

^ trace du plan vertical sur lequel les points sont accentués par des tierces "\ et ainsi de suite. Cette notation, dont je fais souvent usage, me paraît extrêmement commode.

29. Notation des points et des lignes. La plus grande difficulté que l'on rencontre dans la notation des grandes épures de Géométrie descriptive provient de ce que les points que l'on veut désigner sont souvent si nombreux, si rapprochés les uns des autres et entourés par un si grand

. nombre de lignes d'opérations, qu'il ne reste plus assez de place pour écrire les lettres qui doivent faire reconnaître ces points.

Cette difficulté n'est presque jamais sensible dans les études élémentaires, parce que lés épures destinées à la démonstration des principes généraux sont ordinairement peu chargées de lignes et de points ; mais lorsqu'on arrive aux applications, il n'en est plus de même, et c'est alors que les inconvénients dont nous venons de parler, se faisant vivement sentir, on regrette de ne pas avoir adopté dès l'origine une notation plus convenable.

Mais quand on parviendrait à trouver une notation parfaite, il serait sans doute très-difficile de la faire adopter; car il faudrait pour cela que l'on abandonnât toutes celles qui sont en usage, ce que je ne proposerai môme pas.

Je me contenterai d'indiquer quelques modifications qui, je crois, suffiront pour faire disparaître une grande partie des inconvénients que j'ai signalés plus haut.

Je ferai remarquer d'abord qu'il n'est nullement nécessaire que chacune des projections d'une même droite soit désignée par deux lettres.

Une seule, placée à l'endroit où la ligne prolongée rencontre le cadre de. Tépure, suffira pour faire retrouver la

droite dont on parle, beaucoup plus facilement qu'on ne peut le faire avec deux lettres, qu'il faut souvent chercher longtemps au milieu du réseau formé par le nombre considérable de lignes qui concourent à la solution de certains problèmes composés. (Voir les planches 15, 17 et 18.)

Cette méthode, que j'ai souvent employée, a Tavantage de diminuer le nombre de lettres nécessaires, et cet avantage est d'autant plus grand que l'on éprouve quelquefois beaucoup de diflSiiulté pour trouver autant de lettres que Ton a de lignes qu de points à désigner, et que Ton est souvent obligé d'employer les chiffres pour indiquer un grand nombre de ces points.

Ce qui précède étant admis, voyons s'il n'y aurait pas moyen d'introduire quelque régularité dans le choix des lettres.

Monge, et par suite Hachette, dans leurs Traités, ont à peu près constamment désigné par une lettre capitale la projection horizontale de chaque point, et par la petite lettre correspondante la projection verticale du même point.

Cette notation assez simple aurait toujours le défaut d'embarrasser par des grandes lettres la projection horizontale de l'épure, et cet inconvénient est d'autant plus grave dans les applications, que plusieurs projections verticales se rapportant souvent à une seule projection fiorizontale, cette partie de Tépure est presque toujours la plus chargée de lignes.

C'est ce que Hachette paraît avoir reconnu, puisque dans quelques-unes de ses épures, et principalement dans celles «qui se rapportent aux applications, il a repris l'usage des petites lettres pour les deux projections.

D'ailleurs il est souvent nécessaire, pour démontrer un principe ou pour faire comprendre la décomposition d'une question principale, dé faire une ligure de géométrie ordinaire ; et l'usage adopté généralement dans ce cas, étant d'employer les lettres capitales, on ne pourrait plus, dans le texte, désigner suffisamment les points A ou B de l'espace, si leurs projections horizontales étaient indiquées de la même manière sur l'ép ure.

Ces considérations paraissent avoir déterminé la notation

adoptée par Lacroix, qui, réservant les lettres A, B, C, etc., pour désigner les points (Je l'espace, exprime leur projection , horizontale par A', B', C, et les projections verticales correspondantes par k", W, C^. i

Cette notation serait peut-être préférable à celle de Monge, et de Hachette ; mais outre l'inconvénient de placer des accents sur la projection horizontale qui est souvent embarrassée par un si grand nombre de lignes, il est évident qu'il sera toujours plus facile de trouver la place pour une petite lettre que pour une lettre capitale.

Je crois donc qu'une partie des dîflBcultés que je viens de signaler serait évitée par la notation suivante adoptée par beaucoup de professeurs :

Points ou lignes de l'espace A, B, C, D,

Projections horizontales des mêmes points, a, 6, c, d, Projections verticales a^V^d^ôT.

Souvent^ aussi dans le texte, on pourra désigner les points ou lignes de l'espace par aa', bb% co\ etc.

La confusion entre les lignes etJes points ne sera jamais possible si, comme' je le propose ici, la lettre indiquant la projection d'un point est placée sur Tépure, tout auprès de cette •projection, tandis que la lettre employée pour désigner une ligne serait placée au bord de l'épure^ au point où la projection de cette ligne prolongée vient couper le cadre.

Souvent dans la pratique, lorsqu'il n'est pas nécessaire de conserver la notation et qu'elle n'est utile que pour éviter la confusion pendant l'exécution du travail graphique, on peut se contenter d'écrire au crayon la lettre en dehors du cadre et de là faire disparaître avec la gomme aussitôt que l'épure est terminée.

En jetant un coup d'œil rapide au bord du cadre, on retrouve de suite la li^ne^dont «on a besoin, et il est facile alors de suivre cette ligne dans toutes les parties de l'épure, quelle que soit la confusion qui pourrait provenir du grand nombre de points ou de lignes projetées.

On peut encore simplifier la notation en employant le moyen

que je vais indiquer, et qui m'a été fort utile dans quelques •épures très-composées.

On écrira l'alphabet sur un morceau de papier en disposant les lettres de la manière suivante :

aceimnorstuvxz hdfghjklpqy.

Les lettres de la première ligne élant moins embarrassantes pourront être employées de préférence pour désigner les points situés dans les parties de Tépure qui seront trèschargées tandis que les autres lettres seront plus particulièrement affectées à la notation des lignes prolongées jusqu'au bord du cadre.

30. Projections auxiliaires. Nous n'avons parlé au commencement de ce chapitre que des deux plans de projection, vertical et horizontal, quoiqu'il arrive quelquefois que tous les deux sont verticaux ou inclinés dans l'espace.

Ces deux plans .suffisent presque toujours pour résoudre les questions élémentaires ou pour la démonstration des principes ; mais, dans Jes questions composées, il sera souvent nécessaire d'introduire un assez grand nombre de plans auxiliaires de projection*.

Or, de quelque manière que soient placés ces plans, on pourra toujours, en exprimant, comme nous en sommes convenus, chaque point de l'espace par une lettre capitale, désigner ses diver;Ses projections par la petite lettre correspondante, accentuée de manière à indiquer l'ordre des nouveaux plans de projection successivement introduits.

Ainsi, on aurait

Points ou lignes de l'espace. ... A, B, . C, D, E

Projection horizontale a, 6, c, rf, e

Projection verticale o\ b\ o\ d\ e'

Première projection auxiliaire. . . a", b", c", d!\ d'

Deuxième projection auxiliaire. . a'",fe'",c'",d'",e'''

et ainsi de suite, quel que soit le nombre des plans sur lesquels un point ou une ligne auront été projetés.

Ce mode de notation permettra, surtout dans les opérations de rabattement, de suivre par la pensée les lignes et le& points dans toutes les positions qu'il faut leur faire occuper dans l'espace pour arriver à la solution complète du problème.

Les notations que nous venons d'indiquer ne seront employées que pour désigner les points et les lignes droites : pour les courbes dont la construction exige un grand nombre de points, il sera plus commode d'employer des chiffres . accentués également, de manière à indiquer autant que possible Tordre des opérations successives. ^

On pourra encore employer les chiffres dans les questions où il faudra désigner un grand nombre de points, comme, par exemple, dans les projections de polyèdres qui auraient beaucoup de sommets, dans les épures de coupe des pierres et d'assemblages de charpente, où les polygones formés par les pénétrations mutuelles des pièces de bois ont souvent un si grand nombre de côtés; enfin on peut également désigner par des chiffres les génératrices de surface ou les divers systèmes de lignes que Ton est souvent obligé de tracer pour arriver à la solution des problèmes, telles, par exemple, que les rayons de lumière dans là théorie des ombres, ou les rayons visuels dans la perspective, etc.»

Lorsque l'on aura épuisé l'alphabet ordinaire, il faudra bien trouver quelque autre notation pour indiquer les parties essentielles de l'épure.

Ainsi, on peut employer l'alphabet grec, mais la forme de ces caractères, avec lesquels beaucoup de personnes et surtout les ouvriers sont peu familiarisés, m'engag-era tolijours à en restreindre l'usage. '

Je préfère les lettres capitjiles, et quoique nous ayons réservé ces lettres pour désigner les points ou les lignes de l'espace, je crois que l'on se priverait volontairement d'une . ressource précieuse si Ton considérait cette convention comme absolue, et Ton pourra, sans inconvénient, introduire les lettres capitales dans certaines épures composées.

Ainsi, par exemple, nous avons adopté les deux lettres A et Z.pour l'intersection des plans coordonnés principaux ; nous consacrerons également les lettres YX et YZ pour les plans auxiliaires de. projection.

PL. 2. NOTAWONS. 19.

Enfin, les lettres E, F, D, G, H, etc., pourront être employ(^es avec avantage pour désigner quelques-unes des parties principales de l'épure, comme, par exemple, la base * ou la . section droite d'un prisme, la projection tout entière de ce prisme, celle d'un cylindre, d'un cône ou d'une sphère, le développement» d'une surface ou la courbe tout entière provenant de la section d'une surface par un plan ou de la pénétration de deux surfaces, etc.

31. Quelques personnes peu familiarisées avec les applications de la Géométrie descriptive croient simplifier l'étude de oelte science en cherchant à ramener tout à un seul principe. Il y a des professeurs qui hésitent à employer des plans auxiliaires et voudraient, s'il était possible, n'employer qu'un seul plan de projection.

On parviendrait peut-être, en suivant cette voie, à créer une Géométrie descriptive de fantaisie qui pourrait donner lieu à des questions amusantes d'école ou d'examen; mais on aurait alors une science qui ne servirait à rien.

C'est en modifiant les méthodes dans chaque cas, suivant les circonstances particulières, que l'on devient habile praticien ;, lorsqu'on veut ramener toutes les opérations à une méthode générale et unique, on'agit comme un ouvrier qui voudrait exécuter tout avec un seul outil. Peut-être, avec beaucoup de temps et de patience , parviendrait-il à faire un travail remarquable, mais il emploierait dix fois plus de temps et ne ferait pas mieux.

Celui qui veut remplacer les deux plans de projection de la ' Géométrie descriplive par un seul ressemble à un menuisier qui, ayant une scie et un rabot, trouverait que deux outils sont trop embarrassants, et jetterait la scie prétendant qu'avec son rabot il pourra très-bien réduire sa planche à la largeur ou à la longueur quil lui conviendra.

Non-seulement les deu« plans de projection sont plus utiles et infiniment plus commodes qu'un seul, mais celui qui voudrait se borner aux deux projections principales d'un corps un peu composé ne pourrait presque rien faire en applications.

La construction d'un grand monument exige les plans

d'ensemble, les plans de lous les étages, des élévations, des profils, des coupes dans lous les senë; les plans de projection particulièrement utiles aux tailleurs de pierres, aux charpentiers, aux serruriers ; les développements et rabattements de toute espèce qui sont autant de plans de projection différents; et tout cela est infiniment plus simple que deux et surtout qu'une seule projection.

La question la plus composée se réduit presque à rien lorsqu'on sait la décomposer^et c'est ce que l'on fait en Géométrie descriptive en employant des projections particulières pour chaque partie de la question principale, de même que dans les applications de l'Algèbre on emploiera une formule particulière pour chaque cas particulier.

Enfin, lorsque Ton est embarrassé pour comprendre une épure sur laquelle il y a deux plans de prpjection, il faut en introduire de nouveaux pour dégager les parties du dessin • où les lignes sont trop nombreuses ou trop rapprochées; et si Ton trouve que deux projections s^nt plus difficiles à comprendre qu'une seule, il faut renoncer à la Géométrie descriptive ou du moins à ses applications.

32. Notation des plans. Nous n'avons rien dit encore des plans, pour lesquels nous adopterons une notation exceptionnelle.

En effet, le plan, dans la Géométrie descriptive, possède un caractère qui lui est essentiellement particulier. On détermine la position d'un plan, mais on ne le projette pas.

Les traces ne sont pas rlrs projection^.

Les traces lont partie du plan auquel elles appartiennent et dans lequel elles sont situées, tandis que les projections des lignes et des points ne font partie ni de ces points ni de ces

lignes.

Le plan est l'élément essentiel de la Géométrie descriptive, comme l'équation est l'élément essentiel de l'Algèbre ; c'est par les intersections des plans que l'on détermine les points et les lignes dans la Géométrie descriptive, comme dans l'Al- 'gèbre c'est en combinant des équations que Ton parvient à trouver les quantités inconnues.

n. 2. NOTATIONS. i 21

Enfin les plans, dans la Géométrie descriptive, comme les équations dans TAlgëbre, ne «ont que des instruments ou, si Ton. veut, des formules qui, par leur combinaison, servent à trouver la solution des problèmes. C'est pourquoi je n'ai donc pas cru devoir étendre au plan la notation que j'ai indiquée plus haut pour les points et les lignes.

Dans les éditions précédentes, j'ai désigné tous les plans par la lettre p, en les distinguant seulement par des accents qui indiquent l'ordre suivant lequel chacun d'eux est tracé sur l'épuré. . '

Je continuerai à suivre la même méthode; mais pour établir une différence encore plus sensible entre la notation des plan^ et celle des points ou des lignes, je remplacerai sur les planches ajoutées à l'édition actuelle la lettre/? par P et les accents par des chiffres placés à droite et au bas de la lettre P.

Chacun' de ces chiffres indiquera l'ordre suivant lequel le plan correspondant sera venu participer à la solution du problème, s

Ainsi les plans successivement employés seront désignés par P^PA etc. (Voir la fig. 6, pi. 17.) ,

Cette convention, en permettant d'exprimer tous les plans par une seule lettre, augmentera le nombre de celles qui resteront disponibles pour désigner les autres parties de l'épure.

Les chiffres placés au bas et à droite de la 'lettre P seront moins embarrassants que les accents ', '^ "', etc. Ainsi P z% est évidemment beaucoup plus simple que P^x»^".

Les traces verticale et horizontale d'un plan sont toujours faciles à distinguer par la partie de l'épure sur laquelle elles sont situées, et les ponctuations adoptées feront suffisamment reconnaître celles de ces traces qui sont prolongées au delà du plan de projection au quel elles se rapportent.

33. Aux considérations qui précèdent, j'ajouterai quelques détails qui sont souvent très commodes dans l'exécution d'une grande épure.

Ainsi, en écrivant a-c au crayon sur le bord du cadre, on pourra désigner la droite qui est déterminée par les deux points a et c. On pourra nommer P^Pj la droite qui résulte de l'intersection des plans P^ et Pa.

On pourrait aussi exprimer par d-h le point résultant de l'intersection des droites deih ; par 6-P, le point suivant lequel la droite b perce le plan P ; par P-6A, V-bd, V-hd, les plans déterminés par les droites beih, b eid^held;

Par P-ac?i, P-cmn, les plans déterminés par les trois points a, c, u ou c, m, n; par P-aè, le plan qui contient le point a et la droite 6, etc. ^

Mais toutes ces notations composées de plusieurs lettres ne doivent être placées qu'au bord du cadre et pendant l'exécution du travail graphique, après quoi on les fait disparaître pour les remplacer par une seule lettre, si toutefois, après l'épure terminée, il est nécessaire de conserver la notation ; car il ne faut pas oublier que le principal inconvénient des notations proposées jusqu'ici consiste surtout dans là difSculté . de placer un grand noinbre de lettres au milieu des épures, et que, par conséquent, au lieu de cherchera multiplier ces lettres, on doit faire tout ce qui est possible pour en dimi^ nuer le nombre,

34. Des différentes espèces de tracé. On peut encore tirer un parti fort utile des (lîflTérentes manières de tracer les lignes sur les épures.

Ainsi, indépendamment des lignes en points ronds ou en points allongés, on pourra, comme cela est admis par l'usage, employer des ponc tua tiens mixtes , telles que celles qui suivent :

De sorte que le nombre de points ronds placés entre deux points allongés consécutifs désignerait certaines lignes ou cer. tains systèmes de lignes satisfaisant à des conditions partilières; et cela suffirait, dans un grand nombre de cas, peut indiquer l'ordre des opérations successives nécessaires pour résoudre la question proposée.

Au surplus, j'espère que l'application des conventions qui

précèdent ne laissera dans l'esprit du lecteur aucun doute sur , Tavantage qui peut en résulter.

35. Exécution des épures. Il faut admettre d'abord qu'il y a trois sortes d'épurés, savoir :

1* Les épures de principe;

2* Les épures d'étude;

3® Les épures d'application.

Les épures de principe ne doivent contenir qu'un très-petit nombre de lignes ; ainsi, par exemple, s'il s'agît de la construction d'une courbe, on ne conservera que les opérations nécessaires pour expliquer la méthode générale par laquelle -on peut obtenir un point quelconque de cette courbe, ou les abréviations résultant de la position exceptionnelle de quelques-uns des points cherchés. '

36. Les épures d'application doivent être encore plus simples que les épures de principe, car elles ne doivent contenir •que les données et les résultats, sans qu'il soit nécessaire d'y •conserver les lignes d'opération.

37. Si les épures de principe et les épures d'application 'doivent contenir très-peu de lignes, il n'en doit pas être de 4nême des épures d'étude. En effet, indépendamment des données et des résultats, elles doivent conserver toutes les lignes nécessaires pour rappeler les principes, souvent nombreux, par lesquels on a déterminé les diverses parties des lignes 'Obtenues. '

Il est bien entendu qu'il ne s'agit pas ici de la répétition fastidieuse d'une même opération exécutée autant de fois «qu'il y a de points à obtenir ; mais, dans la construction d'une grande courbe, il arrivera souvent que sur vingt points, chacun aura un caractère individuel qui permettra de déterminer sa position par une méthode particulière, plus simple que la méthode générale, et toutes ces abréviations doivent être in- 4liquées sur une épure d'étude.

38. Indépendamment des lignes nécessaires pour rattacher les données aux résultats obtenus, et pour indiquer les méthodes diverses qui ont été appliquées dans chaque cas, il faut encore qu'une épure d'étude contienne quelques-unes des vérifications les plus importantes.

Ainsi, un point obtenu doit être vérifié de toutes les manières possibles, et si une seule vérification est suffisante dans^ la pratique, il n'en esc pas de même lorsqu'on étudie. En efiet, chaque méthode employée pour vérifier Ja position d'un point est évidemment une manière différente de l'obtenir; et par ce travail, on se rend habile à voir de suite, au moment de l'application, quel est le moyen le plus«Bimple pour déterminer la position du point cherché. On peut se contenter de conserver sur Tépure les vérifications les plus* importantes, mais on ne saurait en faire un trop grand nombre au crayon.

11 ne faut pas croire, au surplus, que toutes ces lignes produisent autant de confusion que le pensent ordinairement les personnes qui espèrent étudier la Géométrie descriptive sans faire d'épurés, ce qui est absolument comme si elles voulaient apprendre l'Algèbre sans résoudre une seule^ équation.

Mais lorsqu'au lieu de se contenter de notions abstraites, et par conséquent un peu confuses, on aborde franchement, l'exécution du travail graphique, on parvient très-promptement à regarder sans aucune fatigue toutes les lignes tracées^ sur répure la plus chargée ; et quel que soit le nombre de ces lignes, on ne voit alors que le petit nombre de celles qui se rattachent à Ja partie de la question que l'on considère momentanément.

Enfin, pour celui, qui sait la Géométrie descriptive, une épure dont toutes les parties sont liées entre elles est beaucoup plus facile à comprendre que celle dont on aurait supprimé les lignes d'opération.

39. Ce n'est pas d'ailleurs le grand nombre de lignes qui rend une épuie confuse, mais la disposition souvent maladroite des rabattements ou des plans auxiliaires de projection» Si Ton rabat une projection auxiliaire sur une partie de l'épure;

OÙ il existe déjà une projection ou un rabattement précédent, on rendra certainement l'épure très-confuse.

Cela cependant se fait souvent dans la pratique ; ain^i, dans les grandes épures de charpente ou de coupe de pierres .qui doivent être tracées à l'échelle d'exécution, on n'a pas toujours l'espace suffisant pour isoler toutes les figures développées ou rabattues, mais, dans ce cas, il n*y a pas le même inconvénient que dans les épures d'étudel

!•* Parce que celui qui exécute le travail n étudie pa^ la question^ qu'il connaît parfaitement par les études préliminaires qu'il a dû faire chez lui, à une petite échelle, avant de les répéter en grand sur le charnier ;

2*» Parce que dans les épures d'application on ne conserve que ce qui est absolument indispensable pour tracer sur les matériaux les lignes qui doivent diriger le travail des ouvriers ;

3° Parce qu'enfin, on peut tracer avec des couleurs différentes les parties de l'épure qui ne doivent pas être confondues, quoique superposées. Mais lorsqu'on étudie, et surtout lorsqu'on exécute le dessin à une échelle réduite, il faut éviter avec soin cette superposition, qui ne permettrait pas de conserver les lignes ^nécessaires pour rattacher les résultats aux données, et rappeler les principes que l'on a dû appliquer pour exécuter les diverses parties de l'épure.

40. Quant au temps nécessaire pour Texéculion du travail graphique, il n'est pas aussi considérable qu'on pourrait le croire au premier abord.

Ce serait sans doute un travail fort long de dessiner en imitant la gravure une grande épure de Géométrie descriptive ; cela tient à l'obligation de distinguer les diverses sortes de lignes par des points de différentes sortes. Mais cette perte énorme de tçmps peut être facilement épargnée eh indiquant toutes les lignes d'opérations par des encres de couleur. Or, une épure en encre de couleur n'exige pas beaucoup plus de temps que si elle était entièrement dessinée au crayon, et celui qui comprend bien la question à résoudre n'emploiera certainement pas plus de deux ou trois heures pour tracer

5td GÉNÉRATION DU PLAN. PL. 2

répure la plus composée. On peut d'ailleurs dégager l'épure, en supprimaat une partie des lignes d'opération, dont on ne conserve que les attaches ou amorces, ce qui suffit pour indiquer les points dopt la recherche peut ofi^ir quelque intérêt.

Les considérations précédentes étant admises, nous allons revenir à l'étude des principes.

41. Génération dn plan. Le plan étant l'élément géométrique dont nous ferons le plan d*usage, il est de la plus grande importance d'en bien étudier toutes les propriétés.

42. On peut toujours supposer qu'une surface est engendrée par le mouvement d'une ligne dont la définition est donnée, et qui se meut suivant certaines conditions.

On dit qu'une ligne engendre une surface lorsque, par suite de son mouvement, elle occupe successivement tous les points de cette surface.

43. D'après cela, si Ton conçoit deux lignes droites qui se coupent et si l'on suppose que Tune d'elles, restant immobile, la seconde se meut parallèlement à elle-même, de manière à couper toujours la première, la droite mobile, par son mouvement, engeudre un plan.

On dit qu'une droite se meut parallèlement à elle-même lorsque toutes ses positions sont parallèles entre elles.

La droite mobile sera nommée génératrice du plan ; la droite sur laquelle elle s'appuie se nomme la directrice, et le point où les deux lignes se coupent se nomme le pied de la génératrice.

44. On peut prendre pour génératrice et directrice d'un plan deux lignes quelconques de ce plan ; mais il est presque toujours plus simple de prendre l'une des traces pour génératrice et l'autre pour directrice. Cela étant Admis :

45. On propose de construire pour toutes ses positions les projections de la génératrice d'un plan.